Диссертация (1150628), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Затем из системы 2уравнений мы получили следующее соотношение:d−α−2γ1 (d, α − 1)+α+1−ωH(2, α − 1, d − 1 − α, 1, 2 + α − ω, 3ω − 3 − α)+×ω−1−α(3ω − 4 − α)(3 + α − d).× 1−(α − 1)(ω − α)γ1 (d, α) =Чтобы получить рекуррентное соотношение для γ2 (d, α), мы использовалиформулу (P1) и формулы дифференцирования:∂2 qαq = 2α(2(α + 1) − d) qα + 1qqα1 + 1 qqα1 α1 qHqH α3 −4α1 α2∂2 α3 = 2α1 (2(α1 + α2 + 1) − d) qH α3 +2α2 (2(α1 + α2 + 1) − d) αα2Hq2Hqα2 + Hq1α1 + 1 qqH α3 − 1α2 + Hq1Мы получили систему 4 уравнений:qα q1 Hα +1 qHα q 2α q 2α + 1qHHq =qHq − qHq + q HHq − q HHqαHHHHHd−3−αq αHq α qq α qHq α qHq α − q1α −1 qHαHαHα −1 H2α −121qHHqHHqHq + qHHqH HHq = d−3−α (α − 1) q − q − qHq αHq αq αHq αHq α−1α −1 qHqHq2(2α + 1 − d)(4α + 4 − 3d) H=Hq α−1α qα −1 qHα qq HHq +2(2α + 2 − d) qHq −4(α − 1) q HHq= 2(α − 1)(2α + 2 − d) HH− 1H2 H− 1H2 Hq αq αq α−1α −1 qHqHHq =2(2α + 2 − d)(4α + 6 − 3d) Hq αα qα −1 qHα qq HHq +2(2α + 2 − d) qHq −4(α − 1) q HHq= 2(α − 1)(2α + 2 − d) HHHHq α2 Hq α2 Hq α109Из этой системы мы извлекли следующее рекуррентное соотношение:√(1 + α − ω)21πΓ(ω − 1)γ2 (d, α − 1) =γ2 (d, α) +×2(2 + 2α − 3ω)(3 + 2α − 3ω)Γ(α) sin(π(α − ω))2(6α2 + α(8 − 6d) + (d − 2)(d + 1))π 3/2 Γ(ω − 1)×+(4 + 4α − 3d)(6 + 4α − 3d)Γ(d − α − 1)2 sin(π(α − ω))22α−d (3α − d)Γ(1/2 + α − ω)Γ(ω − α)+.(2 + α − d)Γ(3ω − 1 − 2α)110B.
Приложения к Главе 3B.1.Метод расчёта диаграмм GnДиаграммы Gn в произвольной размерности пространства вычисля-ются явно. Они имеют вид:q3y2qβ3yX...β2m4T@qy3" C βn−2 ,TGn (m1 , ..., mn , β1 , ..., βn−1 ) = yβ11qbm"n−1b"m TTq mn−1 Cqq m2bb"mx1 1 y0 n x2где m1 , m2 , ..., mn — положительные целые числа, β1 , ..., βn−1 — произвольные, x1 , x2 — внешние вершины, y0 , y1 , y2 , ..., yn−2 — вершины интегрирования: y0 — n-кратная, y1 , ..., yn−2 — тройные. Обозначим M ≡ m1 + m2 +... + mn — индекс вершины y0 (суммарный индекс линий, примыкающих квершине y0 ).Диаграмма Gn вычисляется путём многократного применения формулы интегрирования по частям:q z2 q z3 qz1q=1d−2z1 −z2 −z3zq 2 + 1q z3 q zq 2 + 1q z3 qqz2@ z1+ z3z1 − 1 − −1q@qz2 zq 3 + 1qz1 − 1q−q z2 zq 3 + 1q z1q−1Применяя эту формулу к любой из тройных вершин интегрирования y1 ,...,yn−2 и выбирая линию, идущую к y0 в качестве базовой, мы получаем в правой части равенства 4 диаграммы, в каждой из которых индекс M уменьшился на единицу (уменьшился индекс либо базовой линии, либо однойиз соседних ей).
К 4 полученным диаграммам снова применим указанную111формулу интегрирования по частям, и каждая из них выразится через 4 новых с индексом M −2. И так далее. Рано или поздно индекс одной из линий,примыкающих к y0 , станет равным нулю, значит эта линия разорвётся иполучится диаграмма типа Gn−1 (m1 , ..., mn−1 , β1 , ..., βn−2 ).
