Диссертация (1150628), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Уравнение (1.15) переписывается:11b3b23 − b2 b4− =−− ln |b2 g| − ρ(g) +g + ...vb2 g b22b32Домножим его на (−vg):g=vb3b2 − b2 b4 2+ 2 vg ln |b2 g| + ρ(g)vg − 3 3vg + ...b2 b2b2(1.16)23Будем решать (1.16) итерациями. В главном приближении имеем:g=v+ ...b2Подставим это в (1.16) и в следующем порядке получим:g=vb3ρ(g) 2+ 3 v 2 ln |v| +v + ...b2 b2b2Теперь подставим это выражение в (1.16), и в третьем порядке по v будет: 2b3 2ρ(g) 2 b23 3 2b3vb3v + 5 v ln |v| + 5 + 2 3 ρ(g) v 3 ln |v|+g = + 3 v ln |v| +b2 b2b2b2b2b2 2b3 − b2 b4 b3ρ(g)2+ −+ 3 ρ(g) +v 3 + ...5b2b2b2или 2vb3b23 2 2b3b3g=1 + 2 v ln |v| + ρ(g)v + 4 v ln |v| + 4 + 2 2 ρ(g) v 2 ln |v|+bb2b2b2b2 2 2b − b2 b4 b3+ − 3 4+ 2 ρ(g) + ρ(g)2 v 2 + ...(1.17)b2b2Мы видим, что некоторые члены не содержат ρ(g) — они универсальны (независят от константы связи g), а некоторые содержат.

Обозначим коэффициенты разложения Qnm :2nv XXg(v, g) =Qnm v n lnn−m |v| + ...b2 n=0 m=0Вернёмся к переменной s.2n1 XX(ln | ln s|)n−mmg(s, g) = −(−1) Qnm+ ...b2 ln s n=0 m=0(ln s)nили1b3 ln | ln s|1b23 (ln | ln s|)2g(s, g) = −1+ 2− ρ(g)+−b2 ln sb2 ln sln s b42 (ln s)2 2 2b3b3ln | ln s|b3 − b2 b4 b31− 4 + 2 2 ρ(g)+ −+ 2 ρ(g) + ρ(g)2+ ...42b2b2(ln s)b2b2(ln s)224Если мы напишем g в терминах s1 , то получим2n1 XX(ln | ln s1 |)n−mmeg(s1 ) = −+ ...,(−1) Qnmb2 ln s1 n=0 m=0(ln s1 )nenm связаны с Qnm следующим образом: Qenm = Qnm |ρ(g)→0 .коэффициенты Qb3 ln | ln s1 | b23 (ln | ln s1 |)211+ 2+ 4−g(s1 ) = −b2 ln s1b2 ln s1b2 (ln s1 )2b23 ln | ln s1 | b23 − b2 b4 1−+ ...(1.18)− 4b2 (ln s1 )2b42(ln s1 )2Общее утверждение. Если β-функция представляется по теории возмущений, то g(v, g) имеет следующий вид:∞nv XXQnm v n lnn−m |v|.g(v, g) =b2 n=0 m=0(1.19)В выражении (1.19) коэффициенты Qn0 универсальны и явно выражаютсячерез b2 и b3 :Qn0 nb3=.b22Остальные члены не универсальны.

Коэффициенты Qn1 выражаются черезb2 , b3 и является линейной функцией от ρ(g); Qn2 выражаются через b2 , b3и b4 и является полиномом второй степени по ρ(g). Коэффициенты Qnmвыражаются через b2 , b3 , ..., bm+2 и являются полиномом степени m поρ(g). Доказательство в приложении А.1. Таким образом, в универсальномприближении можно записать:∞∞ nv1v Xv X b3n nn nvln|v|+...=g=Qn0 v ln |v|+... =+...b2 n=0b2 n=0 b22b2 1 − bb32 v ln |v|2В терминах s1 инвариантный заряд записывается в виде:∞nn−m1 XXenm (ln | ln s1 |)g(s1 ) = −(−1)m Q.b2 ln s1 n=0 m=0(ln s1 )n(1.20)251.3.2.Асимптотика пропагатораВоспользуемся формулой (1.11):Φ(s1 , g) = e2ρ(g) e−2σ(g)11e2σ(g(s1 )) .2s1 1 − Ξ(1, g(s1 ))Функция σ(g) определена с точностью до константы:c1b2 c2 − b3 c1b23 c1 − b2 b4 c1 − b2 b3 c2 + b22 c3 2σ(g) = ln |g| + Cσ +g+g + O(g 3 ).23b2b22b2Удобно выбрать Cσ =c1b2ln |b2 |.

