Диссертация (1150468), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Но в этомслучае, при равномерной выборке конфигураций, многие из них оказываются маловероятными и дают малый вклад в сумму. Для повышения точности вычислений используется метод существенной выборки, повышающийстатистический вес каждой конфигурации, и создающий конфигурации всоответствии с функцией распределения . Использование существеннойвыборки приводит к уменьшению статистической погрешности без увеличения числа конфигураций. В этом случаи процедура нахождения среднего22значения аппроксимируется следующим выражением< >∼=∑︀=1 ∑︀ 1=1 exp(− )exp(− ).(1.19)Функция распределения выбирается в виде канонического распределенияexp(− ) = ∑︀,(1.20))exp(−=1при котором среднее значение < > превращается в среднее арифметическое1 ∑︁∼< >= .(1.21) =1В этом случаи динамика системы представляет собой марковский процессперехода из одного состояния в другое, для которого вероятность переходав новую конфигурацию зависит только от предыдущего состояния системы.Фазовую траекторию схематично можно представить в виде...
−→ −→ ′ −→ ′′ −→ ....(1.22)Вероятность перехода из одного состояния в другое должна удовлетворять следующим условиям:1. ( → ′ ) ≥ 0 для любых состояний , ′ ,2.∑︀3.∑︀′ ( → ′ ) = 1, (→ ′ ) = ′ .Третий пункт задает требование выполнения детального баланса.1.2.2Алгоритмы моделированияСуществуют различные реализации динамики системы, определяемойцепочкой переходов (1.22).
Используемые для численного исследования фазовых переходов второго рода методы моделирования можно поделить надве группы: локальные или односпиновые и кластерные алгоритмы. Кластерные методы используются для уменьшения времени критического за23медления (а следовательно, и ускорения расчетов) при исследовании равновесных характеристик системы. Однако, они настолько сильно меняют динамику системы, что становятся неприменимыми для исследования неравновесной критической эволюции.Наилучшими методами в этой областиоказываются локальные алгоритмы.
Они соответствую релаксационной динамике модели с несохраняющемся параметром порядка (модель А в классификации Гальперина-Хоэнберга [74]) и позволяют сравнивать результатычисленного исследования с результатами ренормгруппового или теоретикополевого описания. Характерной особенностью локальных алгоритмов является то, что переход от одной конфигурации к следующей осуществляетсяпереворотом одного спина системы.Одним из наиболее используемых локальных алгоритмов является алгоритм Метрополиса [55, 64].
Его основной особенностью является применимость для большого числа различных систем, как то коротко- или дальнодействующее взаимодействие спиновых переменных, кубические, сферические или треугольные модели. Вероятность перехода из состояния {} в{′ } определяется соотношением{︃1({′ }) < ({}) ({} → { }) =1((′ ) − ())] ({′ }) ≥ ({}).exp[− (1.23)В выражении было использовано то, что полная энергия системы описывается гамильтонианом (1.17): = ({}).Другим локальным методам, используемом в настоящей диссертации,является алгоритм тепловой бани (heat-bath algorithm) [55].
Он применимтолько к решеточным моделям с ограниченным набором степеней свободыдля переменной параметра порядка. Допустим, что при переходе состояния системы из конфигурации {} в конфигурацию {′ } меняется значениеспина на ′ . Тогда вероятность перехода определяет проверкой всехвозможных состояний спина ′ в окружении его ближайших соседей′1({′ })]exp[− ({} → { }) = ∑︀.1exp[−({})]0′024(1.24)В знаменателе выражения (1.24) суммирование идет по всем возможным состояниям спина при общей конфигурации {}. Модель Изинга характеризуется наличием только двух возможных состояний спина и вероятностьпереворота может быть записана в виде1exp[− ({′ })] ({} → { }) =.11exp[ ({ })] + exp[− ({ })]′(1.25)Различие в вероятностях перехода двух алгоритмов демонстрируется нарис.
1.1. Использование алгоритма тепловой бани позволило получить двух-1.2W(∆E)1.010.80.620.40.20.0-10-505∆E10Рисунок 1.1: Вероятность переворота спина в критической точке = для алгоритмов Метрополиса – (1) и тепловой бани – (2).временные зависимости функции отклика на внешнее магнитное поле. Подробный анализ приведен в главе 4, но главная особенность расчетов состоит в том, что необходимо вычислить производную от вероятности переходапо внешнему полю. Как видно из приведенного графика и выражений (1.23,1.25), в случае алгоритма Метрополиса данная производная терпит разрывпри Δ = 0, что делает неприменимым этот алгоритм для расчета функцииотклика.25Наиболее общий локальный алгоритм для моделирования на ЭВМ можетбыть сформулирован в следующем виде.1. Формируется начальная конфигурация.2.
Случайным образом выбирается спин и производится попытка его переворота.3. Вычисляется вероятность переворота 4. Создается случайное число в интервале (0, 1).5. Если ≤ , то новая конфигурация принимается, иначе - остаетсянеизменной.6. Определяются значения исследуемых физических величин.7. Повторяются шаги 2 − 6 для получения достаточного числа конфигураций.8. Производится усреднение по статистически независимым конфигурациям.1.3Влияние дефектов структурыВ реальных макроскопических системах всегда присутствуют те илииные дефекты. Дефекты структуры могут иметь различную природу и оказывать различное влияние на процессы, протекающие в твердых телах.
