Диссертация (1150468), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Дефекты структуры равномерно распределяются по решетке и при моделировании их положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для уменьшения влияния размерностисистемы на критическое поведение были выбраны периодические граничные условия. Численное моделирование динамики системы осуществлялосьс помощью алгоритма Метрополиса.При исследовании низкотемпературного начального состояния рассчитывались намагниченность:3[︁]︁1 ∑︁() = < () > ,3 (2.11)3]︁[︁∑︁122 ()) > , () = < ( 3 (2.12)и её второй момент:используемый для вычисления кумулянта 2 .
Для вычисления логарифмической производной ln () осуществлялся расчет намагниченностидля двух температур, смещенных относительно критической на интервалΔ = ±0.005.42При исследовании высокотемпературного начального состояния происходил расчёт намагниченности (2.11), её второй момент (2.12) и автокорреляционной функции3[︁]︁1 ∑︁() = < () (0) > .3 (2.13)В формулах (2.11) – (2.13) угловые скобки означают статистическое усреднение по реализациям начального состояния системы, квадратные - усреднение по различным реализациям примесной структуры с требуемой концентрацией.В качестве единицы времени в численных исследованиях критическихявлений используется шаг Монте-Карло на спин - MCS/s - под которымпонимается переворот всех спинов системы в единицу времени. Поведение системы исследовалось на временах до 1000 MCS/s.
Использовалась известные критические температуры ( = 0.95) = 4.26267(4) и ( = 0.8) = 3.49948(18), полученные в работе [96].2.4Исследование влияния низкотемпературного начального состояния на неравновесноекритическое поведение системыПри моделировании из низкотемпературного начального состояния 0 =1 вычислялись значения намагниченности () (2.11), её второго момента(2) () (2.12), используемого для определения кумулянта 2 (2.9), а такжелогарифмической производной ln () на временах до 1000 /.
Длясистем с = 0.95 проводилось усреднение вычисляемых величин по 6000различным примесным конфигурациям, с = 0.80 – по 10000.На рис. 2.1 представлены полученные временные зависимости намагниченности () для систем с концентрацией спинов = 0.95 и = 0.8в двойном логарифмическом масштабе. По данной кривой были полученызначения показателя / для указанных систем.На рис. 2.2–2.3 приведены полученные кривые для логарифмическойпроизводной () и кумулянта 2 () для спиновых концентраций =43m(t)1(2)(1)0.1110100t, MCS/s1000Рисунок 2.1: Временная зависимость намагниченности для спиновыхконцентраций = 0.95(1) и = 0.8(2).0.95 и = 0.8, также представленные в двойном логарифмическом масштабе. Для получения логарифмической производной намагниченности потемпературе был осуществлен расчет намагниченности выше и ниже критической точки ± Δ с шагом Δ = 0.05.
Полученная зависимость позволяет определить показатель 1/. Анализ временной кривой кумулянта2 () позволил определить значение критического показателя .Важно отметить, что при определении критических показателей существенным является временной интервал, на котором осуществляется их поиск. При анализе полученных результатов в слабо неупорядоченных системах со спиновыми концентрациями = 0.95 и = 0.80, в отличие от поведения однородных систем [100], было выявлено два универсальных динамических режима со степенным временным изменением намагниченности, еелогарифмической производной по температуре и кумулянта 2 (). А именно, на раннем временном интервале = [20, 200] реализуется поведение,соответствующее поведению однородной системы, определяемое индексом = 2.03(1), а лишь затем, проходя через режим кроссоверного поведения,на временах > 400 / реализуется режим поведения неупорядоченной системы.