Таким образом, σ(g) однозначно задаётсядифференциальным уравнением с начальным условием: σ 0 (g) = γ(g) ,β(g) σ(g) =Обозначим χ(g) ≡12σ(g).1−Ξ(1,g) ec1b2ln |b2 g| + O(g).Если функции β(g), γ(g) и Ξ(1, g) имеютуказанное выше приближение (1.14), то для χ(g) можно написать следующее выражение:2(bc−bc)2 23 1χ(g) = |b2 g|2c1 /b2 1 + a1 +g+2b22a1 (b2 c2 − b3 c1 )+ a21 + a2 ++(1.21)b222b23 c21 + b2 b3 c1 (b3 − 4c2 ) − b22 (b4 c1 + (b3 − 2c2 )c2 ) + b32 c323g + O(g )+b42Функция Ψ(s1 ) связана с χ(g) следующим образом:Ψ(s1 ) =1χ(g(s1 )).s2126Подставляя выражение (1.18) в (1.21), мы получаем12b3 c1 ln | ln s1 | 2b3 c1 − b2 (2c2 + b2 a1 ) 1Ψ(s1 ) = 2 | ln s1 |−2c1 /b2 1 + 3++s1b2ln s1b32ln s1b23 c1 (b2 + 2c1 ) (ln | ln s1 |)2 b3 (4b3 c21 − b2 (b2 + 2c1 )(2c2 + b2 a1 )) ln | ln s1 |+++b62(ln s1 )2b62(ln s1 )21+ 6 [2b23 c21 − b2 b3 c1 (b3 + 4c2 ) + b32 (c3 + 2c2 a1 )+(1.22)b212244 2+ b2 (b4 c1 + 2c2 − b3 (c2 + 2c1 a1 )) + b2 a2 + b2 a1 ]+ ...(ln s1 )2Можно попытаться упростить выражение (1.22) преобразованием s1 =eA s2 , где A = const.

В терминах s2 мы получаем:1e 2 ) = | ln s2 |−2c1 /b2 1 + 2b3 c1 ln | ln s2 | +Ψ(ss22b32ln s 21b23 c1 (b2 + 2c1 ) (ln | ln s2 |)22b3 c1 − b2 (2c2 + b2 a1 ) 2c1−A+++b32b2ln s2b62(ln s2 )2b3 (4b3 c21 − b2 (b2 + 2c1 )(2c2 + b2 a1 )) 2b2 b3 c1 + 4b3 c21ln | ln s2 |+−A+b62b42(ln s2 )21+ 6 [2b23 c21 − b2 b3 c1 (b3 + 4c2 ) + b32 (c3 + 2c2 a1 )+(1.23)b2+ b22 (b4 c1 + 2c22 − b3 (c2 + 2c1 a1 )) + b42 a2 + b42 a21 ]+a1 b32 + 2a1 b22 c1 − 4b3 c21 + 2b22 c2 + 4b2 c1 c2b2 c1 + 2c21 2A+A+b42b221+ ...

,(ln s2 )2e 2 ). Как видно, имеются универсальные члены, которыегде Ψ(s1 ) = e−2A Ψ(sне зависят от A, и неуниверсальные. Можно записать (1.23) в виде:2nXX(ln | ln s2 |)n−me 2 ) = 1 | ln s2 |−2c1 /b2Ψ(sW+ ...nmns22(lns)2n=0 m=0Если c1 6= 0, то коэффициенты Wn0 , n ≤ 2 являются универсальными, иудобно выбрать A =2b3 c1 −b2 (2c2 +b2 a1 ),2b22 c1тогда коэффициент W11 исчезает, и27выражение для Ψ становится проще:12b3 c1 ln | ln s2 | b23 c1 (b2 + 2c1 ) (ln | ln s2 |)2−2c/b1 2eΨ(s2 ) = 2 | ln s2 |1+ 3+−s2b2ln s2b62(ln s2 )22b23 c1 ln | ln s2 |1− 5−[a21 b22 (b2 − 2c1 )+(1.24)42b2 (ln s2 )4b2 c11+ 4a1 b22 c2 − 4(a2 b22 c1 + b4 c21 − b3 c1 c2 − b2 c22 + b2 c1 c3 )]+ ...(ln s2 )2Если c1 = 0, то:12c+bab(2c+ba)ln | ln s2 |12213221e 2) =Ψ(s1−−+s22b22ln s2b42(ln s2 )2 2 21a1 b2 + a2 b22 + 2a1 b2 c2 − b3 c2 + 2c22 + b2 c3 a1 b2 + 2c2+A+ ...+b42b22(ln s2 )2В этом случае коэффициенты Wn0 = 0 при n 6= 0, а W00 = 1.

