Диссертация (1150459), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если ранг матрицы равен , тогда вышеуказанныеусловия также необходимы.Замечание 1.1. -пассифицируемость системы (1.10) эквивалентно выполнимости следующих матричных соотношений для некоторой матрицы и матрицы = * > 0:() + * () < 0, = ,() = + * * .15Также понадобятся несколько фактов из линейной алгебры.Определение 1.10. Если – (×)-матрица и – (×)-матрица, тогда кронекерово произведение матриц и , обозначаемое через ⊗ , определяетсякак следующая блочная матрица размера × :⎞⎛ . .

. 1 ⎟⎜ 11⎟⎜.. ⎟...⎜ ....⊗ =⎜⎟.⎟⎜⎠⎝1 . . . Определение 1.11. Оператор векторизации – линейный оператор, отображающий ( × )-матрицу в столбец размера , полученный из наложениемстолбцов матрицы друг на друга:vec() = col(11 , . . . , 1 , . . . , 1 , . . . , ).Лемма 1.2. Пусть дана (×)-матрица , – вектор-столбец длины .

Тогдавыполнено следующее соотношение:* = ( ⊗ )* vec()1.4Оценочно оптимальные алгоритмыРассмотрим нелинейную систему:˙ = (, , , ) + (, ), = ℎ(, )(1.14)где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R – векторы состояния,входа и выхода соответственно; непрерывна по , и дифференцируема по, ; ℎ непрерывна по , дифференцируема по ; (, ) – вектор-функциявозмущений, предполагаемая ограниченной и кусочно-непрерывной; – вектордополнительных неизвестных параметров из известного множества Ξ.16Пусть задана цель управлений в виде((), ) 6 ∆ при > * ,(1.15)где ((), ) - целевой функционал, ∆, * > 0.Пусть вход лежит в следующем классе: = * ,(1.16)= (),(1.17)где () непрерывная матричнозначная функция. Уравнение (1.17) определяетзакон изменения матрицы .

Такие законы называются адаптивными алгоритмами. Отметим, что алгоритм (1.16), (1.17) не зависит от .Ставится задача определения алгоритма управления (адаптации) (), такчтобы достигалась цель управления (1.15) и все траектории системы (1.14),(1.16), (1.17) были ограничены.При наличии неизвестных возмущений (, ) в (1.14) уровень точности ∆ в(1.15) не может быть произвольно малым. Если известно, что некоторая точность∆* достижима с = * при условии наблюдаемости возмущений, то желательно достичь выполнения цели управления со сколь угодно близким ∆ > ∆* .Желательно, чтобы в качестве ∆* была взята минимально возможная величина, например, ∆* = * = inf sup lim→∞ ((), ), тогда система обладала бысвойством оптимальности или субоптимальности. Однако, в нелинейных задачах вычисление * , как правило, затруднено, к тому же он может оказаться зависимым от неизвестного .

Поэтому зададимся целью приближения не к точнойвеличине * , а к некоторой его оценке.Определение 1.12. Пусть задана система (1.14) и класс управлений (1.16),(1.17). Пусть для любого ∈ Ξ существует алгоритм * из этого класса, такой, что(, * ) 6 ∆* ,17(1.18)где (, * ) = lim→∞ ((), ), () – решение (1.14) со входом * . Тогда число∆* называется оценкой оптимума функционала (, ) на классе алгоритмов(1.16), (1.17), а алгоритм * , обеспечивающий для данного выполнение (1.18)называется оценочно оптимальным.Определение 1.13.

Пусть задана система (1.14) и класс управлений (1.16),(1.17). Пусть ∆* – оценка оптимума функционала (, ) и число > 0. Алгоритм управления * , обеспечивающий для любого ∈ Ξ выполнение (, * ) 6∆* + , называется оценочно -оптимальным в классе (1.16), (1.17).18Глава 2Круговой критерий2.1Постановка задачиРассмотрим линейную систему:= + , = * ,(2.1)где = () ∈ C , = () ∈ C , = () ∈ C – векторы состояния, входа ивыхода соответственно, , , – постоянные комплексные матрицы размеров × , × , × соответственно. Случай, когда все векторы и матрицы в (2.1)вещественны будем называть вещественным.Передаточная матрица (2.1) определяется как () = * ( − )−1 , где – единичная матрица порядка .Пусть система (2.1) замкнута непрерывными функциями, локально липшицевыми по = − ( , ), = 1, .

