Диссертация (1150468), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для магнитных переходов под можно понимать макроскопический магнитный момент (отнесенный кединице объема) ферромагнетика или магнитный момент подрешетки - вслучае антиферромагнетика.Отметим, что симметрия тела меняется (повышается) лишь в тот момент, когда обращается в точности в нуль; любое сколь угодно малое, ноотличное от нуля значение параметра порядка приводит уже к понижениюсимметрии. При прохождении через точку фазового перехода второго родаобращение в нуль происходит непрерывным образом, без скачка.Отсутствие скачка состояния в точке фазового перехода второго родаприводит к тому, что термодинамические функции состояния тела (его энтропия, энергия, объем и др.) остаются непрерывными при прохождениичерез точку перехода.
Поэтому фазовый переход второго рода, в отличиеот переходов первого рода, не сопровождается выделением или поглощением тепла. Однако, производные от указанных термодинамических величин(например, теплоемкость тела, коэффициент теплового расширения, сжимаемость и др.) испытывают скачок в точке перехода второго рода.161.1Критические индексыПри исследовании фазовых переходов особый интерес представляет собой поведение различных термодинамических функций в окрестности .Эта область называется критической. Особое внимание уделяется определению значений совокупности показателей, которые описывают эффективноестепенное поведение различных интересующих нас термодинамических икорреляционных функций вблизи температуры фазового перехода [64].Асимптотический критический показатель некоторой наблюдаемой величины ( ) в окрестности критической точки определяется какln ( ), →0 ln | | ∼ lim(1.2)где = ( − )/ - приведенная температура (отклонение от критической точки).
Данный предел получил название критического показателя,свзянного с функцией ( ). (1.2) можно представить в виде: ( ) ∼ | | ,(1.3)Данный степенной закон является точным в асимптотическом режиме →0. Вне критической точки, поведение функции характеризуется более сложной зависимостью и может быть описано разложением Вегнера [63] ( ) ≈ | | (1 + 1 | | + 2 | |2 + ...),(1.4)где - не универсальные критические амплитуды.При исследовании критического поведения получению показателей системы уделяется значительно больше усилий, чем по получению полноговиды функции ( ).
Можно выделить две основные причины такого положения вещей. Во-первых, экспериментально установлено, что вблизи критической точки поведение функции-многочлена выражают главным образом ее ведущие члены. Получаемые в экспериментальных исследованияхрезультаты, представляемые в виде графиков в двойном логарифмическоммасштабе, имеют вид прямых.
И показатели определяются из наклона этихпрямых. Таким образом, критические показатели всегда измеримы, в отли17чии от всей функции. Во-вторых, из общей теории термодинамики и статистической физики известно много соотношений между показателями, которые справедливы для любой частной системы.Существует простая однозначная связь между критическим показателеми поведением рассматриваемой функции вблизи критической точки ( ≪ 1).Если критический показатель , определяемый уравнением (1.3)), отрицателен, то соответствующая функция ( ) вблизи критической точки расходится, стремясь к бесконечности; положительные же значения соответствуютфункции ( ), обращающейся в этой точке в нуль.
Чем меньше , тем болеерезкими изменениями вблизи температуры фазового перехода характеризуется поведение ( ) в том смысле, что для отрицательных расходимость ( ) становится сильнее, а для положительных — ( ) стремится к нулюбыстрее.В случае фазового перехода второго рода из парамагнитного в ферромагнитное состояние поведение намагниченности ( ), магнитной восприимчивости ( ) и теплоемкости ( ) описывается следующими критическимииндексами [1, 64]( ) ∼ (− ) ,( ) ∼ | |− ,(1.5)( ) ∼ | |− ,где , и - критические индексы.Свойства систем при непрерывных фазовых переходах определяютсясильными и долгоживущими флуктуациями параметра порядка.
Мерой магнитных флуктуаций является корреляционная длина ( ) - область с сильнокоррелированными спинами. Поскольку по мере приближения к сверху, корреляция в ориентации спинов увеличивается, ( ) будет возрастатьпри приближении к . Расходимость ( ) в окрестности критическойточки описывается критическим индексом :( ) ∼ | |− .(1.6)Вследствие долгоживущих флуктуаций намагниченности, время релаксациисистемы в окрестности неограниченно возрастает.
Это явление полу18чило название критического замедления. Для его характеристики был введен динамический критический индекс , определяемый соотношением ( ) ∼ − ∼ | |− .(1.7)Поведение намагниченности в присутствие внешнего магнитного поля вкритической точке описывается показателем (ℎ)| = ∼ ℎ1/ ,(1.8)а индекс определяет поведение корреляционной функции параметра порядка1(1.9)(⃗)| = ∼ −2+ .|⃗|Далее в диссертации будет рассматриваться фазовый переход второгорода из парамагнитного в ферромагнитное состояние.Было установлено, что критические индексы не являются независимыми, а связаны между собой с помощью набора равенств. В качестве примераможно привести равенство Рашбрука + 2 + = 2,(1.10) = ( − 1),(1.11) + (1 + ) = 2,(1.12)( + 1) = (2 − )( − 1),(1.13)(2 − ) = ,(1.14) = 2 − .(1.15)равенство Уидомаравенства Гриффитсаравенства ФишераСоотношения (1.10) - (1.15) показывают, что независимыми являются только два показателя.Совокупный набор критических показателей систем связан с понятиемкласса универсальности в критическом поведении различных систем.
