Диссертация (1150468), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В системе образуется фракталоподобная структура с эффективной дальнодействующей пространственной корреляцией в распределении дефектов [110]. Досих пор открытым вопросом остается проблема влияния этого примесно()го порога на критическое поведение структурно неупорядоченныхсистем. В работах [14, 25] была предложена теория ступенчатой универсальности критического поведения, согласно которой область концентраций()() < < образует новый тип критического поведения, соответствующий области сильной структурной неупорядоченности. Для трехмерноймодели Изинга с короткодействующим взаимодействием ближайших соседей соответствующие пороги перколяции оцениваются следующими значе()()ниями: ≈ 0.31 и ≈ 0.69.Предыдущие исследования Монте-Карло не дают однозначного ответа о зависимости или независимости критических показателей от концентрации дефектов в случаях их сильного разбавления.
Так, в работе [107]был произведен расчет критического показателя возрастания намагниченности ′ для диапазона концентраций = [0.49..0.8]. Полученное значение′ (0 = 0.01) = 0.01 для всех концентраций. Однако в работе [107] имели место методические неточности, подробно разобранные в заключенииглавы 2.6.Настоящая глава посвящена численному исследованию неравновеснойкритической релаксации сильно неупорядоченной модели Изинга со спиновыми концентрациями = 0.6 и 0.5 методом коротко временной динамики.Высокая статистика исследования, методика учета скейлинговых поправок- все это позволяет считать, что полученные результаты носят уникальныйхарактер.3.2Оссобенности моделирования сильно неупорядоченных системВ данной главе диссертационной работы рассматривается коротковременной режим неравновесной критической эволюции трехмерной структур-61но неупорядоченной модели Изинга.
Ее определяется выражением (2.10) = −∑︁ .(3.1)<,>Исследование сильно неупорядоченных систем проводилось посредствомметода коротковременной динамики (2.2) на системах со спиновыми концентрациями = 0.6, 0.5, лежащими ниже порога примесной перколяции.При моделировании МКД возможен выбор двух типов начальных состояний, а именно состояние с начальной намагниченностью 0 = 1 или0 ≪ 0. Первое из них называют низкотемпературным начальным состоянием, поскольку система из одинаково ориентированных спинов соответствует основному состоянию с температурой = 0. Состояние с 0 ≪ 0соответствует парамагнитной фазе ферромагнетика при ≫ и называется высокотемпературным.
В данной работе проведено исследование трехмерной модели Изинга с = 0.6 и 0.5 как в из начального состояния с0 = 1, так и из состояния с 0 ≪ 1.При моделировании неравновесного критического поведения системы,характеризующегося высокотемпературным начальным состоянием, определялись временные зависимости намагниченности, ее второго момента иавтокорреляционная функция (2.8) – (2.10). С помощью степенных законов(2.3) – (2.6)()′∼ 0 ,(2) () ∼ 2 , 2 = ( −()∼ , =(3.2)2 1 )′−,(3.3)определялись критические показатели ′ , и отношение /.При исследовании релаксационного процессы из низкотемпературногоначального состояния определялись временные зависимости, ее логариф 2 ()мической производной () и кумулянта 2 () = (())2 − 1.
В МКД их62степенные законы имеют вид:() ∼ −/ () ∼ 1/ ,2 () ∼ / .Таким образом, анализ указанных величин позволяет определить значениядинамического критического индекса и статистических показателей и.Исследование сильно неупорядоченных систем характеризуются болеесильными флуктуациями термодинамических величин, чем слабо неупорядоченная система. Для получения более точных значений критического динамического индекса , наряду с использованием показателей ′ и (3.2),использовался способ, предложенный в работе [111]. В указанной работебыло предложено рассчитывать кумулянт 2 , определяемого следующимвыражением 2 ()|0 =02 () =.(3.4)( ()|0 =1 )2Его характерной особенностью является использование данные об эволюции намагниченности из различных начальных состояний - низкотемпературного с 0 = 1 и высокотемпературного с 0 ≪ 1.
В методе коротковременной динамики в критической точке данный кумулянт 2 имеет следующую временную зависимость:1(−2/) 2 () ∼ −2/ ∼ −/ .(3.5)Расчет кумулянта 3.4 использовался для непосредственного определениякритического показателя .3.3Детали моделированияВ данной работе моделирование проводилось на кубической решетке слинейным размером = 128 для концентраций спинов = 0.6 и 0.5. Дляуменьшения влияния конечного размера системы на решетке задавались периодические граничные условия. Была исследована релаксация как из вы63сокотемпературного начального состояния с 0 ≪ 1, так и из низкотемпературного с 0 = 1. Динамическая эволюция моделировалась посредствомалгоритма Метрополиса.Вычисление намагниченности и автокорреляционной функции осуществлялось по формулам:⎡⟨() = ⎣133∑︁⟩⎤ () ⎦ ,(3.6)⎡⟨⟩⎤31 ∑︁⎣() = () (0) ⎦ ,3 (3.7)в которых угловые скобки означают статистическое усреднение по реализациям начального состояния с малой намагниченностью, а квадратные скобки - усреднение по различным примесным конфигурациям для требуемойконцентрации дефектов .Поведение сильно неупорядоченных систем исследовалось на временахдо 3000 /.
Использовались критические температуры, полученные вработе [96]: = 0.5, = 1.84509(6) = 0.6, = 2.42413(9).(3.8)Статистика исследования составила 10000 примесных конфигураций, приэтом каждая примесная конфигурация дополнительно усреднялась по 25прогонкам - для получения статистического усреднения по реализации динамической эволюции.3.4Вычисление критических показателей сильно неупорядоченной модели Изинга3.4.1Низкотемпературное начальное состояниеПри моделировании систем из состояния с начальной намагниченностью0 = 1 осуществлялось вычисление намагниченности (), ее логарифми64ческой производной () и кумулянта 2 .