. . , .(2.2)Пусть нелинейности удовлетворяют так называемому секторному условиюRe {* ( , )} > 0,19∀, = 1, . . . , .(2.3)Также предположим, что связи (2.3) точны в следующем смысле:inf Re ̸=0,∀ ( , )= 0,sup Re ̸=0,∀ ( , )= +∞.Примерами таких функций являются =| |4 sin2 (), (2.4)=(Re − sin(Re )) + (Im )3 , = Re (Im )2 + cos(Re )Im .Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования квадратичной функции Ляпунова с симметричной ( × )-матрицей () = * ,(2.5)такой, что ее производная в силу системы (2.1), (2.2) удовлетворяет неравенству: / < 0 при2.2Re {* } 6 0, = 1, . . .

, , ̸= 0.(2.6)Неущербность S-процедурыПредставим новый результат о неущербности -процедуры, который будет использоваться в дальнейшем, а также может быть полезен в других задачах. Этотрезультат можно рассматривать как обобщение Теоремы 1.2 на комплексныйслучай.Теорема 2.1. Пусть – комплексное линейное пространство, – линейное пространство × C . Рассмотрим вещественнозначные функционалы, 1 , . . .

на следующего вида () = 0 () +∑︁Re {* ()}, () = Re {* ()},(2.7)=1где 0 – любой вещественнозначный функционал на и , – линейныефункционалы на .Тогда -процедура для неравенства ()1 () 6 0, . . . , () 6 0 неущербна.20<0 с ограничениямиДоказательство. Пусть () < 0 при 1 6 0, . . . , 6 0, ̸= 0.Задав равными нулю имеем 0 () < 0 для всех ∈ , ̸= 0. Доказательство будет проделано в три шага.1. Докажем, что для каждого ∈ 1, . . . , равенство () = 0 влечет () =0, то есть ядро содержится в ядре .В самом деле, пусть () = 0. Для каждого > 0 составим вектор = (, 1 , .

. . , ) ∈ , где = 0, ̸= , = . Для таких векторов имеем = 0, = 1, . . . , . Тогда ( ) = 0 () + Re () < 0. Устремляя к+∞ получаем, что необходимо выполнение Re () 6 0. Аналогично, выбирая = − получим Re () > 0, что влечет Re () = 0. Рассматривая = и = − имеем Im () = 0, то есть () = 0.В частности, это означает, что если 0 = 0 для некоторого индекса 0 , тонеобходимо чтобы соответсвующий 0 был равен 0.

Таким образом без умаления общности можем предположить, что ̸= 0 для всех ∈ 1, . . . , . Поскольку ̸= 0 существует вектор такой что ( ) = 1 (так как можем взять любойвектор , такой что () ̸= 0 и рассмотреть вектор / ()).2. Докажем, что ( ) ∈ R, ( ) > 0 для каждого = 1, . . . , .Для каждого = 1, . . . , и для любого > 0 составим вектор =( , 1 , .

. . , ) ∈ , где = 0, ̸= , = −. Для таких векторов =0, ̸= , = −Im ( ) = 0. Таким образом ( ) = 0 ( ) − Im ( ) < 0.Устремляя к +∞ получаем Im ( ) > 0. Аналогично рассматривая вектор = ( , 1 , . . . , ) ∈ , где = 0, ̸= , = получим Im ( ) 6 0.Таким образом Im ( ) = 0, что означает, что ( ) = Re ( ).Теперь для каждого = 1, . . . , и для любого > 0 составим вектор =( , 1 , .

. . , ) ∈ , где = 0, ̸= , = −. Имеем = 0, ̸= , =− ( ) < 0. Тогда ( ) = 0 ( ) − ( ) < 0, что влечет ( ) > 0. Тоесть доказали, что для каждого ∈ 1, . . . , существует вектор , такой что ( ), ( ) ∈ R, ( ) > 0, ( ) > 0.213. Докажем, что для каждого ∈ 1, . . .

, существует > 0 такой что = .Согласно предыдущим пунктам существует , такой что ( ) = 1, ( ) >0. Для произвольного вектора выполнены соотношения ( − () ) = ()− () ( ) = 0. Из пункта 1. следует, что (− () ) = 0. Рассмотримцепь очевидных равенств: () = ( − () + () ) = ( − () ) + ( () ) = () ( ), ( ) > 0. Поскольку вектор был произвольным,выполнено соотношение = , где > 0.∑︀Из пункта 3. следует, что () − =1 () = 0 () < 0. Таким образом,-процедура неущербна.Следствие 2.1.

