Диссертация (1150622), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Êðîìå òîãî, òàêàÿôîðìà èññëåäîâàíèÿ ïàðàìåòðà ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè ñðàâíåíèå ñ çàâèñèìîñòüþ âåðîÿòíîñòè57NSÐèñ. 25: Ðàñïðåäåëåíèå ìîäåëüíîãî çíà÷åíèÿ ∆Bx = 0.5(BX− BX) âäîëü îñè X äëÿ ÷åòû-ð¼õ êîìáèíàöèé âõîäÿùèõ ïàðàìåòðîâ. ×¼ðíàÿ è çåë¼íàÿ ñïëîøíûå ëèíèè ñîîòâåòñòâóþòäèïîëüíûì óãëàì Ψ = 30◦ è Ψ = 0◦ ñîîòâåòñòâåííî; êðàñíàÿ è ñèíÿÿ ïóíêòèðíûå ëèíèèïîêàçûâàþ âàðèàöèè ïîëÿ â þæíîé è ñåâåðíîé äîëÿõ ñîîòâåòñòâåííî.
[Kubyshkina et al.,2015]58ñóááóðü îò ïàðàìåòðà, èìåþùåãî ñèììåòðè÷íûé õàðàêòåð âîçäåéñòâèÿ (â äàííîé ðàáîòå ýòîñêà÷êè ïëîòíîñòè ñîëíå÷íîãî âåòðà). Îáíàðóæèâàåòñÿ, ÷òî â ïðîòèâîâåñ ÿâíîé çàâèñèìîñòè÷èñëà ñóááóðü îò âåëè÷èíû ñêà÷êîâ àñèììåòðè÷íîãî ïàðàìåòðà, ðàñïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîñêà÷êîâ ñèììåòðè÷íîãî îêàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì (ðèñ. 20).È íàêîíåö, èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè ñóááóðü îò âåëè÷èíû ýôôåêòèâíîãîóãëà íàêëîíà (Ψtot = Ψdip +α) ïîêàçàëî, ÷òî ñîáûòèÿ ñ áîëüøèì AL èíäåêñîì ïðîèñõîäÿò ïðåèìóùåñòâåííî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ Ψtot , à ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ Ψtot ïðîèñõîäÿò ñîáûòèÿñ ìåíüøåé èíòåíñèâíîñòüþ (ðèñ. 21), à áîëüøèíñòâî îòêëîíåíèé îò ýòîé òåíäåíöèè ñîîòâåòñòâóþò ïåðèîäàì âûñîêîñêîðîñòíûõ ïîòîêîâ ñîëíå÷íîãî âåòðà (äëÿ êîòîðûõ, êàê îæèäàåòñÿ,ìåõàíèêà ðàçâèòèÿ ñóááóðè äîëæíà îòëè÷àòüñÿ).
Ýòîò ðåçóëüòàò ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, èçëîæåííûìè â ñòàòüå [Nowada et al., 2009], è ïîäòâåðæäàåò ïðåäïîëîæåíèÿ î áîëüøîì÷èñëå ñëàáûõ ñóááóðü ïðè ñèëüíî èçîãíóòîì òîêîâîì ñëîå, è ìåíüøåì ÷èñëå ñóááóðü, íî ñáîëüøåé èíòåíñèâíîñòüþ ïðè ñëîå ïëîñêîì, ñäåëàííûå â ñòàòüå [Kivelson and Hughes, 1990].Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ñòàòèñòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè áûëî âûÿâëåíî ÿâíîåâëèÿíèå ôàêòîðîâ ñ àñèììåòðè÷íûì õàðàêòåðîì âîçäåéñòâèÿ íà ñóááóðåâóþ àêòèâíîñòü (èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà 10−20%) è èõ ïðåèìóùåñòâî ïåðåä ôàêòîðàìè ñ ñèììåòðè÷íûì õàðàêòåðîìâëèÿíèÿ.594Àñèììåòðè÷íûå òîêîâûå ñëîè4.1Ñóùåñòâóþùèå ìîäåëèÈñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ, ïîëó÷åííûõ â òðåòüåé ãëàâå äàííîéäèññåðòàöèè, ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ìàãíèòîñôåðå (â ÷àñòíîñòè ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷, ïîäîáíûõ çàäà÷å î ðàñïðîñòðàíåíèè ôëýïïèíã âîëí, ðàññìîòðåííîé âî âòîðîé ãëàâå) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü àñèììåòðèþ ìàãíèòîñôåðíîé êîíôèãóðàöèè.
Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîåíèÿ íåêîéòåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ èçãèáíûõ òîêîâûõ ñëî¼â, òàê êàê èñïîëüçîâàíèå ñóùåñòâóþùèõýìïèðè÷åñêèõ ìîäåëåé (ñì. [Tsyganenko. 1995, 1996, 2013]) íå âñåãäà âîçìîæíî è/èëè óäîáíî ïðè ðåøåíèè òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷ è ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. äàííîé ãëàâå ìû ïðèâîäèì êðàòêèé îáçîð óæå ñóùåñòâóþùèõ (ñèììåòðè÷íûõ) ìîäåëåé èïðåäëàãàåì íîâîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ãðýäà-Øàôðàíîâà, ïîçâîëÿþùèõ îïèñûâàòüíåñèììåòðè÷íûé òîêîâûé ñëîé.Ïåðâûå ìîäåëè òîêîâûõ ñëîåâ ñîçäàâàëèñü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî òîëùèíà ñëîÿ äîñòàòî÷íî âåëèêà (ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ðàäèóñîâ Çåìëè), à ðàñïðåäåëåíèå ïëàçìû â íèõ ñ÷èòàëîñüèçîòðîïíûì.
Ïàðàëëåëüíî ðàçâèâàëèñü ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå (ÌÃÄ) è êèíåòè÷åñêèåìîäåëè, ïðåäïîëàãàþùèå óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ïëàçìû (ëàìèíàðíûå ìîäåëè). Òàêæå ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå òóðáóëåíòíûå ìîäåëè, ïðåäïîëàãàþùèå, ÷òî ñòðóêòóðó òîêîâîãîñëîÿ îïðåäåëÿåò òóðáóëåíòíîñòü (â ÷àñòíîñòè, ôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü [Çåëåíûé è Ìèëîâàíîâ,2004]). Åñëè ëàìèíàðíûå ìîäåëè ïîäõîäÿò äëÿ îïèñàíèÿ òîêîâûõ ñëîåâ â îêîëîçåìíîé îáëàñòè, òî òóðáóëåíòíûå ìîäåëè, êàê ïîëàãàþò, ïðèìåíèìû äëÿ óäàë¼ííûõ îáëàñòåé ìàãíèòîñôåðû.Ïåðâûìè ëàìèíàðíûìè ìîäåëÿìè áûëè ñàìîñîãëàñîâàííûå ÌÃÄ ìîäåëè, ðàññìàòðèâàâøèå äâóìåðíûé òîêîâûé ñëîé ñ íåíóëåâîé ïîïåðå÷íîé (Bz ) êîìïîíåíòîé ìàãíèòíîãî ïîëÿ([Bird and Beard, 1972],[Birn et al.,1975],[Shindler, 2007]). Ðàâíîâåñèå òîêîâîãî ñëîÿ â ýòèõìîäåëÿõ ïîääåðæèâàåòñÿ áàëàíñîì ìåæäó ìàêñâåëëîâñêèì íàòÿæåíèåì è ãðàäèåíòîì ïëàçìåííîãî äàâëåíèÿ.Ñðåäè êèíåòè÷åñêèõ ìîäåëåé òîêîâîãî ñëîÿ ñëåäóåò îòìåòèòü ìîäåëü Õàððèñà ([Harris,1962]), â êîòîðîé ïëîñêèé íåéòðàëüíûé ñëîé ðàçäåëÿåò îáëàñòè íàìàãíè÷åííîé ïëàçìû ñïðîòèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ è èçîòðîïíûì ðàñïðåäåëåíèåì äàâëåíèé.Ïîïåðå÷íàÿ êîìïîíåíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â äàííîé ìîäåëè îòñóòñòâóåò (â GSM ñèñòåìå êîîðäèíàò Bz = 0).