Анализ временных зависимостей указанных величин позволяет определить критические показатели, и в соответствие с формулами (3.4). На рисунке 3.1 представленавременная зависимость намагниченности при моделировании из низкотемпературного начального состояния для систем со спиновой концентрацией = 0.5 и = 0.6 в двойном логарифмическом масштабе. Данные кривыебыли использованы для определения значений показателя /,.m(t)1(1)(2)1101001000t, MCS/sРисунок 3.1: Временная эволюция намагниченности для спиновыхконцентраций = 0.5 (1) и = 0.6 (2) при моделировании из начальногосостояния c 0 = 1.В отличии от неупорядоченных систем, анализ различных термодинамических характеристик, таких как намагниченность, кумулянт 2 или автокорреляционная функция, не выявил существование отдельного универсального этапа критической эволюции, на котором поведение системы соответствовало бы однородной модели.
На рисунках 3.2 и 3.3 демонстрируются полученные временные зависимости логарифмической производной () и кумулянта 2 () в двойном логарифмическом масштабе. Поученные временные зависимости использовались для получения значенийпоказателей 1/ и /.65ddln(M(t))(2)(1)1010.11101001000t, MCS/sРисунок 3.2: Временная эволюция () для спиновых концентраций = 0.5 (1) и = 0.6 (2) при моделировании из начального состояния c0 = 1.Система при своей эволюции из начального неравновесного состояния,созданного при ≫ , к критическому состоянию при проходит после mic последовательную серию промежуточных состояний в критической области, а именно от состояний, контролируемых неподвижной точкой для однородных систем в температурной области | − ()| / () >[Δ()/0 ()]1/0 , к состояниям, контролируемым неподвижной точкой длянеупорядоченных систем, в температурной области | − ()| / () >[Δ()/0 ()]1/0 , где Δ() – характеризует влияние дефектов структурына величину случайности в обменном взаимодействии спиновых систем соспиновой концентрацией , 0 () – средняя величина обменного взаимодействия, 0 – критический индекс для теплоемкости однородной системы,который для некоррелированных дефектов структуры совпадает с индексомкроссовера , определяющим влияние структурного беспорядка на критические свойства системы.Величина Δ() ∼ imp = 1 − , где imp – концентрация дефектов.
Поэтому для слабо неупорядоченных состояний температурная область вблизикритической температуры | − ()| / () > [Δ()/0 ()]1/0 , где характеристики критического поведения неупорядоченных систем определяются66(2)U 2(t)101x101x101010(1)-3-4-5-6-71101001000t, MCS/sРисунок 3.3: Временная эволюция 2 () для спиновых концентраций = 0.5 (1) и = 0.6 (2) при моделировании из начального состояния c0 = 1.критическими индексами однородной системы, является достаточно широкой, в то время как для сильно неупорядоченных систем – узкой.
Поэтомув неравновесном критическом поведении слабо неупорядоченных системнаблюдаются переходные режимы от критического поведения однородныхсистем к режиму критического поведения структурно неупорядоченных систем, а для сильно неупорядоченных систем такие переходные режимыпрактически не наблюдаемы.Для получения итоговых критических показателей была применена процедура учета ведущей поправки к скейлингу, введенная в 2.4.1.
Полученныеданные аппроксимировались выражением() = ( + −/ ),(3.9)где - показатель анализируемой величины, - критический индекс поправки к скейлингу. С помошью метода наименьших квадратов определялись пары [; /], обеспечивающие минимальную аппроксимационную погрешность.
Итоговые значения критических показателей с учетом ведущейпоправки на скейлинг, полученные при моделировании из низкотемператур67ного начального состояния приведены в таблице 3.1. Вычисленные значеТаблица 3.1: Значения критических показателей сильнонеупорядоченной системы с учетом поправок к скейлингу. 0 = 1.Показатель/(/) = 0.5 = 0.60.314(28) 0.354(30)0.711(47) 0.707(46)2.655(55) 2.560(41)0.442(30) 0.501(32)0.105(18)ния критических индексов демонстрируют хорошее согласие между собойв пределах погрешностей для систем с концентрациями спинов = 0.6 и = 0.5.3.4.2Высокотемпературное начальное состояниеПри моделировании из высокотемпературного начального состояния с0 ≪ 1 производилось вычисление намагниченности, ее второго момента, автокорреляционной функции и кумулянта 2 .
Используя скейлинговыесоотношения (3.2) и (3.5), рассчитывались динамические критические показатели ′ и , а также отношение статических критических индексов /.Для получения динамического критического индекса ′ (2.3), (3.2) использовались следующие значения начальной намагниченности системы:0 = 0.0005, 0.001 и 0.005 для спиновой концентрации = 0.6 и 0 =0.0005, 0.0075 и 0.001 - для = 0.5. Уменьшение начальных значений намагниченности 0 для сильно неупорядоченных систем, в сравнении сослабо неупорядоченным случаем 2.5 из главы 2, обусловлено необходимостью скомпенсировать уменьшение интервала эволюции намагниченности−1/(′ +/) ∼ 0, вызванного изменившимся в большую сторону значениемдинамического индекса для сильно неупорядоченных систем по сравнению со слабо неупорядоченными системами.На рисунках 3.4 ( = 0.6) и 3.5 ( = 0.5) в двойном логарифмическоммасштабе представлены полученные временные зависимости для намагниченности при моделировании из высокотемпературного начального состояния для различных спиновых концентраций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