Из доказательства теоремы видно, что могут быть выбраны из условия = . Таким образом если ̸= 0, то строго положительны.Замечание 2.1. Это обобщение Теоремы 1.2 на комплексный случай нетривиально, поскольку Re { ()}, Re { ()} не являются линейными функционаламина комплексном пространстве .2.3Основной результатТеорема 2.2. Рассмотрим систему (2.1), (2.2) с ограничениями (2.3) и (2.4) истабилизируемой парой (, ). Предположим, что ранг ( × )-матриц и равен .

Тогда квадратичная функция Ляпунова (2.5), удовлетворяющая(2.6), существует тогда и только тогда когда выполнены следующие частотные условия для некоторых 1 > 0, . . . , > 0 :Re {Λ ()} > 0 для ∈ (−∞, +∞),(2.8)2lim Re {Λ ()} > 0,→+∞где Λ = {1 , . . . , }.22Доказательство. a. Приведем (2.6) к эквивалентному неравенству.Рассмотрим функцию Ляпунова (2.5) и вычислим ее производную в силу (2.1):˙ () = * ( + * ) + 2Re {* }.Тогда неравенство (2.6) может быть переписано так:* ( + * ) + 2Re {* } < 0Re {* } 6 0, ∀ ̸= 0,для = 1, . . . , . (2.9)Введем обозначения: 0 () = * ( + * ) – вещественнозначный функционал на пространстве = C ; линейный функционал () = (2* ) –-я компонента вектора 2* ; () = (* ) . Функционалы ̸= 0 поскольку ранг матрицы равен . Введенные функционалы удовлетворяют условиямТеоремы 2.1, таким образом (2.9) эквивалентно выполнению следующего неравенства:*** ( + ) + Re{2 −∑︁ * } < 0 ∀ ̸= 0, ∀,=1для некоторых > 0.

Они строго положительны из следствия к Теореме 2.1.Это неравенство останется верным, если мы потребуем его выполнения для 2вместо :* ( + * ) + 2Re{* −∑︁ * } < 0 ∀ ̸= 0, ∀.(2.10)=1Введем матрицу = Λ, где Λ = {1 , . . . , }. Тогда (2.10) можно переписать как* ( + * ) + 2Re{* ( − )} < 0 ∀ ̸= 0, ∀.(2.11)b. Теперь можем показать, что (2.8) выполнено если и только если существует матрица = * > 0, такая что выполнено (2.11).

В самом деле, предположим,что (2.8) выполнено. Тогда по Теореме 1.1 получим + * < 0,23 = ,что влечет (2.11).Предположим теперь, что (2.11) выполнено. Тогда подставляя равным нулевому вектору получаем + * < 0. Из доказательства Теоремы 2.1 можноувидеть, что − равно нулю. Теорема доказана.Следствие 2.2 (Вещественный случай). Если все матрицы и вектора в системе(2.1), (2.2) вещественны и выполнено секторное условие ( , ) > 0,∀, = 1, . . . , ,частотное условие (2.8) эквивалентно существованию функции Ляпунова (2.5)с вещественной симметричной матрицей .Замечание 2.2. Для проверки достаточности (2.8) для существования функцииЛяпунова (2.5), удовлетворяющей (2.6) условия на ранг матриц , можноопустить.Замечание 2.3 (Нестрогое неравенство). Рассмотрим теперь следующеенестрогое неравенство вместо (2.6): / 6 0 приRe {* } 6 0, ∀, = 1, .

. . , .(2.12)Можно доказать, что при условиях Теоремы 2.2, существование функцииЛяпунова (2.5), удовлетворяющей (2.12), эквивалентно следующему частотномунеравенству, выполненному для некоторых 1 > 0, . . . , > 0 :Re {Λ ()} > 0 при ∈ (−∞, +∞),где Λ = {1 , . . . , }.Замечание 2.4 (Случай одной связи). Отметим, что в случае скалярных входаи выхода когда есть только одно секторное ограничение, утверждение Теоремы 2.2 следует из более общего результата Якубовича [27], [5], выполненногокак для бесконечных, так и конечных секторов.24Для случая двух секторных ограничений результат, похожий на результатЯкубовича, выполнен в комплексном случае, как следует из следующего замечания.Замечание 2.5 (Случай двух эрмитовых ограничений). Рассмотрим систему(2.1), (2.2) с = 2 и пусть нелинейности удовлетворяют секторным ограничениям(1)(2)Re {( () − )* ( − ())} > 0,(2)∀, = 1, . .

Характеристики

Список файлов диссертации