Диссертация (1150459), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Он является обобщением алгоритмаиз [23], где матрица имела блочно-диагональный вид.Наряду с нелинейной системой (5.1) будем рассматривать линейную систему,получающуюся из (5.1) заменой 1 () на нулевую матрицу:˙ = () + (),5.2.1 = ()* .(5.6)Критерий ПоповаТеорема 5.1. Рассмотрим систему (5.1), (5.2) со стационарными нелинейностями. Пусть 1 () = −(). Предположим, что 1* = 0 и = 1 + * 1 Θ длянекоторой диагональной матрицы Θ с неотрицательными элементами. Тогда43система (5.1) адаптивно абсолютно стабилизируема в классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (5.3), если алгоритм адаптации имеетвид (5.5) и для любого ∈ Ξ линейная система (5.6) строго -пассифицируемаот входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.Доказательство. Строгая -пассифицируемость системы (5.6) означает, что длялюбого ∈ Ξ существует (×)-матрица 0 () = 0 ()* > 0 и (×)-матрица0 (), такие что0 ()0 () + 0 ()* 0 () < 0,*(5.7)*0 () = () + ()0 () () ,0 ()() = () = 1 () + ()* 1 ()Θ.(5.8)Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида1 *1 (︁˜ ˜0 )︁* (︁˜ ˜0 )︁ (, ) = 0 () + − () − () +22∫︁∑︁ =11 ( ) , (5.9)0где = −1 , ˜ = vec(), ˜0 () = vec(0 ()), – элементы матрицы Θ, –элементы матрицы .Покажем, что функция (5.9) удовлетворяет следующим условиям для всех из Ξ: ̸= 0, ̸= 0 (),(5.10) ̸= 0, (1 , )1 > 0,(5.11) (, ) > 0 при˙ (, ) < 0 пригде ˙ – производная от вдоль (5.1).Свойство (5.10) следует из положительной определенности матриц 0 , исекторного условия (5.4).
Выберем произвольный ∈ Ξ и вычислим ˙ (, ) дляпроверки свойства производной (зависимость от будет опущена на протяжении44доказательства):˙ (, ) = * 0 ( + * − ()) + (˜ − ˜0 )* ˜() +∑︁ (1 )˙ 1=1= * (0 0 + *0 0 ) − * 0 (, ) +(˜ − ˜0 )* ˜() + * 0 ( − 0 )* + ˙1 * Θ,где ˜() = vec( ()). Поскольку ˙1 = 1* ˙ = 1* ( + * − ) = 1* изЛеммы (1.2) следует:˙ (, ) = * (0 0 + *0 0 ) − * 0 () + (˜ − ˜0 )* ˜() +* 0 ( ⊗ )* (˜ − ˜0 ) + * * 1 Θ= * (0 0 + *0 0 ) − * (0 − * 1 Θ)() +(˜ − ˜0 )* ˜() + (˜ − ˜0 )* ( ⊗ ) * 0 = * (0 0 + *0 0 ) − * (0 − * 1 Θ)() +(˜ − ˜0 )* [ ˜() + ( ⊗ ) * 0 ]Таким образом (5.11) эквивалентно следующему соотношению:* (0 0 + *0 0 ) − * (0 − * 1 Θ)(, ) +(˜ − ˜0 )* [ ˜() + ( ⊗ ) * 0 ] < 0для ̸= 0, (1 )1 > 0.
(5.12)Поскольку vec(/) = ˜() соотношение (5.5) может быть переписано как˜()+ ( ⊗)* = 0. Умножая обе части на = −1 получаем ˜()+( ⊗)* * = 0. Соотношение (5.8) влечет равенство нулю последнего слагаемогов левой части (5.12): ˜() + ( ⊗ ) * 0 = 0.(5.13)Используя (5.13) соотношение (5.12) может быть переписано:* (0 0 +*0 0 )−∑︁(* (0 − * 1 Θ)) (1 ) < 0=1для ̸= 0, (1 )1 > 0. (5.14)45Это неравенство выполнено поскольку выполнено (5.7) и (* (0 −* 1 Θ)) = (* 1 ) = 1 > 0 для 1 > 0 при условиичто у матрицы неотрицательные элементы. Таким образом (5.11) доказано.Введем матрицу = −(0 0 + *0 0 ) > 0. Убирая из левой части (5.14)неотрицательные слагаемые и заменяя норму матрицы на ее верхнюю границуполучаем:˙ ((), ()) 6 −‖()‖2 ,(5.15)для некоторого > 0.
Проинтегрируем неравенство выше от 0 до > 0 и обо∫︀ значим 2 = 0 ‖()‖2 . Получим:2 − ((0), (0)) 6 − ((), ()) 6 0,(5.16)√︀откуда следует, что 6 ((0), (0))/. Таким образом, величина 2 =∫︀ ∞220 ‖()‖ конечна, то есть ∈ . Правая часть (5.5) является квадратичнойформой вектора .
