Диссертация (1150622), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Îäíàêî æå, åñëè ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé òîêîâîãîñëîÿ, òî äàëåêî íå âñÿêàÿ ôóíêöèÿ g(ζ) äàåò ðåøåíèå, èìåþùåå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ê ðåøåíèþ ïðåäúÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ: âî-ïåðâûõ, â ïîëó÷èâøåéñÿ êîíôèãóðàöèè64Ðèñ. 26: Ïðîôèëü òîêà (ëåâàÿ ïàíåëü) è Bx −êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîïåð¼ê ñëîÿ âñëó÷àå ðåøåíèÿ Õàððèñà.äîëæåí ñóùåñòâîâàòü òîêîâûé ñëîé, à âî-âòîðûõ äîëæíà áûòü îñîáåííîñòü â íóëå, òî åñòüêàêèì-òî îáðàçîì äîëæíà ìîäåëèðîâàòüñÿ äèïîëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ñèëîâûõ ëèíèé.Ðåøåíèå Óîëêåðà äàëî íà÷àëî öåëîé ñåðèè ðåøåíèé (êîíêðåòíûõ ôîðì ôóíêöèè g), â òîéèëè èíîé ñòåïåíè ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííûì òðåáîâàíèÿì, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû äàëåå.4.34.3.1Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãðýäà-ØàôðàíîâàÐåøåíèå ÕàððèñàÕàððèñ ([Harris, 1962]) âûáðàë ôóíêöèþ g ñëåäóþùåãî âèäà:g(ζ) = exp(iζ)(38)Ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåíèå âûãëÿäèò êàêAn= e−2Ψ = sech2 (Z), Ψ = −= ln(cosh(Z)).n0LB0(39)Äëÿ äàííîãî ðåøåíèÿ íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bz = 0, à ïðîäîëüíàÿBx = B0 th(Z) (îäíîìåðíîå ðåøåíèå).
Ïðîôèëü òîêà ïîïåðåê ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ (òîêîâîãîñëîÿ) áóäåò âûãëÿäåòü êàê Jy /[en0 Vi (1 + Te /Ti )] = sech2 (Z) (ðèñ.26). Âäîëü îñè X ïëîòíîñòüòîêà íå ìåíÿåòñÿ, à ñèëîâûå ëèíèè âûãëÿäÿò êàê ïðÿìûå, âûòÿíóòûå âäîëü X (îñîáåííîñòèâ íà÷àëå êîîðäèíàò íåò).654.3.2Ðåøåíèå ÔàäååâàÐåøåíèå Ôàäååâà ([Ôàäååâ ñ ñîàâò., 1965]) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ öåïî÷êó òàê íàçûâàåìûõ ìàãíèòíûõ îñòðîâîâ (ó÷àñòêîâ êîíöåíòðèðîâàííîãî òîêà, òåêóùåãî âäîëü îñè Y),ðàçäåëåííûõ X-ëèíèÿìè (ðèñ.27).
