Диссертация (1150459), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и принимает одно из двух возможныхзначений: 0 () = 8/7, или 0 () = 1.5.3.2Критерий ПоповаРассмотрим задачу стабилизации продольного движения самолета, описываемого следующей системой дифференциальных уравнений [3]:⎧⎪⎪˙ = −( + )() + (),⎪()⎪⎪⎨˙ () = () − () − () − (()) − (),⎪⎪⎪⎪⎪˙ = (),⎩()(5.26)где () – угон наклона траектории полета, () – угол тангажа, () – скоростьугла тангажа, () – управление высотой, (()) – неизвестная функция, лежащая в бесконечном секторе и имеющая смысл трения, , , , – неизвестные положительные параметры. Пусть () + () доступна для наблюдений.Введем вектор состояния = col(, , ), вход = − (), выходы 1 = и = 1 + ˙ 1 = + , нелинейность (1 ) = 1/ () и представим систему ввиде (5.1):⎛−(⎜⎜⎜˙ = ⎜⎜⎝+ )0−01⎞⎛⎟⎞⎛⎞00⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎟0 ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟ (1 )⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎠⎝ ⎠⎝ ⎠000(︁)︁ = 0 1 1 ,(︁)︁1 = 0 1 0 (5.27)(5.28)Круговой критерий не может быть применен к этой задаче, потому что линейная часть не гипер-минимально-фазовоя от входа к выходу 1 , посколь52ку 1* = 0.
Проверим условия критерия Попова. Система (5.27), (5.28) пассифицируема от входа к выходу с любым положительным . В самом0.0−0.20.2 0.4 0.6x20.40.2x10.6деле: * = > 0, полином () = ( + ( + ))( + 1) гурвицев.024681002468106810t0.0−2.0−1.00.4kx30.00.81.0t02468100t24tРисунок 5.2: Состояние и параметры регулятора системы (5.27), (5.2), (5.5)Промоделируем систему (5.27) с конкретными значениями параметров инелинейностями.
Пусть = 1, = 1, = 1, = 1, = 1, (1 ) = 13 .Выше представлены графики состояния и коэффициентов регулятора. Как видноиз графиков, состояния системы стремятся к нулю, а коэффициент регулятора кнекоторому постоянному значению, что подтверждает адаптивную абсолютнуюстабилизируемость рассматриваемой системы.53Глава 6Адаптивное абсолютноеслежение6.1Постановка задачиРассмотрим нелинейную систему со стационарными нелинейностями:˙ = () + () − ()(, ),(6.1) = ()* ,где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R – векторы состояния, входаи выхода соответственно; (, ) = col(1 (1 , ), . . . , ( , )), где ( , ) –непрерывные функции, локально липшицевые по ; (), (), 1 (), () –вещественные матрицы подходящих размерностей, – вектор дополнительныхнеизвестных параметров из известного множества Ξ.Пусть задана вектор-функция () ∈ R желаемого выхода системы.
Такимобразом, имеем следующую цель управления:‖() − ()‖ 6 ∆ при > * ,(6.2)где ∆ и * – некоторые неотрицательные константы, которые могут быть фиксированными или независящими от задачи.54Рассмотрим расширенный выход системы (6.1):ˆ = col(, ) = col(()* , )(6.3)Пусть система (6.1) замкнута следующей обратной связью: = * ˆ,(6.4)= (ˆ ),(6.5)где () – непрерывная матричнозначная функция. Уравнение (6.5) определяетзакон изменения матрицы . Такие законы называются адаптивными алгоритмами. Отметим, что алгоритм (6.4), (6.5) не зависит от .Пусть нелинейности ( , ) являются монотонно неубывающими относительно вектора , то есть удовлетворяют следующему соотношению для всех ∈ Ξ:( − )( ( , ) − ( , )) > 0, = 1, . .
. , .(6.6)Условие (6.6) также можно интерпретировать как условие принадлежности кбесконечному сектору для нелинейностей (˜ ) = (˜ + ) − ( ) относительно ˜ = − : (˜ )˜ > 0, = 1, . . . , .(6.7)Предположим, что о нелинейностях из (6.1) ничего не известно помимо того,что они удовлетворяют условию роста (6.6). Задача состоит в нахождении функции () в (6.5) такой, что цель (6.2) будет достигаться для всех нелинейностей,удовлетворяющих (6.6).6.2Основной результатНаряду с нелинейной системой (6.1) рассмотрим линейную систему, полученную из (6.1) заменой 1 () на нулевую матрицу:˙ = () + (),55 = ()* .(6.8)Предположим, что линейная система (6.8) строго -пассифицируема.
