Диссертация (1150468), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Под медленной динамикой как правило понимаются системы с значительными или бесконечными временами релаксации. В значительной мере интерес обусловлен рядомнаблюдаемых явлений, таких как критическое замедление, старение и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы. Одними из самых известных примеров систем с медленной динамикой, демонстрирующих эффектыстарения, являются такие сложные неупорядоченные системы как стекла:дипольные, металлические и спиновые [37–40]. В тоже время как показалиразличные аналитические и численные исследования, особенности медленной динамики в неравновесной релаксации могут наблюдаться и в структурно однородных средах в критической точке или ее окрестности при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких системхарактеризуется аномально большими временами релаксации [42, 112].В критической области при фазовом переходе второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной ∼ | − |− .Следовательно, в критической точке система не достигает равновесия в те77чении всего релаксационного процесса.
На этапе релаксации ≪ rel и ожидается проявление эффектов старения. Они выражаются в существованиидвухвременных зависимостей корреляционной функции (, ) и функцииотклика на внешнее возмущение (, ). В случае медленной динамикиданные функции зависят как от времени ожидания, или возраста системы, , так и от времени наблюдения − . На этапе − ≪ rel во временномповедении системы проявляется влияние начальных состояний. Для спиновой системы, характеризуемой спиновой плотностью S(), корреляционнаяфункция определяется выражением ( > )1 (, ) =∫︁[︀]︀ ⟨(, )(, )⟩ − ⟨(, )⟩ ⟨(, 0)⟩ ,(4.1)а функция отклика на малое внешнее магнитное поле ℎ, приложенное ксистеме в момент времени , формулой⃒∫︁⃒1 ⟨(, )⟩ ⃒ (, ) =.(4.2)ℎ(, ) ⃒ℎ=0Время ожидания определяется временем, прошедшим с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик.
В течении( − ) ≪ rel , где rel - время релаксации системы, во временном поведениисистемы проявляется влияние начальных состояний системы и эффектовстарения, характеризующихся как нарушением трансляционной симметриисистемы во времени, так и замедлением релаксационных и корреляционныхпроцессов с увеличением «возраста» образца .Другим интересным эффектов медленной динамики является нарушениефлуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [42, 45, 46, 112, 113, 115, 116], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущениеи корреляционную функцию в термодинамически равновесном состоянии ≫ посредством соотношения:(, ) =1 (, ).
78(4.3)ФДТ обобщается на случай неравновесной динамики , ≪ (, ) =(, ) (, ),(4.4)в котором величина (, ) называется флуктуационно-диссипативным отношением (ФДО). Согласно ФДТ, в системе, достигшей состояния равновесия, (, ) = 1. Предельное ассимптотическое значение ФДО: ∞ = lim lim (, ) →∞ →∞(4.5)используется в качестве независимой характеристики неравновесного поведения систем с медленной динамикой.Настоящая глава посвящена исследованию эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в трехмерной неупорядоченной модели Изинга. Представлен анализ однородной (концентрацияспинов = 1), слабо неупорядоченной ( = 0.8) и сильно неупорядоченной ( = 0.6) систем.
Впервые численно расчитано флуктуационнодиссипативное отношение для неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Это позволяет сделать вывод, что достигнутые результаты носят уникальный характер.4.2Особенности моделирования эффектов старенияВ настоящей работе рассматривалась трехмерная неупорядоченная ферромагнитная модель Изинга с точечными немагнитными примесями. С учетом внешнего магнитного поля ℎ ее гамильтониан задается выражением = −∑︁ −<,>∑︁ℎ ,(4.6)где - число, равное 1, если в узле спин, и 0 - в случае немагнитногодефекта, - значение спина в -ом узле, - интеграл обменного взаимодействия. Моделирование эволюции системы проводилось посредствомметода Монте-Карло.79При моделировании критической динамики в данной главе было использовано высокотемпературное начальное состояние системы с малым значением исходной намагниченности 0 ≪ 1.
В этом случае, двухвременнаяавтокорреляционная функция может быть рассчитана по формуле⎡⟨⟩⎤3∑︁1 () ( ) ⎦ .(, ) = ⎣3 (4.7)Моделирование критической динамики при исследовании поведения автокорреляционной функции осуществлялось с использованием алгоритмаМетрополиса.4.2.1Расчет флуктуационно-диссипативного отношения.Метод пробного поля.Функция отклика спиновой системы на внешнее магнитное поле ℎ, приложенное в момент времени определяется соотношением (4.2)1 (, ) =∫︁ < (, ) >|ℎ=0 .ℎ(, )(4.8)Для определения флуктуационно-диссипативного отношения существуютдва способа. Первый из них заключается в "включении"малого внешнегополя в системе в момент .
Известно, что присутствие поля разрушаетфазовый переход второго рода. Поэтому в процессе моделирования в этотмомент на решетке для каждого узла , содержащего спин, задавалось малоебимодальное поле ℎ = ±ℎ. Оно должно удовлетворять двум соотношениям:среднее по всем узлам решетки равно 0 < ℎ >= 0, а также отклик системына внешнее возмущение должен быть линеен, то есть сама величина ℎ ≪ 1.В данной работе использовалось значение ℎ = 0.02. При исследовании рассматриваемым способом функция отклика не может быть непосредственновычислена.