Гово19рят что системы принадлежат к одному классу универсальности, если ониимеют совпадающие в пределах погрешности наборы критических индексов. В этом случае они демонстрируют одинаковое критическое поведениевблизи точки фазового перехода.1.2Модель ИзингаПри описании поведения некоторой системы при фазовом перехоже одними из основных ее параметров являются размерность системы - , и число компонент параметра порядка - . Эти характеристики являются определяющими при аналитическом описании критических явлений методамиренормализационной группы.
В зависимости от числа компонент параметра порядка можно выделить следующие модели магнетиков∙ = 1 – модель Изинга;∙ = 2 – XY модель;∙ = 3 – модель Гейзенберга.Рассмотрим -мерную решетку размером , в узлах которой находятсяспины. В общем виде, гамильтониан данных моделей может быть записанв виде∑︁∑︁⃗⃗⃗⃗ ,(1.16) − ℎ = −<,>где ⃗ - -компонентный вектор спиновой переменной, ⃗ℎ - внешнее магнитное поле, < , > - означают, что суммирование по проходит только поближайшим соседям спина в узле . Интеграл обменного взаимодействия является мерой силы взаимодействия между ближайшими соседними спинами.
Если > 0, то, исходя из гамильтониана (1.7) минимум энергии достигается в случае, когда ближайшие спины соноправлены, то есть системаявляется ферромагнитной. При < 0 предпочтительным является состояние с противоположно направленными спинами, то есть вещество являетсяантиферромагнетиком.Модель Изинга является одной из самых распространенных моделей фазового перехода в статистической физике.
Модель была предложена Ленцем20с целью изучения фазового перехода из парамагнитного в ферромагнитноесостояние. Она была исследована его дипломником Изингом, который прирасчете термодинамических свойств модели в одномерном случае обнаружил, что в ней отсутствует фазовый переход.Дальнейшие исследования показали, что в двухмерном и трехмерномслучаях модель Изинга действительно описывает фазовый переход из парамагнитного в ферромагнитное состояние при температуре , связаннойс появлением спонтанной намагниченности на решетке при < в отсутствие внешнего магнитного поля.
Первое исследование ферромагнитныхсвойств двухмерной модели Изинга было выполнено Пайерлсом [66] и развито Крамерсом и Ваннье [67]. Была точно определена температура фазо√вого перехода / = 2/ ln(1 + 2) = 2.269, где - константа Больцмана, - интеграл обменного взаимодействия.Осангером [68] было получено точное решение задачи о фазовом переходе в двухмерной модели Изинга. Им было показано, что точное вычислениесвободной энергии приводит к существенному отличию поведения термодинамических величин от того, которое предсказывалось приближеннымитеориями, например методом среднего поля.Особая роль модели Изинга в статистической физике объясняется тем,что она нашла применение при исследовании самых разнообразных магнитных и немагнитных систем.
С ее помощью могут быть описаны ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики, решеточная модель жидкости, различные бинарные смеси и сплавы, адсорбция на поверхности,«плавление» ДНК и другие системы. Это объясняет огромный интерес кисследованию свойств изингоподобных систем как аналитическими методами [42, 45, 62, 69, 70] , так и численных исследований методом МонтеКарло [25, 26, 60].В основе модели Изинга лежат следующие упрощения: пренебрегаетсякинетической энергией атомов в узлах решетки, параметр порядка является однокомпонентным ( = 1) и может принимать только два дискретныхзначения, в энергии взаимодействия учитывается вклад только ближайшихсоседей.
Исходя из (1.16), гамильтониан модели представим в виде = −∑︁ − ℎ∑︁<,>21 ,(1.17)где = ±1, > 0 - для случая ферромагнитного вещества.1.2.1Метод Монте-КарлоМетод Монте-Карло используется в численной физике для статистического моделирования на ЭВМ систем со многими степенями свободы. В егооснове лежит использование случайных чисел для машинной имитации распределений вероятности [54, 55, 64].
Метода Монте-Карло применяется какдля определения различных характеристик системы в рамках классическыхспиновых моделей [64], так и для исследования систем в рамках квантовой теории [65]. Стоит отметить, что качество результатов моделированиязависит от качества используемого генератора случайных чисел [71–73].Рассмотрим применение метода Монте-Карло к моделированию системы спинов в рамках модели Изинга [55, 64]. Пусть исследуется система,состоящая из -частиц, находящаяся в объеме при постоянной температуре . Поскольку возможно моделирование только ограниченного числа из полного, в общем случае огромного, набора конфигураций , то среднеезначение некоторой величины < > можно оценить как∑︀ ∼ =1 exp(− 1 ∑︁ ) exp(− ) = ∑︀,< >= =1exp(−)=1(1.18)где и - полная энергия и значение физической величины в конфигурации . Простейшая процедура Монте-Карло, казалось бы, состоит в том,что создается случайная конфигурация , вычисляются , и подсчитывается вклад этой конфигурации в среднее значение < >.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