Поэтому описание влияния дефектов структуры во всех возможных формахих проявления является одной из интересных и сложных проблем теориикритических явлений. Так в ферромагнитном кристалле часть ячеек можетбыть занята атомами, имеющими нулевой магнитный момент. Если концентрация немагнитных атомов превышает определенную величину, ферромагнетизм полностью подавляется. Другим примером служит ситуация,когда в решетке возможны дефекты, приводящие к случайно распределенным выделенным направлениям ориентации спинов. В качестве еще одногопримера можно упомянуть переход жидкого He4 в сверхтекучее состояниев пористой среде.26Теоретическое изучение влияния случайно распределенных дефектов ипримесей на различные явления началось много лет назад. Движение электронов в неупорядоченных твердых телах, перколяционная задача, модельИзинга со спинами на случайных узлах и другие подобные задачи привлекали к себе многих исследователей, результаты которых отражены в работах [75–77].Причина, по которой влияние дефектов структуры на критическое поведение должно быть существенным, состоит в следующем.
Допустим, что всистему, находящуюся вблизи критической точки, ввели малое количествопримесей или разорвали в ней небольшое число связей. Такое изменениеможно рассматривать как включение малого возмущения. Отклик системына такое возмущение описывается на языке поведения различных восприимчивостей и корреляционных функций. Вблизи критической точки идеальнойсистемы некоторые из этих величин велики и представляют собой сингулярные функции температуры. Это означает, что малое количество дефектовструктуры может привести к большим эффектам вблизи критической точки,тем самым существенно изменяя критическое поведение чистой (однородной) системы. При этом могут измениться значения критических индексов.Возможно, что наличие дефектов приведет к сглаживанию сингулярного поведения некоторых величин.
Может произойти размытие фазового переходавторого рода и исчезновение критической точки. Механизмы этих эффектовглубоко скрыты и до сих пор еще недостаточно изучены. Во всяком случае,ясно, что в неидеальной системе возникает характерный параметр – среднее расстояние между дефектами. При приближении к критической точкеон начинает конкурировать с корреляционной длиной, что и обусловливаетотклонение критического поведения неоднородной системы от поведенияидеальной системы.Дефекты принято разделять на два вида [2] в соответствии с их распределением в матрице.
Если способ приготовления образца таков, что дефекты структуры находятся в равновесии с матрицей системы, то их принятоназывать расплавленными, или равновесными. Как правило, при приготовлении образца дефекты не успевают прийти в термодинамическое равновесие с матрицей и как бы замораживаются в ней в виде некоторой конфигу-27рации, несущей память о способе приготовления системы. Такие дефектыпринято называть замороженными.В случае расплавленных дефектов структуры их концентрация играетроль дополнительной термодинамической переменной.
Ее влияние на критическое поведение проявляется только в сдвиге критической температурыи перенормировке значений критических индексов с фактором 1/(1 − ),если индекс теплоемкости однородной системы положителен [78].Феноменологический подход к описанию универсального критическогоповедения систем определяется гамильтонианом вида∫︁={︃11d −ℎ(x) + 2 (x) + (∇(x))2 + 4 (x) +224!}︃+(более высокие степени (x), ∇(x)) ,(1.26)где (x) – -компонентный параметр порядка; ℎ – внешнее поле, сопряженное параметру порядка; ( ), ( ), . .
. – аналитические функции температуры и внешних параметров.Однородные системы являются трансляционно инвариантными. Их поведение в критической точке (при температуре фазового перехода) определяется фиксированными точками уравнений ренормгруппы:ℎ = 0, = * , = * ,(1.27)коэффициенты более высокой скейлинговой размерности равны нулю.Неоднородные системы с замороженными примесями уже не являются трансляционно инвариантными.
При этом параметры ℎ(x), (x), (x), . . .начинают зависеть случайным образом от координат.Влияние случайности, вызванное присутствием дефектов, ослабевает суменьшением скейлинговой размерности полей:ℎ(x) – случайное поле (со средним значением равным нулю), характеризуется наиболее сильным влиянием на поведение систем при фазовыхпереходах;(x) – случайное поле локальной критической температуры при определенных условиях может модифицировать критическое поведение систем и28изменить значения критических индексов (отличное от нуля среднее простосдвигает критическую температуру);(x), .
. . – влияние этих полей на критическое (асимптотическое) поведение термодинамических функций несущественно.Рассмотрим влияние дефектов структуры типа случайная температурафазового перехода на критическое поведение. Пусть (x) = + (x), где (x) характеризует потенциал случайного поля дефектов в точке x с равным нулю средним значением по распределению дефектов:⟨⟨ (x)⟩⟩ = 0.(1.28)Процедура усреднения функции свободной энергии и корреляционных функций по потенциалу примесей восстанавливаеттрансляционную инвариантность этих величин, что позволяет применитьдля дальнейшего исследования критического поведения ренормгрупповуютехнику.Распределение дефектов обычно задается через второй момент функциираспределения⟨⟨ (x) (y)⟩⟩ = (x − y).(1.29)В простейшем случае некоррелированных точечных дефектов [79]:(x − y) = (x − y),(1.30)где ∼ (величина потенциала)2 ×(концентрация дефектов); – размерностьсистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