На рисунках 2.4 - 2.6 демонстрируется существование двух44(1)d(lnM)(t)(2)1010.110100t, MCS/s1000Рисунок 2.2: Временная зависимость логарифмической производной дляспиновых концентраций = 0.95(1) и = 0.8(2).-210U (t)2(1)(2)-310-410-510-610-710110100t, MCS/s1000Рисунок 2.3: Временная зависимость кумулянта 2 для спиновыхконцентраций = 0.95(1) и = 0.8(2).режимов динамического критического поведения на примере системы с концентрацией спинов = 0.8. На каждом из рисунков 2.4 - 2.6 пунктирной45m(t)1110100t, MCs/s1000Рисунок 2.4: Существование двух режимов критического поведения длянамагниченности для системы с = 0.8(2).d(lnM)(t)1010.1110100t, MCs/s1000Рисунок 2.5: Существование двух режимов критического поведения длялогарифмической производной для системы с = 0.8(2).линией выделен участок влияния примесей, а точечной линией - начальныйучасток критической эволюции, соответствующий критическому поведениюоднородной системы.При анализе полученных временных зависимостей, был проведен расчеткритических индексов системы в соответствии с формулами 2.8 - 2.9.
Длясистемы с концентрацией спинов = 0.95 для выявления влияния дефектовбыл использован интервал ∈ [550; 950] / для всех вычисленных величин. При анализе результатов для системы с = 0.8 для намагниченностииспользовался интервал ∈ [400; 950] /, а для ее логарифмической46U2(t)-310-410-510-610110100t, MCS/s1000Рисунок 2.6: Существование двух режимов критического поведения длякумулянта 2 () для системы с = 0.8(2).производной и кумулянта 2 () - ∈ [550; 950] /. Значения отношений /, 1/ и / приведены в таблице 2.1 Указанные показателиТаблица 2.1: Значения критических показателей слабонеупорядоченной системы при моделировании из состояния с0 = 1Показатель = 0.95 = 0.8/0.213(2) 0.213(2)1/0.600(8) 0.600(8)/1.369(13) 1.268(15)2.191(21) 2.366(28)0.365(8) 0.365(8)0.704(18) 0.704(18)были получены линейной аппроксимацией вычисленных данных в двойномлогарифмическом масштабе.Однако стоит отметить, что критическая температура в случае численного эксперимента всегда определяется с некоторой погрешностью.
Как показали исследования методом коротко временной динамики показали, этотфактор существенно влияет с увеличением времени расчета. Таким образом, поведение термодинамических функции на этапе влияния структурного беспорядка подвержено отклонению от критической эволюции даже вкритической точке. Для компенсации этого фактора, а также для уменьше47ния влияния конечности системы осуществляется анализ и учет поправокна скейлинг в соотношениях для степенных законов.2.4.1Учет скейлинговых поправокВ критической области поведение намагниченности описывается разложением Вегнера:( ) ∼ | | (1 + 1 | | + 2 | |2 + 3 | |2 ...),в котором ведущая поправка к скейлингу определяется показателем корреляционной длины и индексом , характеризующим поправку к скейлингу.В выражении – приведенная температура, – исследуемый критическийпоказатель.
Данное разложение применимо к системам, находящимся в состоянии равновесия. При исследовании неравновесной критической релаксации имеет место временная зависимость ведущей поправки к скейлингу вформе −/ [59, 97, 99]. Для рассматриваемой системы это приводит к тому,что временные законы для намагниченности, ее логарифмической производной и кумулянта 2 () модифицируются следующим образом:() ∼ −/ ( + −/ ),(2.14) (2) () ∼ / ( + −/ ), ln () ∼ 1/ ( + −/ ).(2.15)В (2.14) () и () - неуниверсальные скейлинговые амплитуды, зависящие от исследуемой величины и спиновой концентрации. В данном случае производится учет ведущей поправки к скейлингу.
Таким образом, длярасчета скейлинговых поправок необходимо аппроксимировать полученныекривые выражением вида() = ( + −/ ).(2.16)В данной работе была реализована следующая процедура учета поправок к скейлингу481. исследуемый временной интервал [0 ; 1 ] разбивался на все возможныеинтервалы с длиной Δ = 50, ...., (1 − 0 );2. выбирались значения / с шагом 0.005 в интервале [0.04; 0.20];3. на каждом временном интервале Δ для каждого значения / осуществлялась аппроксимация методом наименьших квадратов полученных данных выражением (2.16) для набора значений ;4.