Ãåíåðèðóþùàÿ ôóíêöèÿ â äàííîì ñëó÷àå:g(ζ) = p +√1 + p2 exp(iζ),(40)ãäå p = const. Ïðè p = 0 ýòî ðåøåíèå, åñòåñòâåííî, ñâîäèòñÿ ê õàððèñîâñêîìó òîêîâîìóñëîþ. Ðåøåíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:e−2Ψ =nJy1√==n0en0 Vi (1 + Te /Ti )(pcos(X) + 1 + p2 cosh(Z))2(41)√A= ln(pcos(X) + 1 + p2 cosh(Z)).LB0(42)Ψ=−2p=0.51.51Z0.50−0.5−1−1.5−22468101214161820X2p=5.01.51Z0.50−0.5−1−1.5−22468101214161820XÐèñ. 27: Êîíôèãóðàöèÿ ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé äëÿ ðåøåíèÿ Ôàäååâà ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà p.66Êàê âèäíî èç ðèñ.27, âûáèðàÿ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé p ìû áóäåì ïîëó÷àòü áîëååèëè ìåíåå êîíöåíòðèðîâàííûå òîêîâûå íèòè.4.3.3Ðåøåíèå ÊàíàÐåøåíèå Êàíà ([Kan, 1973]) ñîäåðæèò óæå äâà ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðà a è b:ib).(43)ζ −aÏðè a = b = 0 ðåøåíèå, êàê è â ñëó÷àå ðåøåíèÿ Ôàäååâà, ñâîäèòñÿ ê îäíîìåðíîìóg(ζ) = exp(iζ −òîêîâîìó ñëîþ Õàððèñà. Ïîäñòàâëÿÿ (43) â (37), ïîëó÷èì ðåøåíèå:cosh[Z(1 + b/R2 )],Ψ = ln √(1 + b/R2 )2 − 4bZ 2 /R4(44)R2 = (X − a)2 + Z 2 .ãäå2b=0.51.51Z0.50−0.5−1−1.5−2123456X2b=2.01.51Z0.50−0.5−1−1.5−2123456XÐèñ.
28: Êîíôèãóðàöèÿ ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé äëÿ ðåøåíèÿ Êàíà ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõïàðàìåòðà b.√Ìîäåëü Êàíà ñîäåðæèò òðè îñîáûõ òî÷êè: (X, Z) = (0, 0) è (X, Z) = (0, ± b), à çíà÷èòìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, èñêëþ÷àþùåé ýòè îñîáåííîñòè è íåêîòîðóþ67èõ îêðåñòíîñòü (îïðåäåëÿåìóþ ïàðàìåòðîì a, êîòîðûé â ìîäåëè Êàíà îòâå÷àåò çà ëèíåéíûéñäâèã âñåé êîíôèãóðàöèè âäîëü îñè X). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëîæèòü a = 0 èðàññìàòðèâàòü ðåøåíèå Êàíà â îáëàñòÿõ, ãäå X áîëüøå èëè ìåíüøå êàêîãî-òî ìàëîãî ÷èñëà.Ïàðàìåòð b, êàê âèäíî èç ðèñ.28, îòâå÷àåò çà âûòÿíóòîñòü òîêîâûõ ñëîåâ ïî îáå ñòîðîíû îòîñîáåííîñòè.Ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â äàííîé ìîäåëè ðàñøèðÿþòñÿ(aring) ïðè áîëüøèõZ è ýòîò ýôôåêò ñòàíîâèòñÿ îñîáî âûðàæåííûì âáëèçè îñîáåííîñòè, ÷òî íåñêîëüêî îãðàíè÷èâàåò ïðèìåíåíèå ìîäåëè Êàíà âáëèçè Çåìëè.4.3.4Ðåøåíèå ÌàíàíêîâîéÐåøåíèå Ìàíàíêîâîé ([Manankova and Pudovkin, 1996, 1999], [Manankova et al., 2000]) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì, ó÷èòûâàþùèì îñîáåííîñòè ìîäåëåé Êàíà è Ôàäååâà è çàäàåòñÿ ãåíåðèðóþùåé ôóíêöèåég(ζ) = p +√1 + p2 exp(iζ −ib).ζ −a(45) äàííîì ñëó÷àå âåëè÷èíà ïàðàìåòðà a çàäàåò ïîëîæåíèå ìàãíèòíûõ îñòðîâîâ.