Íåíóëåâàÿ Bz −êîìïîíåíòà áûëà ââåäåíà â ñàìîñîãëàñîâàííîé ìîäåëè èçî-60òðîïíîãî òîêîâîãî ñëîÿ õâîñòà Òâåðñêîãî [Òâåðñêîé, 1972], à òàêæå â ìîäåëÿõ Øèíäëåðà[Shindler, 1972] è Êàíà [Kan, 1973].Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ïðîèñõîäèëî â íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ òîíêèõ òîêîâûõ ñëîåâ(äàííîå ïîíÿòèå áûëî ââåäåíî Èñòâóäîì, [Eastwood, 1972]), êîòîðûå ïîääåðæèâàþòñÿ âçàèìîïðîíèêàþùèìè ïîòîêàìè èîíîâ, äâèæóùèìèñÿ ïî ñïåéñåðîâñêèì òðàåêòîðèÿì. Òàêàÿïîñòàíîâêà çàäà÷è ïîäðàçóìåâàåò ìàëûå ìàñøòàáû ïîïåðå÷íûõ íåîäíîðîäíîñòåé è, êàê ñëåäñòâèå, àíèçîòðîïíóþ ñòðóêòóðó òåíçîðà äàâëåíèé.Ìîäåëè òîíêèõ òîêîâûõ ñëîåâ ìîæíî âûäåëèòü â îòäåëüíûé êëàññ. Ïåðâîå ñàìîñîãëàñîâàííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Âëàñîâà äëÿ îäíîìåðíîãî àíèçîòðîïíîãî òîêîâîãî ñëîÿ áûëîïîëó÷åíî Êðîïîòêèíûì ([Kropotkin et al.,1997]), îíî ñîäåðæàëî ñèëüíóþ ïîòîêîâóþ àíèçîòðîïèþ, ìàëóþ ïîïåðå÷íóþ Bz êîìïîíåíòó ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ýôôåêòíå ó÷èòûâàëñÿ.
Ýòî ðåøåíèå, êàê è ðåøåíèå Õàððèñà (1962), îïèñûâàåò ïðîôèëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìûé ñïåéñåðîâñêèìè èîíàìè, íî ñîäåðæèò ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå: ïðîôèëüïëîòíîñòè òîêà èìååò âëîæåííóþ ñòðóêòóðó îí âñòðîåí âíóòðü ïðîôèëÿ ïëîòíîñòè ïëàçìû, òîãäà êàê â òîêîâîì ñëîå Õàððèñà îíè ñîâïàäàþò.  äàëüíåéøåì ìîäåëè àíèçîòðîïíûõòîíêèõ òîêîâûõ ñëîåâ áûëè îáîáùåíû â ðàáîòàõ Ìàëîâîé Õ.Â., Çåëåíîãî Ë.Ì. è ÑèòíîâàÌ.È. ([Ìàëîâà ñ ñîàâò., 2010], [Çåëåíûé ñ ñîàâò., 2011], [Sitnov et al., 2006]).Âñå ïîñëåäóþùèå ìîäåëè ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà: àíàëèòè÷åñêèå, îñíîâàííûå íà òî÷íîì ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé Âëàñîâà, êîòîðûå áóäóò äîñòàòî÷íî ïîäðîáíîðàññìîòðåíû â äàííîé ñòàòüå, è ÷èñëåííûå ìîäåëè, â êîòîðûõ óðàâíåíèÿ Âëàñîâà ðåøàþòñÿñ èñïîëüçîâàíèåì òåõ èëè èíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.
 ÷àñòíîñòè, ìåòîäà êðóïíûõ ÷àñòèö ([Burkhart et al.,1992], [Pritchett and Coroniti, 1992]) è ãèáðèäíûõ ìåòîäîâ ([Cargill et al., 1994],[Kuznetsova et al., 1995]).Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âñå âûøåóïîìÿíóòûå ìîäåëè îïèñûâàþò ïîâåäåíèå ñèììåòðè÷íîãîòîêîâîãî ñëîÿ (òî åñòü ñëó÷àé âåðòèêàëüíîãî ïî îòíîøåíèþ ê ïëîñêîñòè ýêëèïòèêè çåìíîãîäèïîëÿ, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì òîêîâûé ñëîé õâîñòà ìàãíèòîñôåðû).