С ней тоже проделываем эту процедуру. В конце концов всё выразится через линейнуюкомбинацию диаграмм типа G2 (m1 , m2 , β1 ), которые уже явно интегрируются.Используя результат вычисления диаграммы Gn , можно вычислитьfn , которая получается из Gn преобразованием Фурье,явно диаграмму Gсчитается явно.
Эту диаграмму можно представить в виде:q@m01q @0 β10b βm03 b2@0 @q` βbbm04q `3``fn (m1 , ..., mn , β1 , ..., βn−1 ) = qb@q`G0"β@.. βn−20 4 "@. "" 00@βn−1q"mn@m0n−1@qm02где m0i =B.2.d2− mi , βi0 =d2,− βi .Диаграммы с конечными вкладами при d = 6Вклады двухпетлевых диаграмм, конечных при ε = 0, которые ис-пользовались при вычислении η4 , имеют вид:q 2 + c2 ε1 + c1 εHH Hqq εHH 1 +c5q 2 + c3 ε1 + c4 εHq 2 + c2 ε2 + c1 εHq 2 +Hc5HεqHHq 1 + c3 ε1 + c4 εHq 1 + c2 ε2 + c1 εHH qq2 + c5HεHHHq1 + c4 ε1 + c3 εq 2 + c2 ε1 + c1 εHq 1 +Hc5HεqHHH2 + c4 ε q 2 + c3 ε= π6 + π653= π6 + π6 −173− 2ζ(3) (c1 + c4 + c5 ) −53− 2ζ(3) (c1 + c4 + c5 ) −h3 −c4= π 6 − 31 + ζ(3) + π 6 c1 −c2 −2c+3149h3 +c4= π 6 − 31 + ζ(3) + π 6 −c1 +c2 +2c+359+ 2τ + 2ζ(3) ε + O(ε2 ),23+ 2τ − 4ζ(3) ε + O(ε2 ),−2τ3−π460i+ − 83 + 2τ ζ(3) ε + O(ε2 ),−2τ3−π460i+ − 83 + 2τ ζ(3) ε + O(ε2 ),112q 2 + c2 ε1 + c1 εHhic1 +2c2 +c3 +2c4 +3c5 4 2τ π1q 2 +Hc5Hε q = π 6 − 3 + ζ(3) + π 6− 9 − 3 − 60 + − 38 +2τ ζ(3) ε + O(ε2 ),H3HH2 + c4 ε q 1 + c3 εq 2 + c2 ε1 + c1 εHihH6 − 1 + ζ(3) + π 6 − 2c1 +c2 +2c3 +c4 +3c5 + 23 − 2τ − π 4 + − 8 +2τ ζ(3) ε + O(ε2 ),qHq1 + c5Hε=π3393603Hq 1 + c3 ε2 + c4 εH4где τ = γE + ln π, γE = −Γ0 (1) — постоянная Эйлера.Чтобы получить эти результаты, сначала рассматриваем случай, когда c3 = c4 = c5 = 0, тогда мы имеем диаграммы типа G3 , и путём многократного применения формулы интегрирования по частям для верхнейвершины они считаются явно.
Раскладываем результат до линейного по εчлена. Мы тем самым находим вклады в линейный член от дифференцирования размерности и от индексов 2 верхних линий. Затем рассматриваемслучай, когда c1 = c2 = c5 = 0. Тогда, проводя аналогичную процедурудля нижней вершины, мы находим вклад в линейный член от индексов 2нижних линий. Затем, чтобы найти вклад от индекса на перекладине, мырассматриваем случай, когда c1 = c2 = c3 =4= 0, и добавляем линию,соединяющую 2 внешних вершины, индекс этой линии выбираем таким,чтобы сумма индексов всех 6 линии была равна 3d/2 (условие логарифмичности графа). Тогда для вычисления диаграммы можно выбрать любые 2вершины внешними. Делаем выбор таким образом, чтобы на перекладинебыл целочисленный индекс, тогда, повторяя указанный алгоритм для нового графа, мы находим вклад в линейный член от индекса на перекладинестарого графа.Трёхпетлевые диаграммы в размерности d = 6, не имеющие уникальностей (не сводящиеся к двухпетлевым).
В левом столбце перечислены диаграммы типа G4 , которые считаются явно в произвольной размерности. В113правом столбце стоят диаграммы, получающиеся преобразованием Фурьеиз соответствующих диаграмм в левом столбце.q 2 qA 2 = 10 π 9 [ζ(3) − ζ(5)]3q Aq Aq2 Aq 2 q2A = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33q Aq Aq2 Aq 2 qAA 2 = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)233q Aq 2 Aqq 2 qA = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33q Aq 2 Aq2 Aq2 Aqq2A 2 = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33Aq Aqq 2 q9A2A = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]232q Aq Aqqq9A 2 2A 2 = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]3q Aq Aqq 2 q9A A 2 = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]3q 2 Aq 2 Aqq2@2qq @q = 10 π 9 [ζ(3) − ζ(5)]3@ 2 2@qq2@2qq @q = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33@22@qq2@2qq @q = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33@ 2@qq2@2qq @q = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33@2 2@qq2@2q 2 q @q = π 9 − 7 ζ(3) + 10 ζ(5)33@@q 2q2@29qq @q = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]3@2@qq2 @29q 2 q @q = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]3@@qq2 @29qq @q = π [1 + 10ζ(3) − 10ζ(5)]3@ 2@q114Литература1.