Ðåøåíèåâûãëÿäèò êàêΨ = lnãäåX∗ = X −b(X−a),R2pcos(X∗ ) +Z∗ = Z(1 +√1 + p2 cosh(Z∗ )√,W(46)b),R22Z− 4b RR2 = (X − a)2 + Z 2 . Êàê è â ìîäåëè Êàíà, ðåøåíèå ñîäåðæèò îñîáûå4,√òî÷êè âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò, ïðè (X, Z) = (a, 0) è (X, Z) = (a, ± b). Òàêæå êàê è â ñëó÷àåW = (1 +b 2)R2ñ ðåøåíèåì Êàíà, ìû äîëæíû èñêëþ÷àòü ýòè òî÷êè èç ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè.Ðåøåíèå Ìàíàíêîâîé ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùèì â äàííîì ñåìåéñòâå ðåøåíèé: îíî îïèñûâàåò íå ïðîñòî ñòðóêòóðó ñ âûòÿíóòûìè ñèëîâûìè ëèíèÿìè è óáûâàþùåé â õâîñò ïîïåðå÷íîéêîìïîíåíòîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bz (êàê â ðåøåíèè Êàíà), à ïðîòÿæåííûé òîêîâûé ñëîé ñ ïåðåòÿæêàìè (X-ëèíèÿìè) è ìàãíèòíûìè îñòðîâàìè. Âñå ïðî÷èå ìîäåëè, ñîçäàííûå íà îñíîâåðåøåíèÿ Óîëêåðà, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ðåøåíèÿ Ìàíàíêîâîé ïðè âûáîðå îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p, a, b: ïðè p = 0, a ̸= 0, b ̸= 0 ìû ïîëó÷èì ðåøåíèå Êàíà, ïðèp ̸= 0, a = b = 0 ðåøåíèå Ôàäååâà, ïðè p = a = b = 0 ðåøåíèå Õàððèñà.Íà ðèñ.29 ïðåäñòàâëåíû ðåøåíèÿ äëÿ ôèêñèðîâàííûõ a è b (a =, b =) ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà p (p = 0.1, p = 0.5).
Êàê ìîæíî âèäåòü ïðè p = 0.1 ìû âèäèì âûòÿíóòûéòîêîâûé ñëîé âáëèçè Çåìëè, à ïðè p = 0.5 ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíûé ìàãíèòíûé îñòðîâ.682p=0.11.51Z0.50−0.5−1−1.5−22468101214161820X2p=0.51.51Z0.50−0.5−1−1.5−22468101214161820XÐèñ. 29:4.4Àñèììåòðè÷íûå ðåøåíèÿÊàê óæå óïîìèíàëîñü ðàíåå, ïðèâåä¼ííûå âûøå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãðýäà-Øàôðàíîâà îòíîñÿòñÿ ê ñèììåòðè÷íîìó òîêîâîìó ñëîþ. Ïðè ïîäðîáíîì àíàëèçå áûëî îáíàðóæåíî, ÷òîèõ ìîæíî òàêæå îáîáùèòü è íà íåñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé ïóò¼ì âûõîäà â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü. Äëÿ íà÷àëà, ðàññìîòðèì ðåøåíèå Êàíà, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè(43) ïàðàìåòð b ìîæåò áûòü êîìïëåêñíûì: b → beiφ .  òåðìèíàõ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé,êàê èçâåñòíî, äîáàâëåíèå òàêîé ýêñïîíåíòû â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòóâåêòîðà â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè íà óãîë φ.