Этоозначает, что для каждого ∈ Ξ существует ( × )-матрица 0 = 0* > 0 и( × )-матрица 0 (), такие что0 0 () + 0 ()* 0 < 0,*(6.9)*0 () = () + ()0 () () ,0 () = ().(6.10)Введем обозначение 0 () = ()* (() + ()0 ()* ()* )−1 () – значение передаточной матрицы системы (6.8), замкнутой пассифицирующей обратной связью, в нуле.Найдем идеальные параметры регулятора (6.4), при которых цель (6.2) будетдостигаться для замкнутой системы (6.1), (6.4). Будем искать параметры регулятора в виде 0 () = col(0 (), 0 ()), для некоторой ( × )-матрицы 0 ().Определим вектор-функцию 0 (, ) желаемого установившегося состояния системы, которая может быть определена из следующего уравнения:0 + 0* ˆ0 − ( * 0 ) = 0( + 0* * )0 + 0* − () = 0(6.11)0 = (+0* * )−1 [() − 0* ].Определим 0 () из условия * ()0 (, ) = (): = * 0 = 0 [() − 0* ]() = [0−1 + 0* ]{︂}︂()0* = −0−1 + diag,где обратимость 0 следует из свойств пассивных систем и(6.12) ( )= 1 для = 0.Подставляя (6.12) в (6.11) можно получить0 () = ( + 0* * )−1 0−1 ().(6.13)Обозначим ˜ = − 0 и рассмотрим систему (6.1) в отклонениях от установившегося состояния.
Тогда ˜˙ = + * ˆ − () − (0 + 0* 0 −56( * 0 ))− ˙ 0 = (+0* * )˜ −0* * + * ˆ −()−0* +()− ˙ 0 = + ( − 0 )* ˆ − (() − ()) − ˙ 0 . То есть получена следующая( + 0* * )˜система:˜˙ = 0 ˜ + ( − 0 )* ˆ − (˜ ) − ˙ 0 ,*(6.14)˜ = () ˜,где нелинейность (˜ ) = (˜ +)−() удовлетворяет секторному условию (6.7)и 0 определено в (6.13).6.2.1РегулированиеВ этом разделе предположим, что желаемый выход системы () постоянный:() ≡ .
В этом случае можно достичь выполнения (6.2) для всех ∆, то естьвыполненияlim ‖() − ‖ = 0.→∞(6.15)Рассмотрим алгоритм адаптации (6.5) следующего вида:vec(/) = − (2 ⊗ ˆ)* ( − ),(6.16)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная (2 ×2 )-матрица, – некоторая вещественная (2 × 2)-матрица.Алгоритм такого вида был предложен в [40]. Он является обобщением хорошо известного алгоритма из [23], где матрица имела блочно-диагональныйвид.Теорема 6.1. Рассмотрим систему (6.1), (6.3), (6.4). Цель управления (6.15) достигается в классе неопределенностей Ξ в классе нелинейностей (6.6) в классеалгоритмов (6.5), если алгоритм адаптации имеет вид (6.16) и линейная система (6.8) строго -пассивна от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.57Доказательство. Рассмотрим систему в отклонениях (6.14).
В этом случае ˙ 0 =0 и для идеальных параметров = 0 (6.14) является абсолютно устойчивой.Докажем, что (6.15) также будет достигаться с алгоритмом адаптации (6.16).Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова следующего вида:1 *1 (︁˜ ˜0 )︁* (︁˜ ˜0 )︁ − () − () , (˜, ) = ˜ 0 ˜ +22(6.17)где = −1 , ˜ = vec(), ˜0 () = vec(0 ()).Покажем, что функция (6.17) удовлетворяет следующим соотношениям длявсех из Ξ:˜ ̸= 0, ̸= 0 (),(6.18)˜ ̸= 0, (˜ , )˜ > 0,(6.19) (˜, ) > 0 при˙ (˜, ) < 0 пригде ˙ – производная от вдоль (6.1).Свойство (6.18) следует из положительной определенности матриц 0 , .Выберем произвольный ∈ Ξ и рассмотрим ˙ (˜, ) для проверки свойствапроизводной:˙ (˜, ) = ˜* 0 [0 ˜ + ( − 0 )* ˆ − (˜ )] + (˜ − ˜0 )* ˜(ˆ)= ˜* 0 0 ˜ + ˜* 0 ( − 0 )* ˆ − ˜* 0 (˜ ) + (˜ − ˜0 )* ˜(ˆ)где ˜(ˆ ) = vec( (ˆ )). Применение Леммы (1.2) дает:˙ (, ) = ˜* (0 0 + *0 0 )˜ + ˜* 0 (2 ⊗ ˆ)* (˜ − ˜0 ) −˜* 0 (˜ ) + (˜ − ˜0 )* ˜(ˆ)= ˜* (0 0 + *0 0 )˜ − ˜* 0 (˜) +(˜ − ˜0 )* [ ˜(ˆ ) + (2 ⊗ ˆ) * 0 ˜]Таким образом (6.19) эквивалентно следующему соотношению:˜* (0 0 + *0 0 )˜ − ˜* 0 (˜) +(˜ − ˜0 )* [ ˜(ˆ ) + (2 ⊗ ˆ) * 0 ˜] < 0 при ˜ ̸= 0, (˜ )˜ > 0.58(6.20)Поскольку vec(/) = ˜(ˆ ) соотношение (6.16) может быть переписанокак ˜(ˆ ) + (2 ⊗ ˆ)* ( − ) = 0.
