Диссертация (1150468), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так, в работе [100] для "чистой"трехмерноймодели Изинга было получено значение = 1.362(19), которое демонстрирует хорошее соответствие с полученными значениями в данной главе.Исследования коротковременной динамики слабо и сильно неупорядоченной модели Изинга в рамках глав 2 и 3 приводят к значениям = 1.242для слабо неупорядоченной системы и = 0.936 для сильно неупорядоченной системы. Оба значения хорошо согласуются в пределах погрешностейс показателями, вычисленными при анализе эффектов старения в данныхсистемах 4.2.914.4.2Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы.Для расчета флуктуационно-диссипативного отношения 4.5 были применены два способа компьютерного моделирования: метод пробного поля,описанный в разделе 4.2.1, и моделирование с помощью динамики тепловойбани из раздела 4.2.2.0.40.350.3χ(t,tw)0.30p=0.6p = 0.60.250.240.2p = 0.8p=0.80.180.15120.1p=10.051234t/tw5678Рисунок 4.6: Зависимость обобщенной восприимчивости (, ).
Временаожидания (для различных кривых, снизу вверх): = 1 – 10, 50, 100 /; = 0.8 и = 0.6 – 250, 500, 1000 /.При использовании внешнего магнитного поля, системы эволюционировала после времени ожидания в соответствии с гамильтонианом (4.6) ирассчитывалась динамическая восприимчивость (, ) (4.11) по формуле(, ) =1 ∑︁< ℎ ( ) () >.3 ℎ2 (4.28)На рис. 4.6 показана временная зависимость (, ) в шкале / . Полученные результаты наглядно демонстрируют проявление эффектов старенияв поведении динамической восприимчивости.Скейлинговое поведение в режиме − ≫ ≫ 1 динамических функций (, ) и (, ), определяемое соотношениями (4.27, 4.27), приводит92к функциональной зависимости флуктуационно-диссипативного отношения(, ) только от / [REF, Chatelain].(, ) = (/ )∼(/ )(/ ) (/ ).∼′(2/) (/ ) + (/ ) (/ )Подобное поведение (, ) было подтверждено ренормгрупповыми расчетами в работе [45].
Исходя из скейлинговых соотношений (4.27), предельноезначение флуктуационно-диссипативного отношения принимает вид∞ [︁2 ]︁−1= lim lim (, ) = −. →∞ →∞(4.29)Из данного выражения видно, что ФДО ∞ является новой универсальнойхарактеристикой критического поведения системы.На рис. 4.7 демонстрируются полученные зависимости (, ) от(, ). Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы демонстриру-0.80Tχ(t,tw)p = 0.8tw = 10000.75tw = 500tw = 250p = 0.60.700.340.33tw = 50tw = 250.320.310.300.000p=1tw = 100.0050.0100.0150.0200.0250.030C(t,tw)Рисунок 4.7: Зависимость (, ) от (, ) для различных спиновыхконцентраций.ется на рис. 4.8.
Приводятся зависимости (, ) от (, ) для времен93ожидания = 1000 / в случае структурно неупорядоченных систем с = 0.8 и 0.6, и для времени ожидания = 50 для бездефектной системы. Пунктирной линией показана кривая, на которой выполняется флуктуационно-диссипативная теорема, то есть (, ) = 1. Наглядновидно, что как однородная, так и структурно неупорядоченные системы демонстрируют нарушение ФДТ в своей критической эволюции.1.0Tχ(t,tw)0.8p = 0.80.6p = 0.60.4p=10.2Ô ÄÒ0.00.00.20.40.60.8C(t,tw)1.0Рисунок 4.8: Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы вповедениях зависимости (, ) от (, ).В соответствие с соотношением (4.11), по наклону полученныхкривых (рис.
4.7) были определены значения ∞ ( ) для каждого времени ожидания. На рисунке 4.9 демонстрирует процедера получения предельного флуктуационно-диссипативного отношения ∞ =lim →∞ ∞ ( ) = lim1/ →0 ∞ ( ). Итоговые значения предельногофлуктуационно-диссипативного отношения ∞ приведены в табл. 4.3Исходя из независимости предельного флуктуационно-диссипативного отношения как новой характеристики критического поведения систем, по полученным значениям ФДО ∞ можно сделать вывод о независимых классахуниверсальности для бездефектных ∞ ( = 1) = 0.391(12), слабо неупорядоченных ∞ ( = 0.8) = 0.418(11) и сильно неупорядоченных систем ∞ ( = 0.6) = 0.443(10).940.8∞X (tw)0.7p = 0.60.6p = 0.80.50.70.60.40.50.3p = 1.00.40.000.0000.0010.0020.020.040.060.0030.081/tw0.100.004Рисунок 4.9: Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы вповедениях зависимости (, ) от (, ).Для проверки полученных значений предельного ФДО был осуществлен расчет ∞ в рамках динамики тепловой бани 4.2.2.
С помощьюэтого метода, осуществляется непосредственный расчет флуктуационнодиссипативного отношения (, ) (4.25), при условии, что моделированиединамики системы происходит в отсутствие внешних полей. Таким образом, гамильтониан модели Изинга (4.6) ограничивается спиновой составляющей∑︁ = − .(4.30)<,>Таблица 4.3: Значения предельного флуктуационно-диссипативногоотношения ∞ для систем со спиновой концентрацией = 1, 0.8 и 0.6,полученные при моделировании в присутствии внешнего магнитного поля.∞ = 1.0100.586(24) 250250.460(22) 500500.437(26) 1000→ ∞ 0.391(12) → ∞95∞ = 0.80.708(16)0.553(17)0.494(14)0.418(11) = 0.60.726(13)0.583(14)0.519(29)0.443(10)0.80X(t, tw)p = 0.6, tw = 1500.750.700.650.600.55p = 0.8, tw = 500.500.450.40p = 1, tw = 150.10.20.30.40.50.60.70.8tw / (t - tw)Рисунок 4.10: Функциональные зависимости (, ) от /( − ) при − ≫ для различных спиновых концентраций.На рис.