Ïðè òàêîé çàìåíå ìîäåëüíûé ñëîé áóäåò èçãèáàòüñÿ â îêîëîçåìíîé îáëàñòè, à äàëüíÿÿ åãî ÷àñòü - âîçâðàùàòüñÿ ê ïëîñêîñòè ýêëèïòèêè. Âðåàëüíîñòè æå, äàëüíÿÿ ÷àñòü ñëîÿ ñìåùàåòñÿ âäîëü îñè Z êàê öåëîå è ñîõðàíÿåò ýòî ñìåùåíèå ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò çåìëè. ×òîáû ó÷åñòü ýòî ñìåùåíèå, ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ çàìåíóâ ãåíåðèðóþùóþ ôóíêöèþ: a → ia ([Kubyshkina et al., 2015]).  òàêîì ñëó÷àå, ôóíêöèÿ g(ζ)áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:g(ζ) = exp(iζ −69ibeiφ),ζ − ia(47)Ðèñ. 30: Êîíôèãóðàöèÿ ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé äëÿ àñèììåòðè÷íîãî ðåøåíèÿ Êàíà ïðèðàçíûõ çíà÷åíèÿõ óãëà íàêëîíà äèïîëÿ:ñîîòâåòñòâåííî),φ2= 60◦ ,φ2φ2= 0◦φ2= 30◦ (âåðõíèå ëåâàÿ è ïðàâàÿ ïàíåëè= 90◦ (íèæíèå ëåâàÿ è ïðàâàÿ ïàíåëè ñîîòâåòñòâåííî).à ïîòåíöèàë ïîëÿ áóäåò èìåòü âèäΨ = ln( √ch[z − a −1+bxsin(φ)−b(z−a)cos(φ)]x2 +(z−a)22bcos(φ)(x2 +(z−a)2 )+4x(z−a)bsin(φ)+b2(x2 +(z−a)2 )2),(48)Ýòî àñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå (ðèñ.30) ñîäåðæèò òðè ñèíãóëÿðíîñòè â òî÷êàõ (X, Z) = (0, a)√√è (X, Z) = (± bsin( φ2 ), ∓ bcos( φ2 )+a).
Òàê êàê àðãóìåíòîì ôóíêöèé êîñèíóñà è ñèíóñà çäåñüÿâëÿåòñÿφ,2òî ïîâîðîò âñåé êîíôèãóðàöèè îïðåäåëÿåòñÿ óãëîììè, ðåàëüíûé óãîë íàêëîíà äèïîëÿ áóäåò ðàâåíφ.2φ,2à íå φ. Äðóãèìè ñëîâà-Ïðè ðîñòå ïàðàìåòðà φ, ìû íàáëþäàåìñäâèã ïðîôèëÿ òîêà â íàïðàâëåíèè ïîëîæèòåëüíûõ Z (òîêîâûé ñëîé ïðèïîäíèìàåòñÿ íàäïëîñêîñòüþ ýêëèïòèêè, ðèñ.31) (â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíûõ φ ñëîé áóäåò îïóñêàòüñÿ). Êðîìåòîãî, ïðè óâåëè÷åíèè àáñîëþòíîé âåëè÷èíû φ Õ-òî÷êà, íàõîäÿùàÿñÿ â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àåíà X = ∞, ñìåùàåòñÿ â íàïðàâëåíèè X = 0. Ïðè äîñòèæåíèè φ = 150◦ Õ-òî÷êà ñìåùàåòñÿâ îêîëîçåìíóþ îáëàñòü, à ïðè äîñòèæåíèè ïàðàìåòðîì φ çíà÷åíèÿ 180◦ ìû ìîæåì íàáëþ-70Ðèñ.
31: Ïðîôèëü òîêà ïîïåðåê ñëîÿ ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà φ äëÿ àñèììåòðè÷íîéìîäåëè Êàíà.äàòü äâå Õ-òî÷êè, ðàñïîëîæåííûõ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè Z = 0. Î÷åâèäíî,÷òî ïðè òåêóùåì ñïîñîáå çàäàíèÿ óãëà ïîâîðîòà ( φ2 ) è ñìåùåíèÿ ñëîÿ (a) îíè íå çàâèñÿòäðóã îò äðóãà, ÷òî íå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîé êàðòèíå. Ïðè èñïîëüçîâàíèè äàííîãî ðåøåíèÿâ ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè ýòîò ôàêò ñëåäóåò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå. Èç ýìïèðè÷åñêèõìîäåëåé Öûãàíåíêî (ñì., íàïðèìåð [Tsyganenko et al., 2013]) íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðè ìàêñèìàëüíîì óãëå íàêëîíà äèïîëÿ (∼ 35o ) ñìåùåíèå ñîñòàâëÿåò ∼ 3 − 4RE , è ýòîé îöåíêîé ìûðóêîâîäñòâîâàëèñü ïðè ñîâìåñòíîì çàäàíèè ïàðàìåòðîâ (ïîäðîáíåå ñì.