Коэффициенты Wn1 , n ≤ 2, становятся универсальными. Тогда мы выбираем2 2221 b2 c2 −b3 c2 +2c2 +b2 c3A = − a1 b2 +a2 b2 +2aи получаем следующий результат:b22 (a1 b2 +2c2 )2c+ba1b(2c+ba)ln|lns|122132212e 2) =1−−+ ... (1.25)Ψ(ss22b22ln s2b42(ln s2 )2Формулы (1.24) и (1.25) основаны на приближениях (1.14) функцийβ(g), γ(g) и Ξ(1, g). Если мы предположим, что эти функции представленыв виде ряда теории возмущений, то общая форма асимптотического рядаe 2 ) при больших | ln s2 | выглядит следующим образом:для Ψ(s∞nXX1(ln | ln s2 |)n−m−2c1 /b2eWnm.Ψ(s2 ) = 2 | ln s2 |ns2(lns)2n=0 m=0(1.26)e 2 ) до 5-гоС помощью программы «Wolfram Mathematica» вычислено Ψ(sпорядка (см. приложение А.1.).В случае c1 6= 0 все универсальные коэффициенты Wn0 выражаютсячерез b2 , b3 и c1 :Wn0+ n b n1Γ3 =,n! Γ 2c1b222c1b2b228где Γ(z) — Γ-функция Эйлера. Доказательство в приложении А.1.

Можнопросуммировать все универсальные члены и получить некоторую универсальную функцию:∞∞+ n b ln | ln s | nX(ln | ln s2 |)n X 1 Γ23 ==Wn02n2c1(lns)n!blns222Γn=0n=02c1b2b2b3 ln | ln s2 |= 1− 2b2 ln s22c− b12,e 2 ) в универсальном приближении записываетсяи функция Ψ(s− 2cb 121bln|lns|2e 2 ) ∼ | ln s2 |−2c1 /b2 1 − 3Ψ(s.s22b22 ln s2Коэффициенты Wn1 выражаются через b2 , b3 , c1 , c2 , a2 , и являются линейными функциями A, все Wn2 — квадратичные функции A и зависят отпараметров b2 , b3 , c1 , c2 , a2 , b4 , c3 и a3 . В общем случае справедливо: Wnm— полиномы степени m по A и зависят от b2 , ..., bm+2 , c1 , ..., cm+1 , a1 , ...,am .

Доказательство в приложении А.1.В случае c1 = 0 имеется W00 = 1, и Wn0 = 0 для n ≥ 1. Коэффициенты Wn1 являются универсальными и имеют следующий вид: n−12c2 + a1 b2 b3Wn1 = −.b22b22Доказательство в приложении А.1. Мы также можем просуммировать универсальные члены асимптотики:n−1∞ 2c2 + a1 b2 1 X b3 ln | ln s2 |(ln | ln s2 |)n−1==−Wn122n(lns)blnsblns22222n=1n=1−12c2 + a1 b2 1b3 ln | ln s2 |1−.=−b22ln s2b22 ln s2∞X29e 2 ) в универсальном приближении в случае c1 = 0 имеет вид:Функция Ψ(s"−1 #b3 ln | ln s2 |e 2 ) ∼ 1 1 − 2c2 + a1 b2 1Ψ(s1−=s22b22ln s2b22 ln s22c2 + a1 b21.= 2 1− 2s2b2 ln s2 − b3 ln | ln s2 |Коэффициенты Wn2 в этом случае являются линейной функцией A, Wn3— квадратичной функцией A, и Wnm — полиномы степени m−1 по A.Для теорий, рассмотренных ниже, мы используем уже известные β(g)и γ(g) и находим Ξ(1, g), вычисляя диаграммы Фейнмана с нужной точностью.

Мы рассматриваем графы в импульсном представлении: линия —это затравочный пропагатор1p2 ,а вершина соответствует константе связиλ. Имеется 2 основных формулы вычисления безмассовых диаграмм:q α q β q= αq +β q,βq +β−ω qqq = 1 ω H(α, β, 2ω − α − β) α(4π)α.Мы используем следующее обозначение. Линия с индексом α — этоqαq=1p2α .Если индекс линии не обозначен, то он равен единице:ω ≡ d2 , где d — размерность пространства, H(z) ≡qΓ(ω−z)Γ(z) ,q=1p2 .H(z1 , z2 , ..., zn ) ≡H(z1 )H(z2 )...H(zn ).Все диаграммы оператора собственной массы расходятся в логарифмической размерности.

Характеристики

Список файлов диссертации