Умножая обе части на = −1 получаем ˜(ˆ )+(2 ⊗ˆ )* ( * −) = 0. Соотношение (6.10) влечет равенство нулевомувектору последнего слагаемого в левой части неравенства (6.20): ˜(ˆ ) + (2 ⊗ ˆ) * 0 ˜ = 0.(6.21)Используя (6.21) неравенство (6.20) может быть переписано:*˜ (0 0 +*0 0 )˜−∑︁(˜* 0 ) (˜ ) < 0 при ̸= 0, (˜ )˜ > 0. (6.22)=1Это неравенство выполнено поскольку неравенство (6.9) выполнено и(˜* 0 ) = (˜* ) = ˜ > 0 при ˜ > 0 из неотрицательности элементов матрицы . Таким образом (6.19) доказана.Введем обозначение = −(0 0 + *0 0 ) > 0. Убирая из левой части (6.22)неотрицательные слагаемые и заменяя норму матрицы на ее верхнюю границуполучаем:˙ (˜(), ()) 6 −‖˜()‖2 ,(6.23)для некоторого > 0.
Интегрируя неравенство выше от 0 до > 0 и обозначая∫︀ ()‖2 , можно получить:2 = 0 ‖˜2 − (˜(0), (0)) 6 − (˜(), ()) 6 0,что влечет 6(6.24)√︀∫︀ ∞ (˜(0), (0))/. Таким образом, величина 2 = 0 ‖˜()‖2 конечна, то есть ˜ ∈ 2 . Правая часть (6.16) является квадратичной формойот ˜. Это влечет существование конечного предела lim→∞ (). Неравенство(6.5) влечет существование конечного предела (), и принимая во вниманиевид (), существует предел ˜()* 0 ˜(). Но ˜ ∈ 2 , так что lim→∞ ˜() = 0.Поскольку был произвольным, цель управления (6.15) достигается.59Как можно видеть из доказательства Теоремы 6.1 ее условия достаточныдля существования квадратичной функции Ляпунова (6.17), удовлетворяющей(6.18), (6.19).
На самом деле эти условия не только досточны, но и необходимы.Для точной формулировки этого утверждения нам понадобится дополнительноеусловие точности ограничений (6.7) для всех ∈ Ξ в следующем смысле: ( , )= 0, ̸=0inf ( , )= ∞. ̸=0sup(6.25)Теорема 6.2.
Рассмотрим систему (6.1), (6.4). Тогда квадратичная функция Ляпунова (6.17), удовлетворяющая (6.18), (6.19) для всех ∈ Ξ существует, еслиалгоритм адаптации имеет вид (6.16) и для всех ∈ Ξ линейная система (6.8)строго -пассифицируема с диагональной матрицей с неотрицательнымиэлементами. Если ранг матрицы () равен и (6.25) выполнено, условия выше также необходимы для существования функции Ляпунова.Доказательство.
Достаточность была доказана в Теореме 6.1. Докажем необходимость. Пусть существуют матрицы 0 (), , 0 () такие что функция Ляпунова (6.17) обладает желаемыми свойствами (6.18), (6.19). Введем матрицу0 () = () + ()0 ()* ()* . Можно повторить те же строки от (6.19) к(6.20) из предыдущей теоремы и доказать, что (6.20) выполнено.Возьмем произвольный ∈ Ξ и докажем, что (6.21) выполнено (зависимостьот будет опущена на протяжении доказательства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
