Диссертация (1150468), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(4.21)Моделирование критической эволюции системы методом Монте-Карлоявляется реализацией марковского процесса. Время в численном моделировании является дискретной величиной. Полагая Δ = 1 в (4.20), получаем (, [ , + Δ]) = ,[︁]︁< () ( + 1) − ( + 1) > .(4.22)В качестве единицы времени в моделировании используется шаг МонтеКарло на спин (MCS/s). Данная величина определяется как = 3 переворотов спинов. Учитывая (4.22), итоговое выражение для определенияфункции отклика в процессе численного исследования записывается в виде[︁]︁1 ∑︁1 ∑︁ = < () ( + 1) − ( + 1) > .
(4.23)(, ) = =1 =1Функция (, ) усредняется по всем переворотам спинов в течении одногошага Монте-Карло. Учитывая формулу 4.7, производная автокорреляционной функции по времени ожидания вычисляется по формуле[︁]︁1 ∑︁(, ) =< () ( + 1) − ( ) > . =184(4.24)С помощью формул (4.23диссипативное отношение(, ) = (, )=(,)-4.24)определяетсяфлуктуационно-[︁]︁=1 < () ( + 1) − ( + 1) >[︁]︁(4.25)∑︀=1 < () ( + 1) − ( ) >∑︀∑︀′, где = ℎ( ̸= ) (сумма по проходит только по ближайшимсоседям спина в -ом узле).4.3Детали моделированияВ данной главе проведено исследования эффектов старения и нарушения ФДТ для трехмерной модели Изинга со спиновыми концентрациями = 1.0, 0.8 и 0.6 и линейным размером = 128.
Было выбрано высокотемпературное начальное состояние с малой намагниченностью 0 ( = 1.0) =0.02, 0 ( = 0.8) = 0.01 и 0 ( = 0.6) = 0.05. Моделирование проводилось на временах − до 10000 MCS/s при критических температурах ( = 1) = 4.5114(1), ( = 0.8) = 3.4995(2) и ( = 0.6) = 2.4241(1),соответствующих рассматриваемым спиновым концентрациям [96]. Послеполучения начальной конфигурации, система помещалась в критическуюточку и свободно эволюционировала до времени , после чего осуществлялся расчет требуемых величин. Статистическое усреднение проводилосьпо 90000 прогонок в случае бездефектной системы = 1 и по 6000 примесных конфигураций в случае неупорядоченных систем, каждая из которыхдополнительно усреднялась по 15 прогонкам.Для расчета автокорреляционной функции (, ) 4.7 и флуктуационнодиссипативного отношения через пробное внешнее поле 4.8 был использован алгоритм Метрополиса.
Расчет функции отклика (, ) 4.23 ифлуктуационно-диссипативного отношения (4.25) осуществлялся с помощью моделирования динамики тепловой бани.854.4Результаты исследования эффектов старения в трехмерной модели Изинга4.4.1Эффекты старения в структурно неупорядоченноймодели Изинга.На рисунке 4.1 в двойном логарифмическом масштабе представленыполученные временные зависимости автокорреляционной функции для систем со спиновыми концентрациями = 1, 0.8 и 0.6. Анализируя поведение кривых, можно сделать вывод о существовании нескольких режимовв поведении двухвременной автокорреляционной функции. На временноминтервале − ≪ в ее поведении отсутствует зависимость от времениожидания и (, ) = ( − ), означающий квазиравновесный режим,характеризуемый степенной зависимостью ( − ) ∼ ( − )−2/ .C(t,tw)0.1(3)tw=1000tw=500tw=250(2)0.01(1)tw=50tw=25tw=101E-31101001000t-twtw=500tw=250tw=15010000Рисунок 4.1: Зависимость (, ) для различных времен ожидания.
(1) = 1, (2) - = 0.8, (3) - = 0.6.На достаточно больших временах наблюдения − и ожидания , носравнимых друг с другом − ∼ ≫ 1, во временной эволюции автокорреляционной функции проявляется существенная зависимость от времени , характеризующая эффекты старения (рис.
4.1). Как следует из графи86ка, происходит замедление спадания временной корреляции с увеличением«возраста» системы . Для численного доказательства наличия старения,на данном временном этапе была проведена аппроксимация автокорреляционной функции зависимостью (, ) ∼ ( − )− . Так показатель характеризует «скорость» спадания автокорреляционной функции: чем он выше,тем быстрее система эволюционирует к квазиравновесному состоянию.Значения показателя должны соответствовать неравновесному режиму критической динамики системы, на котором проявляется влияние высокотемпературного начального состояния. Для выделения таких интерваловбыли проанализированы временные зависимости намагниченности() =⟨ 1 ∑︁⟩ () .(4.26)На рис.
4.2 приведены полученные кривые для спиновых концентраций = 1, 0.8 и 0.6. Как показано в главах 3.1, 2.1, на временном этапе неравновесной эволюции, соответствующих влиянию дефектов структуры, наблюдается характерный рост намагниченности по степенному закону′() ∼ 0 . Затем рост намагниченности, после кросоверной области,переходит в спадание по закону () ∼ −/ .