Это влечет существование конечного предела lim→∞ ().Неравенство (5.15) влечет существование конечного предела () и беря в расчет вид (), существует предел ()* 0 (). Но ∈ 2 , так что lim→∞ () = 0.Поскольку был произвольным, данная система адаптивно абсолютно стабилизируема.Замечание 5.1. Условие 1* = 0 означает, что относительная степень передаточной матрицы от входа к выходу 1 больше 1. В этом случае 1* совпадает с ˙ 1 и условие = 1 + * 1 Θ означает, что является линейнойкомбинацией 1 и ˙ 1 .Как видно из доказательства Теоремы 5.1, ее условия достаточны для существования функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл отнелинейности".
На самом деле эти условия не только достаточны, но и необходимы. Для точной формулировки утверждения понадобится дополнительное46условие точности связей (5.4) для всех ∈ Ξ в следующем смысле [5]: ( , , )= 0, ̸=0,∀inf ( , , )= ∞. ̸=0,∀sup(5.17)Среди примеров нелинейностей из постановки задачи первые три удовлетворяют (5.17), последние две нет.Теорема 5.2. Рассмотрим систему (5.1), (5.2) со стационарными нелинейностями. Пусть 1 () = −(). Предположим, что 1* = 0 и = 1 + * 1 Θдля некоторой диагональной матрицы Θ с неотрицательными элементами.
Тогда существует квадратичная функция Ляпунова (5.9), удовлетворяющая (5.10),(5.11) для всех ∈ Ξ, если алгоритм адаптации имеет вид (5.5) и для всех ∈ Ξлинейная система (5.6) строго -пассифицируема с диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Если ранг матрицы () равен и условиеточности связей (5.17) выполнено, указанные выше условия также необходимыдля существования функции Ляпунова.Доказательство. Достаточность была доказана в Теореме 5.1. Докажем необходимость.
Пусть существуют матрицы 0 (), , 0 () такие что функция Ляпунова (5.9) обладает желаемыми свойствами (5.10), (5.11). Введем матрицу0 () = () + ()0 ()* ()* . Можно повторить те же рассуждения от (5.11)к (5.12) из предыдущей теоремы и доказать, что (5.12) выполнено.Возьмем произвольный ∈ Ξ и докажем, что (5.13) выполнено (зависимостьот будет опущена на протяжении доказательства). Предположи противное: = ˜() + ( ⊗ ) * 0 ̸= 0. Тогда можно выбрать ˜ = ˜0 + , где ∈ R, > 0. Левая часть (5.12) будет переписана как * (0 0 + *0 0 ) −* 0 (, ) + ‖‖2 .
Для любого фиксированного можно выбрать достаточно большой , такой что отрицательность (5.12) будет нарушена. Таким образом(5.13) выполнена и (5.12) можно переписать как (5.14).Нелинейности ( ) можно заменить независимыми , поскольку (5.14) выполнено для всех функций, удовлетворяющих секторным условиям (5.4) и усло47вию точности связей (5.17):* (0 0 +*0 0 )−∑︁(* 0 ) < 0 для > 0.(5.18)=1Покажем, что (5.18) удовлетворяет условиям Теоремы 1.2 о неущербности процедуры.
В самом деле, сумма в левой части (5.18) может быть представлена∑︀как =1 () , где () – линейные функционалы, – вещественные числа;ограничения могут быть представлены в виде () > 0, где () линейныефункционалы. Применяя -процедуру к (5.18) получаем, что () = () длянекоторого строго положительного . В наших обозначениях это означает, что(* 0 ) = * = (* ) , ∀, = 1, . .
. , . Это означает, что (5.8) выполненос диагональной матрицей с неотрицательными элементами . Поскольку в(5.18) могут быть = 0, неравенство (5.7) также выполнено, таким образом(5.6) строго -пассифицируема.Введем обозначение = −1 > 0. Тогда (5.13) влечет ˜() = − ( ⊗) * 0 = − ( ⊗ )* , то есть алгоритм адаптации имеет вид (5.5) с матрицей . Поскольку был произвольным, теорема доказана.Замечание 5.2. Теорема показывает, что алгоритм (5.5) охватывает все стабилизирующие алгоритмы вида (5.2), которые могут быть получены с использованием функции Ляпунова вида (5.9).5.2.2Круговой критерийКруговой критерий не требует предположения о стационарности нелинейностей.Теорема 5.3.