 ðåàëüíîñòè ñèììåòðè÷íàÿ êîíôèãóðàöèÿ íàáëþäàåòñÿ ëèøü â îòäåëüíûå ìîìåíòû, ïîýòîìó áîëüøóþ ÷àñòüâðåìåíè êîíôèãóðàöèÿ ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ îñòàåòñÿ àñèììåòðè÷íîé.  ñèëóýòîãî, äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîñòðîåíèå ìîäåëè äëÿ ñëó÷àÿàñèììåòðè÷íîãî òîêîâîãî ñëîÿ.614.2Óðàâíåíèå ÂëàñîâàÈòàê, â êèíåòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïëàçìà â ìàãíèòíîì ïîëå ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ ñàìîñîãëàñîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Âëàñîâà, ñîñòîÿùåé èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, êîòîðàÿ â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå â îòñóòñòâèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿïîëÿðèçàöèè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì ([Yoon and Lui, 2005]):∂ej)(v × B) ·]Fj = 0,mj c∂v∑ ∫4π∇×B=ej dvvFj ,J, J =cj[v · ∇ + ((21)(22)ãäå v, B âåêòîðà ñêîðîñòè è ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî, J âåêòîð òîêà, Fj (x, z, v) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö, ej è mj çàðÿä è ìàññà ýëåêòðîíà (j = e) è ïðîòîíà (j = i).Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðàéíåñëîæíóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ èìååò òî÷íîå ðåøåíèå òîëüêî äëÿ ðÿäà ïðîñòûõ ñëó÷àåâ.
Ìû áóäåìðàññìàòðèâàòü äâóìåðíûé ñòàöèîíàðíûé òîêîâûé ñëîé.Ìàãíèòíîå ïîëå ïîëîæèì ëåæàùèì â ïëîñêîñòè XZ:B = x̂Bx (x, z) + ẑBz (x, z),(23)à òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò: Fj = Fj (x, z, v).  òàêîì ñëó÷àå òîê â ñëîå ïî îñÿì X è Z áóäåòðàâåí íóëþ:∑∫ejdvvx Fj =j∑∫ejdvvz Fj = 0.(24)jÏëàçìó ìû áóäåì ñ÷èòàòü êâàçèíåéòðàëüíîé:∑∫ejdvFj = 0.(25)jÂâåäåì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë.  ñëó÷àå âåêòîðà ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ëåæàùåãî â ïëîñêîñòèXZ, âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, î÷åâèäíî, áóäåò èìåòü òîëüêî Y-êîìïîíåíòó:B = ∇ × A ⇒ A = ŷA(x, z)(26)Êàê èçâåñòíî, ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áóäåò ÿâëÿòüñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðûìè äëÿ óðàâíåíèé62Âëàñîâà ÿâëÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ.
Ïî êðàéíåé ìåðå äâà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ íàì èçâåñòíû ýòî îáîáù¼ííûé èìïóëüñ âäîëü òîêà è ïîëíûé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû:P j = mj vy +Hj =ej A= const,cmj v 2= const2(27)(28)Èòàê, ìû ìîæåì ñòðîèòü ðåøåíèå Fj (x, z, v) êàê íåêóþ ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ îò Pj èHj . Òàê êàê ïëàçìà â ñðåäíåì ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîé ñðåäîé, òî ìû ìîæåì ïîëàãàòü, ÷òî îíàèìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ áëèçêóþ ê ìàêñâåëëîâñêîé. Îñíîâûâàÿñü íà ýòîì, èç âñåõâîçìîæíûõ ôóíêöèé Fj (Pj , Hj ) áûë âûáðàí ãàóññîâñêèé ôóíêöèîíàë (êàê â ðàáîòå Õàððèñà,[Harris, 1962]):Fj (Pj , Hj ) = Nj exp[−mj Vj21(Hj − Vj Pj +)], j = i, e,Tj2(29)ãäå ïîñòîÿííûå Nj , Vj , Tj ñâÿçàíû ñ ïëîòíîñòüþ nj , èçîòðîïíîé êèíåòè÷åñêîé òåìïåðàòóðîé Tj , è, êàê ñëåäñòâèå, òåïëîâîé ñêîðîñòüþ vTj , ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:nj = n0j exp(ej Vj A2Tj), vT2j =, n0j = π 3/2 vT3j NjcTjmj(30)Âåëè÷èíà Vj ñîîòâåòñòâóåò ñêîðîñòè äèàìàãíèòíîãî äðåéôà, òî åñòü òîêîâîé ñêîðîñòè,êîòîðàÿ äëÿ äàííîé çàäà÷è ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âî âñåì ïðîñòðàíñòâå.