На этом этапе в двухвременных характеристиках (, ) = ( − ) и (, ) = ( − ) непроявляется явная зависимость от времени ожидания . В исследованииэффектов старения интересующим временным интервалом как раз являетсяэтап проявления влияния дефектов структуры. Как можно видеть из рис.4.2, для бездефектной системы кросоверный этап в поведении намагниченности начинается с времен порядка ∼ 1200 /. Также это проявляетсяв эволюции автокорреляционной функции (, ) (рис. 4.1), где кривыедля различных времен ожидания при ∼ 1000 / испытывают переходв квазиравновесный режим.
Таким образом, для чистой системы характерный интервал проявления эффектов старения составляет до 1000 /.Как следует из поведения намагниченности, для структурно неупорядоченных систем длительность интервала на порядок превосходит случай бездефектной системы и ограничивается ∼ 10000 /. Данные особенностипозволяют при анализе эффектов старения и нарушения флуктуационнодиссипативной теоремы проводить исследования при значительно больших87m(t)p=1p = 0.80.01p = 0.6110100100010000t, MCS/sРисунок 4.2: Временная зависимость намагниченности () для различныхпримесных концентраций.временах ожидания , чем в случае чистых систем. Это повышает достоверность получаемых характеристик для критического состояния системы саномально большими по амплитудам и долгоживущими флуктуациями параметра порядка. При анализе указанных интервалов были полученные значения показателя , приведенные в таблице 4.1.
Полученные значения поТаблица 4.1: Значения показателя , (, ) ∼ ( − ) на этапе − ∼ ≫ 1.10255075=11.048(18) 501.023(14) 2500.934(11) 5000.879(12) 1000 = 0.80.894(14)0.739(40)0.644(25)0.569(30) = 0.60.745(32)0.604(45)0.531(40)0.467(36)казателей из табл. 4.1 указывают на замедление динамической эволюциисистемы с ростом , а именно, с увеличением времени ожидания показатель уменьшается, то есть релаксация замедляется. При этом увеличениеконцентрации дефектов приводит к усилению эффектов старения.88R(t, tw)-310-4tw1050(3)25020 (2)15050 (1)150-51010100t - twРисунок 4.3: Зависимость (, ) для различных времен ожидания. (1) = 1, (2) - = 0.8, (3) - = 0.6.Используя метод тепловой бани (раздел 4.2.2), была рассчитана функцияотклика системы на внешнее возмущение (, ) (4.23).
На рис. 4.3 демонстрируются временные зависимости (, ) от времени наблюдения − для различных времен ожидания. Как следует из полученных результатов, сростом , функция отклика уменьшается. Это означает, что с увеличениемвремени ожидания, реакция системы на внешнее возмущение уменьшается,что и является проявлением эффектов старения.На временном этапе − ∼ ≫ 1 ренормгрупповой анализ для автокорреляционной функции и функции отклика предсказывает следующуюскейлинговую зависимость(, ) ∼ −2/ (/ ),(, ) ∼ −1−2/ (/ ).2/Для ее проверки было осуществлено построение зависимостей (, )1+2/(, ) от ( − )/ . Результат для автокорреляционной функи ции приведен на рис.
4.4, для функции отклика - на рис. 4.5. Итоговые кривые демонстрируют "коллапс"полученных данных для различных89 на соответствующих = 1.0, 0.8 и 0.6 универсальных кривых, соответствующих скейлинговым функциям (/ ) и (/ ). При построении зависимостей были использованы следующие показатели: для системы c = 1 – / = 0.517(2), = 2.042(6) [100], для = 0.8 –/ = 0.504(14)), = 2.191(21) (вторая глава данной диссертации,2.6), для = 0.6 – / = 0.460(31)), = 2.657(34) (третья глава даннойдиссертации, 3.5).tw2β/νzC(t,tw)101(3)0.1(2)(1)0.01110t/twРисунок 4.4: Скейлинговые зависимости автокорреляционной функции(, ). (1) - = 1, (2) - = 0.8, (3) - = 0.6На временах ( − ) ≫ скейлинговые функции | из (4.27) характеризуются зависимостью ∼ (/ )− , ∼ (/ )− .На этом этапе эволюции отсутствует влияние эффектов старения и показатели автокорреляционной функции и функции отклика связаны сдинамическими критическими индексами и ′ соотношением = =90− ′.(4.27)1 + 2β /νztw100R(t, tw)1010.10.01(3)(2)(1)1E-31E-4110(t - tw)/twРисунок 4.5: Скейлинговые зависимости функции отклика (, ).
(1) = 1, (2) - = 0.8, (3) - = 0.6Полученные значения приведены в табл. 4.2. Стоит отметить, что значеТаблица 4.2: Значения показателей скейлинговых функций , ( ) , , ( ). = 1.0 = 0.8 = 0.61.333(40) 1.237(22) 0.982(30)1.357(16) 1.251(22) 0.950(8)ние показателя могут быть получены в численном исследовании системыметодом коротковременной динамики при анализе критического поведенияавтокорреляционной функции в системе, характеризуемой высокотемпературным начальным состоянием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