4.10 представлено вычисленное на основе формулы (4.25)флуктуационно-диссипативное отношение в виде функциональной зависимости (, ) от /(− ) при − ≫ для систем с различными спиновыми концентрациями. Линейная аппроксимация зависимости (, ) при /( − ) → 0 дает возможность определить значения ∞ ( ) для каждого и соответствующей спиновой концентрации. Используя линейнуюаппроксимацию, были определены значения ∞ ( ) = lim→∞ (, ). Кполученным значениям для различных времен ожидания была примененааппроксимация ∞ ( → ∞), которая позволила определить искомое предельное флуктуационно-диссипативное отношение ∞ = lim →∞ ∞ ( ).На рис.
4.11 демонстрируется зависимость ∞ ( ) от 1/ .Полученные значения ∞ для различных спиновых концентраций приведены в табл. 4.4. Как и при использовании внешнего магнитного поля,полученные асимптотические значения флуктуационно-диссипативного отношения демонстрируют независимость в пределах погрешности вычислений для случаев трехмерной однородной, слабо и сильно неупорядоченноймодели Изинга.960.46∝X (tw)0.440.42p = 0.60.40p = 0.80.38p = 1.00.360.000.020.040.060.081/tw0.10Рисунок 4.11: Функциональные зависимости ∞ ( ) от 1/ .
Значения ∞ () получаются путем линейной аппроксимации.4.5Анализ результатов и выводы.Осуществлено численной исследование эффектов старения в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга при моделировании из высокотемпературного начального состояния 0 ≪ 1 для случаев однородной ( = 1), слабо неупорядоченной ( = 0.8) и сильнонеупорядоченной ( = 0.6) систем. Получены значения двухвременной автокорреляционной функции (, ) и функции отклика на внешнее возмущение (, ). Показано, что эффекты старения проявляются на этапе( − ) ∼ ≫ 1. На основе анализа поведения автокорреляционной функции в критической точке, для данного временного этапа выявлено замедление релаксации системы с ростом времени ожидания (табл.
4.1). Такжеполученные результаты показывают, что наличие структурного беспорядкаприводит к усилению эффектов старения.Проведен анализ предсказываемых теорией скейлинговых зависимостейдля автокорреляционной функции и функции отклика. На рисунках 4.4и 4.5 продемонстрирован коллапс полученных данных на универсальныекривые в соответствии со скейлинговыми соотношениями (4.27). Соответ97Таблица 4.4: Значения предельного флуктуационно-диссипативногоотношения ∞ для систем со спиновой концентрацией = 1, 0.8 и 0.6полученные при моделировании динамики тепловой бани.∞ = 1.00.361(2)0.369(4)0.365(9)0.370(9)0.373(14)0.379(10)∞ = 0.8 = 0.61015200.373(3)25300.384(4) 0.382(1)500.397(4) 0.407(3)1000.406(7) 0.427(6)1500.412(9) 0.437(9)→ ∞ 0.381(13) 0.413(11) 0.446(10)ствующие скейлинговые функции (/ ) и (/ ) в долговременномрежиме / ≫ 1 характеризуются зависимостью | ∼ (/ )−| .
Впроцессе анализа автокорреляционной функции были получены значения ( = 1) = 1.333(40), ( = 0.8) = 1.237(22) и ( = 0.6) = 0.982(30).Исследование функции отклика привело к значениям ( = 1) = 1.357(16), ( = 0.8) = 1.251(22) и ( = 0.6) = 0.950(8). Таким образом, в пределахпогрешностей исследования показатели и совпадают.
Данные индексысвязаны с динамическими критическими показателями ′ и | = / − ′и могут быть вычислены в рамках метода коротковременной динамики. Вработе [100] был получен показатель = 1.362(19). В главах 2, 3 даннойдиссертации были получены значения = 1.242 для слабо неупорядоченной системы и = 0.936 для сильно неупорядоченной системы. Как видно,результаты расчета показателя , полученные при исследовании эффектовстарения, находятся в хорошем согласии с результатами МКД.Впервые в численном исследовании трехмерной модели Изинга установлено нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы на неравновесном критическом участке динамической эволюции и получены значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения.
Были реализованы два способа получения ФДО: моделирование поведения системыв малом внешнем магнитном поле с помощью динамики Метрополиса инепосредственные расчет отношения с помощью динамики тепловой ба-98ни. В первом случае были получены значения ∞ ( = 1) = 0.391(12), ∞ ( = 0.8) = 0.418(11) и ∞ ( = 0.6) = 0.443(10), второй способ привелк значениям ∞ ( = 1) = 0.381(13), ∞ ( = 0.8) = 0.413(11) и ∞ ( =0.6) = 0.446(10). Как следует из приведенных результатов, оба способа продемонстрировали хорошее согласие в рамках погрешностей для систем, сразличными спиновыми концентрациями. Полученные значения предельного ФДО указывают на нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении бездефектной и структурнонеупорядоченных систем, описываемых трехмерной моделью Изинга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
