Диссертация (1150459), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. , ,(1)где > .Используя теорему о неущербности -процедуры для случая двух эрмитовых форм [20], [21] можно доказать утверждение, аналогичное Теореме 2.2.Следующий результат о критериях абсолютной устойчивости и абсолютнойнеустойчивости является прямым следствием из предыдущей теоремы.Теорема 2.3. Рассмотрим систему (2.1), (2.2) при ограничениях (2.3) и (2.4).Частотное условие (2.8) охватывает все критерии абсолютной устойчивостии абсолютной неустойчивости, которые могут быть получены на основе квадратичной функции Ляпунова (2.5), то есть никакие дополнительные сведенияо функциях из класса (2.3), (2.4) не помогут усилить условия устойчивости систем с нелинейностями из этого класса, получающиеся за счет функции Ляпунова (2.5).Замечание 2.6.

Аналогичный результат для случая скалярного входа ( = 1)был доказан в [32].Замечание 2.7. Если условие (2.8) выполнено, устойчивость системы (2.1), (2.2)определяется собственными числами матрицы . Система (2.1), (2.2) абсолютно устойчива в классе (2.3) если матрица гурвицева. Система абсолютнонеустойчива квадратичной степени если матрица имеет собственных чисел в правой полуплоскости и не имеет собственных чисел на мнимой оси [31].25Глава 3Критерий Попова ввещественном случае3.1Постановка задачиРассмотрим линейную систему:= + , = * ,(3.1)где вектор-функции = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R – состояние, вход и выход соответственно, , , – постоянные комплексные матрицыразмеров × , × , × соответственно.Передаточная матрица системы (3.1) имеет вид () = * ( − )−1 , где – единичная матрица порядка .Пусть система (3.1) замкнута локально липшицевыми функциями, не зависящими явно от времени = − ( ), = 1, .

. . , .(3.2)При этом требуем, чтобы (0) = 0, что влечет существование тривиальногорешения ≡ 0. Предполагаем, что для нелинейностей выполнены следующие26соотношения: ( ) > 0, = 1, . . . , ,(3.3)означающие, что графики функций (3.2) должны лежать в бесконечном секторе,который составляют первый и третий квадранты на плоскости.Также предполагаем, что связи точны [5] в смысле ( )= 0, ̸=0inf ( )= ∞, ̸=0sup = 1, . .

. , .(3.4)Задача состоит в нахождении для класса систем (3.1), (3.2), для которых выполнено (3.3), (3.4), необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности» ссимметричной ( × )-матрицей * () = + 2∑︁∫︁ ( ) , ∈ 1 ,(3.5)0=1такой, что для всех ̸= 0 ее производная в силу системы отрицательна: / < 0 при3.2 6 0, = 1, .

. . , .(3.6)Основной результатТеорема 3.1. Пусть дана система (3.1), (3.2) со стабилизируемой парой (, )и выполнены секторные условия (3.3), (3.4). Введем диагональную матрицуΘ = diag{1 , . . . , } с коэффициентами функции Ляпунова на диагонали. Предположим, что ранг ( × )-матриц и равен и выполнено Θ * = 0.Тогда существование функции Ляпунова вида (3.5), для которой выполнено(3.6), равносильно следующему частотному условию, выполненному для некоторых 1 , . . .

, > 0:{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),2*−1lim Re { ( − ) } > 0,→+∞где матрица = Λ + * Θ/2, Λ = diag{1 , . . . , }.27(3.7)Доказательство. a. Введем функцию Ляпунова∫︁ ∑︁ () = * + 2 ( ) .0=1Тогда производная в силу системы имеет вид˙ () = ( + ) + 2 − 2***∑︁ ˙ .=1Преобразуем ее:˙ () = * ( + * ) + 2* − 2* Θ,˙ где Θ = {1 , .

. . , }.Поскольку ˙ = * ˙ = * ( + ) и Θ * = 0, имеем˙ () = * ( + * ) + 2* − 2* Θ * ( + ) =˙ () = * ( + * ) + 2* ( − * Θ).Обратимся к необходимым и достаточным условиям выполнения* ( + * ) + 2* ( − * Θ) < 0 при 6 0, ̸= 0.(3.8)Покажем, что в этом неравенстве все функционалы того же вида, что и вТеореме 1.2. В самом деле, 0 () = * ( + * ) – эрмитов функционал напространстве = ; для всех вещественных и имеем**2 ( + Θ) =∑︁**(2 ( − Θ)) ==1∑︁ () ,=1где () = (2* ( − * Θ)) – -я компонента вектора * 2( − * Θ); = ( * ) = () . Функционалы () ̸= 0, поскольку ранг матрицы равен . А значит, неравенство (3.8) равносильно**** ( + ) + 2 ( − Θ) −∑︁2 < 0 ∀ ̸= 0,(3.9)=1выполненному для некоторых > 0.

Их строгая положительность следует изследствия к Теореме 1.2.28Поскольку∑︀=1 = * Λ, где Λ = {1 , . . . , }, неравенство (3.9)перепишется как* ( + * ) + 2* ( − * Θ) − 2* Λ < 0.Введем обозначение = * Θ + Λ.Тогда с учетом введенных обозначений окончательно получаем, что (3.8) равносильно* ( + * ) + 2* ( − ) < 0 ∀ ̸= 0.(3.10)b.

Докажем, что выполнение (3.10) равносильно выполнению частотногонеравенства из условия теоремы{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0.(3.11)→+∞Пусть выполнено частотное условие (3.11). Тогда по Теореме 1.1 имеем + * < 0, = ,откуда следует выполнение (3.10).Пусть теперь выполнено неравенство (3.10). Пусть = 0, тогда (3.10) приметвид + * < 0.