Êðîìå òîãî, ìîäåëüîêàçûâàåòñÿ èçîòåðìè÷åñêîé (Tj = const).Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ñõåìà ðåøåíèÿ ([Shindler, 1972]) íå îáÿçàòåëüíî ïðåäïîëàãàåò çàäàíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå (29), ìû âûáèðàåì åãî èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå âîçìîæíî, åñëè vi /Ti = −ve /Te .Ïîäñòàâèì ïîëó÷èâøóþñÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ â óðàâíåíèå Àìïåðà èç ñèñòåìû (21)è ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå íà âåêòîðíûé ïîòåíöèàë:c∇2 A = −4π∑ej n0j Vj exp(jãäå ëàïëàñèàí ∇2 =∂2∂x2+∂2∂z 2ej Vj A),cTj(31).
Äàëåå áóäåò óäîáíî ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì.Äëÿ ýòîãî ââåäåì ñëåäóþùèå ìàñøòàáû:B02 = 8πn0 (Te + Ti ), L = 2cTi /(eB0 Vi ),63(32)è íîðìèðóåì íà íèõ ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë: X = x/L,Z = z/L,Ψ = −A/LB0 .  áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èíàõ óðàâíåíèå Àìïåðà (31) çàïèñûâàåòñÿïðîùå:∂ 2Ψ ∂ 2Ψ+= e−2Ψ(33)∂X 2 ∂Z 2è èçâåñòíî êàê óðàâíåíèå Ãðýäà-Øàôðàíîâà. Ïëîòíîñòü çàðÿäà ðàâíà n = ni = ne =n0 e−2Ψ , è çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Âëàñîâà â äâóìåðíîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ãðýäà-Øàôðàíîâà íà ôóíêöèþ Ψ(X, Z).Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â òåðìèíàõ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ζ = X + iZ áûëîïîëó÷åíî Óîëêåðîì ([Walker, 1915]). Îí çàìåòèë, ÷òî ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ∂2f∂z 2∂2f∂x2+= 0 áóäåò ëþáàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî âèäà f (ζ) = g(ζ) + h(ζ ∗ ), ãäå ζ ∗ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà.
Ðåøåíèå æå äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ 33 áûëîïîëó÷åíî â âèäå:1f2Ψ = ln(− ∂f),2[( ∂x )2 + ( ∂f)2 ]∂z(34)åãî ïðàâèëüíîñòü ìîæíî ïðîâåðèòü ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèå Ãðýäà-Øàôðàíîâà(33). êà÷åñòâå ôóíêöèè h(ζ ∗ ) Óîëêåð âûáðàë 1/g ∗ (ζ).  òàêîì ñëó÷àå, çàïèñàâ g(ζ) = u(X, Z)+iv(X, Z), ãäå u è v âåùåñòâåííûå ôóíêöèè, ìîæíî ïîëó÷èòüf2 =(1 + u2 + v 2 )2(u − iv)2(35)−4(( ∂u)2 + ( ∂v)2 )∂f 2∂f∂x∂z) + ( )2 =.(36)∂x∂z(u − iv)2Ñ ó÷åòîì óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà (∂v/∂X = −∂u/∂Z è ∂u/∂X = ∂v/∂Z ) ðåøåíèå óðàâíå(íèÿ (33) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå∂g(ζ)4|g ′ |2, g′ =.(37)22(1 + |g| )∂ζÑ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, ëþáàÿ ôóíêöèÿ Ψ, çàäàâàåìàÿ (37), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìe−2Ψ =óðàâíåíèÿ Ãðýäà-Øàôðàíîâà è, ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåíèåì äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Âëàñîâà,è åå îêîí÷àòåëüíûé âèä îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì êîíêðåòíîé ôîðìû ãåíåðèðóþùåé ôóíêöèèg(ζ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