ãëàâó 4.5).Èññëåäóåì òåïåðü ïîâåäåíèå êîìïîíåíò ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòè Bx (z) (èçìåíåíèå ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîïåðåê ñëîÿ) è Bz (x)(èçìåíåíèå ïîïåðå÷íîé êîìïîíåíòû âäîëü ñëîÿ). Êàê èçâåñòíî, â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî òîêîâîãî ñëîÿ Bx −êîìïîíåíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðåçêî ìåíÿåò çíàê â ïëîñêîñòè ýêëèïòèêè.Ïîñòðîèì òåïåðü çàâèñèìîñòü Bx (z) ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà φ (ðèñ.32).
Ìîæíîçàìåòèòü, ÷òî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ φ êîìïîíåíòà Bx âåäåò ñåáÿ áëèçêî ê ñèììåòðè÷íîìóñëó÷àþ, ïðè âîçðàñòàíèè æå óãëà íàêëîíà äèïîëÿ ïðîèñõîäèò ðàçìûòèå ïðîôèëÿ.Êîìïîíåíòà Bz ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî ìåðå óäàëåíèÿ â õâîñò êàê â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî, òàê è â ñëó÷àå àñèììåòðè÷íîãî òîêîâîãî ñëîÿ. Ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà φâåëè÷èíà Bz −êîìïîíåíòû óìåíüøàåòñÿ ïðè ñîõðàíåíèè õàðàêòåðà çàâèñèìîñòè (ìîíîòîííîãî óáûâàíèÿ â õâîñò).2Òàêæå èíòåðåñíî ðàññìîòðåòü êàê èçìåíÿåòñÿ ïîâåäåíèå ïîëíîãî äàâëåíèÿ (ptot = p + B8π ,ãäå p ãàçîâîå, àB28π ìàãíèòíîå äàâëåíèå) ïðè ïåðåõîäå îò ñèììåòðè÷íîãî ê íåñèììåòðè÷-íîìó òîêîâîìó ñëîþ.
Ñ ýòîé öåëüþ ïîñòðîèì ïðîôèëè ïîëíîãî äàâëåíèÿ ïîïåðåê ñëîÿ äëÿðàçíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà φ (ðèñ.??) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè Õ.71Ðèñ. 32: Èçìåíåíèå X−êîìïîíåíòû ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bx(z) ïîïåðåê òîêîâîãî ñëîÿ ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà φ äëÿ àñèììåòðè÷íîé ìîäåëè Êàíà.Ðèñ. 33: Âèä ïðîôèëÿ ïîëíîãî (ãàçîâîå+ìàãíèòíîå) äàâëåíèÿ ïîïåðåê òîêîâîãî ñëîÿ ïðèðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà φ äëÿ àñèììåòðè÷íîé ìîäåëè Êàíà.72A(X,Z)41.9131.80.9521.710.85tot0−10.81.51.4−20.75−30.7−4Ptot(Z)1.6P (Z)ZGSM/Re0.9246810X121416180.65−220/RGSM1.31.2−1.5−10−0.5Ze0.511.51.1−22−1.5−10−0.50.511.520.511.520.511.52ZGSM/Re/RGSMeA(X,Z)11.90.951.8431.60.85totPtot(Z)1P (Z)ZGSM/Re1.70.9200.81.51.4−10.751.3−20.71.2−3246810X121416180.65−220/RGSM−1.5−10−0.5Ze0.511.51.1−22−1.5−10−0.5/RGSMZe/RGSMe1.911.830.951.70.91.62tot10Ptot(Z)1.054P (Z)ZGSM/ReA(X,Z)50.850.81.51.40.751.30.71.20.651.1−1−2−32468101214161820XGSM/Re−2−1.5−1−0.500.5ZGSM/Re11.521−2−1.5−1−0.50ZGSM/ReÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