В численном моделировании более подходящей величиной длярасчета является интегрированная функция отклика (называемая также ди-80намической восприимчивостью) [112, 113]∫︁(, ) = ′′ (, ).(4.9)Используя соотношение (4.4), можно получить зависимость динамическойвосприимчивости (, ) от автокорреляционной функции (, )∫︁ (, ) =(, )(, ) ′ =∫︁(4.10)1=().(, )Флуктуационно-диссипативное отношение ∞ может быть получена следующим образом. Проведя расчет автокорреляционную функции и и динамической восприимчивости, выражаем зависимость (, ) от (, ) ввиде некоторой кривой. Тогда, в соответствии с (4.10), ее кривизна будетопределять асимптотическое отношение ∞ ( ) = lim→∞ (, ):( (, )).→0 (, ) ∞ ( ) = − lim(4.11)Получая значения ∞ ( ) для различных времен ожидания и проводя экстраполяцию → ∞, определяется искомые значения флуктуационнодиссипативного отношения ∞ (4.5).4.2.2Расчет флуктуационно-диссипативного отношения.Использование динамики тепловой бани.Другим способом получения ФДО является расчет непосредственнофункции отклика, посредством использования динамики тепловой бани[55].
Был использован метод, предложенный и развитый в работах [113–′115]. Вероятность перехода спина системы в новое состояние → определяется формулой:′(− 1 ( )), ( → ) = ∑︀1(−())′81(4.12)где сумма по в знаменателе идет по всем возможным состояниям спина до переворота. Поскольку в модели Изинга два возможных состояния = ±1, указанную вероятность можно записать в виде:′(− 1 ( )) ( → ) =.( 1 ( )) + (− 1 ( ))′(4.13)Рассмотрим трехмерную модель Изинга с числом спинов равным =3 . Как известно, динамическая эволюция модели в критической точке является марковским процессом. Обозначим за ({}, ) - вероятность нахождения системы в состоянии с конфигурацией спинов {} в момент времени.
Основное кинетическое уравнение для случая дискретного времени может быть представлено в виде({}, + Δ) = (1 − Δ)({}, ) + Δ∑︁ ({ ′ } → {}, )({ ′ }, ).{ ′ }(4.14) ({ ′ } → {}, ) - вероятность перехода из состояния { ′ } в состояние {} в момент времени , удовлетворяющее условию нормировки:∑︀′{ ′ } ({ } → {}, ) = 1. Можно показать, что аналогичному кинетическому уравнению удовлетворяет и условная вероятность перехода({}, |{ ′ }, ) - вероятность обнаружения системы в момент времени в состоянии {}, при условии, что в момент времени < системанаходилась в состоянии { ′ }({}, + Δ|{ ′ }, ) = (1 − Δ)({}, |{ ′ }, ) +∑︁Δ ({ ′′ } → {}, )({ ′′ }, , { ′ }, ).(4.15){ ′′ }Данная условная вероятность определяется с помощью теоремы Байеса:∑︀({}, ) = { ′ } ({}, |{ ′ }, )({ ′ }, ).В динамике тепловой бани вероятность перехода определяется следующим выражением (учитывая формулу (4.13))]︁1 ∑︁[︁∏︁1 ∑︁′ ({} → { }) = ′ ( → ′ ).
( → , ) =′=1=1 ̸=(4.16)82В (4.16) каждая вероятность описывает только односпиновый переворот → ′ . Для нахождения функции отклика рассмотрим приложениемагнитного поля ℎ к -му узлу решетки. Зависимость от магнитного поляопределяется в выражении (4.16) через гамильтониан (4.6). Используя кинетическое уравнение (4.14) и теорему Байеса, среднее значение спина < >в момент времени > может быть записано в виде< >=∑︁∑︁ ({}, ) = ({}, |{ ′ }, + Δ)({ ′ }, + Δ){},{ ′ }{}=∑︁[︁ ({}, |{ }, + Δ) (1 − Δ)({ ′ }, ) +′{},{ ′ }Δ∑︁]︁ ({ } → { })(4.17).′′′{ ′′ }< ()>Нас будет интересовать производная ℎ в пределе ℎ → 0. Посколькув (4.17) только зависит от поля ℎ , после дифференцирования получаемвыражение[︁ < () > ]︁= Δ,ℎ →0ℎ∑︁ ({}, |{ ′ }, + Δ{},{ ′ },{ ′′ }[︁ ]︁′′′×({ } → { }).ℎ →0ℎ(4.18)Данная производная определяет обобщенную восприимчивость системыдля случая приложения малого магнитного поля в промежутке [ , + Δ]:< ()> (, [ , +Δ]) = ℎ .
Дифференцируя вероятность перехода (4.16),получаем[︁ ℎ]︁({ } → { })′′′[︁]︁′= ({ } → { }) − ′′ℎ →0′(4.19)∑︀′, где = ℎ( ̸= ). Подставляя (4.19) в (4.18), а также используякинетическое уравнение (4.14), получаем обобщенную восприимчивость в83виде∑︁ (, [ , + Δ]) = ,[︁]︁′ ({}, |{ }, + Δ) − ′{},{ ′ }[︁]︁′′× ({ }, + Δ) − (1 − Δ)({ }, ) . (4.20)Функция отклика связана с обобщенной восприимчивостью через выражение∫︁ +Δ (, [ , + Δ]) = (, ) = (, )Δ + (Δ2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