Рассмотрим систему (5.1), (5.2). Пусть 1 () = −() и 1 () =, то есть 1 = . Тогда (5.1) адаптивно абсолютно стабилизируема в классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (5.3), если алгоритмадаптации имеет вид (5.5) и для любого ∈ Ξ линейная система (5.6) строго-пассифицируема от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами.48Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы, для = 0, = 1, . . . , .Замечание 5.3. Аналогичный результат для = 1 был получен в [19].Доказательство Теоремы 5.3, основано на существовании квадратичнойфункции Ляпунова1 *1 (︁˜ ˜0 )︁* (︁˜ ˜0 )︁ (, ) = 0 () + − () − () ,22(5.19)где = −1 , 0 () = 0 ()* > 0 – некоторая ( × )-матрица, ˜ =vec(), ˜0 () = vec(0 ()), 0 () – ( × )-матрица, удовлетворяющей ̸= 0, ̸= 0 (),(5.20) ̸= 0, ( , , ) > 0,(5.21) (, ) > 0 при˙ (, ) < 0 пригде ˙ – производная в силу (5.1).Аналогично предыдущему разделу можно доказать следующую теоремуТеорема 5.4.
Рассмотрим систему (5.1), (5.2). Пусть 1 () = −() и 1 () =(), то есть 1 = . Тогда квадратичная функция Ляпунова (5.19), удовлетворяющая (5.20), (5.21) для всех ∈ Ξ существует, если алгоритм адаптации имеет вид (5.5) и для всех ∈ Ξ линейная система (5.6) строго -пассифицируема сдиагональной матрицей с неотрицательными элементами. Если ранг матрицы () равен и выполнено (5.17), где и берутся по всем , указанныевыше условия также необходимы для существования квадратичной функцииЛяпунова.Замечание 5.4.
Теорема показывает, что алгоритм (5.5) охватывает все стабилизирующие алгоритмы вида (5.2), которые могут быть получены с использованием квадратичной функции Ляпунова (5.19).Замечание 5.5. Аналогичный результат для случая = 1 был получен в [19].495.3Примеры5.3.1Круговой критерийРассмотрим задачу синхронизации двух цепей Чуа [34]. Динамика каждой изсетей описывается следующей системой дифференциальных уравнений:⎧⎪()()()()⎪⎪˙ 1 () = (2 − 1 − (1 )),⎪⎪⎨()()()()(5.22)˙()=−+2123 ,⎪⎪⎪⎪()⎪⎩˙ ()3 () = −2 ,()()()()где () = col(1 , 2 , 3 ), = 1, 2 – векторы состояний, () = 1 , = 1, 2 –выходы, () = 1 +0 −1(|2+ 1| − | − 1|) – нелинейность и , , 1 , 0 –неизвестные параметры системы.1Обозначим () = − 0 −(| + 1| − | − 1| − 2) и перепишем систему в2следующем виде:⎧⎪()()()()⎪⎪˙()=(−(1+0 )1 + 2 + (1 )),⎪1⎪⎨()()()()˙ 2 () = 1 − 2 + 3 ,⎪⎪⎪⎪()⎪⎩˙ ()3 () = −2 ,(5.23)Предположим, что управление входит в первое уравнение первой цепи.Тогда обозначим ˜ = (1) −(2) , ˆ = (1) − (2) , ( (1) , (2) ) = −/(( (1) )−( (2) ))и представим эволюцию ˜ в форме системы (5.1):⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞−(1 + 0 ) 0⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜0 ⎟⎜ ⎟˙˜ = ⎜1−11 ),⎜⎟ ˜ + ⎜ ⎟ − ⎜0⎟ (˜⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠0− 000(︁)︁˜ = 1 0 0 ˜,50(5.24)(5.25)Найдем значения параметров при которых линейная часть системы (5.24) будет гипер-минимально-фазовой.
Число * > 0 для всех положительных , .Полином () = 2 + + гурвицев для всех положительных . Нелинейность( 1 , 1 ) принадлежит бесконечному сектору относительно ˜ для всех 1 > 0 .Промоделируем систему (5.24) с конкретными значениями параметров инелинейностей. Пусть, согласно [34], 0 = −8/7, 1 = −5/7, = 15.6, =25.58, = = 1. Ниже представлены графики состояний системы и параметроврегулятора. Как видно из графиков ниже, состояния системы стремятся к нулю,а коэффициент регулятора к некоторому постоянному значению, что подтвер-0.5~x2−0.50−1.5−2 −1~x1121.5ждает адаптивную абсолютную стабилизируемость рассматриваемой системы.0102030405001020304050304050t−15−10k0−5~x3−550t010203040500t1020tРисунок 5.1: Состояние и параметры регулятора системы (5.24), (5.2), (5.5)51Также возможен случай, когда нелинейности в цепи Чуа нестационарны.Аналогично [41] можно рассмотреть случай 0 = 0 (), где 0 () постояннана интервалах ∈ [, + 1), = 0, 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