Пусть − ̸= 0. Тогда при достаточно большом > 0 и = ( − )* условие (3.10) нарушится.Таким образом, теорема доказана.Замечание 3.1. Преобразуем матрицу из частотного условия (3.7) с учетомΘ * = 0:* ( − )−1 = (Θ * + Λ * )( − )−1 =(Θ * ( + ( − ))( − )−1 + Λ () = Θ () + Λ ().То есть частотное условие (3.7) совпадает по форме со стандартным критерием Попова.29Замечание 3.2.

Частотное условие (3.7) влечет условие, что ранг ( × )матрицы равен (см. [5]), поэтому для достаточности (3.7) это условиеможно не проверять. Также можно опустить условие на ранг матрицы , таккак не требуется использования -процедуры.Замечание 3.3. Для существования функции Ляпунова достаточно выполнениячастотного условия (3.7), где одно или несколько = 0.Замечание 3.4. Условие Θ * = 0 выполнено, в частности, если относительная степень передаточной функции больше единицы, т. е. ее cтарший коэффициент * равен нулевой матрице.Следующий результат о критериях абсолютной устойчивости и абсолютнойнеустойчивости является прямым следствием из предыдущей теоремы.Теорема 3.2.

Рассмотрим систему (3.1), (3.2) при ограничениях (3.3) и (3.4).Частотное условие (3.7) охватывает все критерии абсолютной устойчивостии абсолютной неустойчивости, которые могут быть получены на основе функции Ляпунова вида (3.6), то есть никакие дополнительные сведения о функцияхиз класса (3.3), (3.4) не помогут усилить условия устойчивости систем с нелинейностями из этого класса, получающиеся за счет функции Ляпунова (3.6).30Глава 4Критерий Попова вкомплексном случае4.1Постановка задачиРассмотрим линейную стационарную систему:= + , = * ,(4.1)где вектор-функции = () ∈ C , = () ∈ C , = () ∈ C – состояние, вход и выход соответственно, , , – постоянные комплексные матрицыразмеров × , × , × соответственно.Передаточная матрица системы (4.1) имеет вид () = * ( − )−1 , где – единичная матрица порядка .Пусть система (4.1) замкнута локально липшицевыми комплексными функциями от = − ( ), = 1, .

. . , .(4.2)Предположим, что вещественные и мнимые части нелинейностей дифференцируемы как функции вещественных переменных и связаны следующим соот-31ношением:Re (1 , 2 ) Im (1 , 2 )=(4.3)21Также требуем, чтобы (0) = 0, что влечет существование тривиальногорешения ≡ 0 системы (4.1), (4.2).Предположим, что для нелинейностей выполнены секторные условия:Re{* ( ) } > 0, = 1, . . . , ,(4.4)являющиеся аналогом бесконечного сектора в вещественном случае.Также предположим, что соотношения (4.4) точны в следующем смысле [5]:inf Re ̸=0 ( )= 0,sup Re ̸=0 ( )= +∞.(4.5)Пусть = 1 + 2 , > 2 - некоторое четное число.

Приведем примерыфункций, удовлетворяющих (4.3), (4.4), (4.5): = , > 0; ( ) = 1−1 2 +1 2−1 ; ( ) = (1 ) + (2 ), где , - дифференцируемые функции, графикикоторых лежат в первом и третьем квадрантах; = (1 − (1 ))2 + ( 12 12 +(1 ))2−1 ; = (1 )2 + (1 (1 ) − 12 (1 + 12 ))2−1 .Для каждого обозначим за отрезок, соединяющий точку 0 с = ( * )на комплексной плоскости. Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий существования функции Ляпунова вида «квадратичная формаплюс интеграл от вещественной части нелинейности» с симметричной ( × )матрицей * () = + 2∑︁=1 Re⎧⎪⎨∫︁⎪⎩* () ⎫⎪⎬, ∈ 1 ,(4.6)⎪⎭такой, что для всех ̸= 0 производная (4.6) в силу системы (4.1), (4.2) отрицательна: / < 0 приRe{* } 6 0, = 1, .

. . , , ̸= 0.(4.7)Насколько известно автору, ранее такой тип функций Ляпунова не рассматривался.32В дальнейшем будет удобнее рассматривать интегралы в (4.6) как криволинейные интегралы от вещественных функций. Пусть Re ̸= 0. Случай Re = 0рассматривается аналогично. Введем параметризацию отрезков : ∈ [0, Re ],Im 1 () = , 2 () = Re .Тогда интегралы в (4.6) можно представить в следующем виде:Re⎧⎪⎨∫︁⎪⎩* ()⎫⎪⎬Re∫︁ =⎪⎭Re * (1 (), 2 ()) 1 () − Im * (1 (), 2 ()) 2 () =0Re∫︁ (︂Re Im ,Re )︂(︂)︂Im Im + Im , (4.8)Re Re 04.2Основной результатТеорема 4.1. Рассмотрим систему (4.1), (4.2) с ограничениями (4.3), (4.4),(4.5) и стабилизируемой парой (, ). Введем диагональную матрицу Θ =diag{1 , . .

. , } с коэффициентами функции Ляпунова на диагонали. Предположим, что ( × )-матрицы и имеют ранг и матрица Θ * равнанулевой матрице.Тогда функция Ляпунова (4.6), удовлетворяющая (4.7) существует тогда итолько тогда когда выполнены следующие частотные соотношения для некоторых 1 , . . . , > 0:{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0,(4.9)→+∞где матрица = Λ + * Θ/2, Λ = diag{1 , . .

Характеристики

Список файлов диссертации