Wilson, K.G. The renormalization group and the ε-expansion / K. G.Wilson, J. Kogut — Amsterdam, 1974.2. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критическогоповедения и стохастической динамике / А. Н. Васильев — СПб.: ПИЯФ,1998.3. Andrews T / T. Andrews // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1869 — Vol.
159 —P. 575.4. Van der Waals J. D. / J. D. Van der Waals // Ph. D. Thesis, University ofLeiden, 1873.5. Weiss P. / P. Weiss // Journ. de Phys. — 1907 — Vol. 6 (4) — P. 661.6. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов. I. / Л. Д. Ландау // ЖЭТФ— 1937 — Vol. 7 — P. 19 ; Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов.II. / Л.
Д. Ландау // ЖЭТФ — 1937 — Vol. 7 — P. 627; Ландау Л. Д.Рассеяние рентгеновых лучей кристаллами вблизи точки Кюри. / Л. Д.Ландау // ЖЭТФ — 1937 — Vol. 7 — P. 1232.7. Okabe Y. Logarithmic Corrections to a Simple Power Law at d = 4 in 1/nExpansion / Y. Okabe Progress of Theor Phys — 1978 — Vol. 59 — Pp.386-392.1158. Brush S.
G. History of the Lenz-Ising Model / S. G. Brush // Rev. Mod.Phys. — 1967 — Vol. 39 — P. 883.9. Kramers H. A. Statistics of the two-dimensional ferromagnet / H. A.Kramers, G. H. Wannier // Phys. Rev. — 1941 — Vol. 60 — Pp. 252-276.10. Shedlorsky T. Ising Models / T. Shedlorsky, E.
Montroll // J. Math. Phys.— 1963 — Vol. 4 — P. 145.11. Налимов М.Ю. Голдстоуновские сингулярности в 4−ε-разложении теории Φ4 / М. Ю. Налимов // ТМФ — 1989 — Vol. 80 — P. 212.12. Аджемян Л. Ц. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности:размерности составных операторов / Л. Ц. Аджемян, А. Н. Васильев,Ю.
М. Письмак // ТМФ — 1983 — Vol. 57 — P. 268.13. Антонов Н.В. Критическая динамика как теория поля / Н.В. Антонов,А. Н. Васильев А.Н. // ТМФ — 1984 — Vol. 60 — P. 59.14. Klebanov I. Solving quantum field theories via curved spacetimes / Igor R.Klebanov and Juan M. Maldacena // Physics Today — 2009 — Vol. 62(1)— P. 28 — doi: 10.1063/1.3074260.15. BeccariaM.HigherspinsinAdS5 atoneloop:vacuumenergy, boundaryconf ormalanomaliesandAdS/CF T /M.Beccaria, A.A.T1410.3273v3[hep − th].16. Mack G. D-independent representation of Conformal Field Theories in Ddimensions via transformation to auxiliary Dual Resonance Models.
Scalaramplitudes / Gerhard Mack // arXiv :0907.2407v1 [hep-th].11617. Mack G. D-dimensional Conformal Field Theories with anomalous dimensionsas Dual Resonance Models / Gerhard Mack // Bulg. J. Phys. — 2009 — Vol.36 Pp. 214–226; см. также arXiv :0909.1024 [hep-th].18. Quella T.
Superspace conformal field theory / Thomas Quella and VolkerSchomerus // J. Phys. A: Math. Theor. — 2013 — Vol. 46 — P. 494010; см.также arXiv :1307.7724v2 [hep-th].19. Hogervorst M. Unitarity violation at the Wilson-Fisher fixed point in 4epsilon dimensions / Matthijs Hogervorst, Slava Rychkov, Balt C. van Rees// arXiv :1512.00013v1 [hep-th].20. Wilson K. G. Critical Exponents in 3.99 Dimensions / K. G. Wilson and M.E. Fisher // Phys.Rev.Lett. — 1972 — Vol. 28 — Pp. 240-243.21. Hogervorst M. Truncated conformal space approach in d dimensions: A cheapalternative to lattice field theory? / M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