выбирались интервалы, на которых достигался минимум аппроксимационной погрешности;5. производилось усреднение выбранных на разных интервалах значений для конкретного / и расчет погрешностей скейлинговой процедуры.Пример зависимости погрешности метода наименьших квадратов(МНК) для фиксированного значения / = 0.12 приведен на рис. 2.7. Демонстрируется зависимость погрешности аппроксимации от значений показателя / для системы со спиновой концентрацией = 0.8. Для каждого4.36x10-74.36x10-74.36x10-7σ4.36x10-74.35x10-74.35x10-74.35x10-7ω/z =0.10.100.110.120.130.14 β/νz 0.15Рисунок 2.7: Зависимость погрешности МНК от показателя /.Спиновая концентрация = 0.8.случая / были выбраны все интервалы, на которых достигался минимум49метода наименьших квадратов.
Затем для конкретного значения / проводилось усреднение полученных критических показателей и определениесредней погрешности погрешности процедуры учета ведущих поправок. Нарис. 2.8 показана зависимость итоговой погрешности от /.0.0080.0070.006σ0.0050.0040.0030.0020.040.060.080.100.12ω/z 0.14Рисунок 2.8: Зависимость погрешности скейлинговой процедуры отзначений показателя /. Спиновая концентрация = 0.8.Указанная процедура была применена к полученным зависимостям намагниченности (), ее логарифмической производной () и кумулянту 2 (). Итоговые полученные показатели приведены в таблице 2.2.Как следует из таблицы, критические показатели систем с = 0.95 и = 0.8находятся в хорошем соответствии в пределах погрешностей.
В погрешности найденных индексов также учитывается статистическая погрешностьпроведенного исследования. Для ее получения все полученные примесныеконфигурации были разбиты на 5 групп, которые рассматривались как статистически независимые. Путем усреднения данных внутри каждой группыбыли получены пять наборов критических показателей, с помощью которыхи была рассчитана статистическая погрешность исследования.50Таблица 2.2: Значения критических показателей слабонеупорядоченной системы при моделировании из состояния с0 = 1 с учетом ведущей поправки к скейлингу.Показатель/1//< >/2.5 = 0.95 = 0.80.244(2)0.230(5)0.685(7) 0.661(11)1.373(15) 1.359(11)0.369(96) 0.404(110)2.185(25) 2.208(32)0.356(6) 0.348(11)0.668(14) 0.685(21)0.522(13) 0.508(17)Исследование влияния высокотемпературного начального состояния на неравновесное критическое поведение системыВысокотемпературное начальное состояние характеризуется высокойстепенью хаотизации спиновых переменных, что приводит к малым значениям начальной намагниченности системы: 0 ≪ 1.
Для получения начальной конфигурации с требуемым значением начальной намагниченности0 был реализован следующий алгоритм. После распределения дефектов нарешетке, осуществлялся проход по всем спинам и им присваивалось значение = +1 с вероятностью ( = +1) = (1 + 0 )/2 и значение = −1 свероятностью ( = −1) = 1 − ( = +1). Затем переворотом отдельныхспинов достигалась требуемая начальная намагниченность с точностью до1/ ( - полное число спинов в системе). Полученная спиновая конфигурация исследовалась при критической температуре.Стоит отметить, что полученная таким образом конфигурация является существенно неравновесной, поскольку при моделировании системы неотводилось времени на релаксацию как при приготовлении, так и при исследовании в критической точке.При исследовании эволюции намагниченности из начального состоянияс 0 ≪ 1, в первую очередь интерес представляет определение асимптотического показателя ′ (0 → 0), исходя из 2.3.
Для его получения были51использованы следующие значения начальной намагниченности системы:0 = 0.01, 0.02 и 0.03. Временные зависимости намагниченности для указанных начальных состояний приведены на рисунке 2.9. Определяя наклон0.060.05m(t)(3)(2)0.040.03(1)0.020.01110100 t,MCS/s 1000Рисунок 2.9: Временная релаксация намагниченности слабонеупорядоченной модели Изинга для начальных состояний с0 = 0.01(1), 0.02(2) и 0.03(3).каждой из представленных кривых, получаются значения ′ (0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
