Диссертация (1150459)
Текст из файла
Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиЛипкович МихаилЧастотные критерии существования функций Ляпуновадля систем Лурье с нелинейностями из бесконечных секторовСпециальность 01.01.09 —«Дискретная математика и математическая кибернетика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор технических наук, профессорФрадков Александр ЛьвовичСанкт-Петербург — 2016СодержаниеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1 Абсолютная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2 S-процедура . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Метод пассификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Оценочно оптимальные алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Круговой критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Неущербность S-процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Критерий Попова в вещественном случае . . . . . . . . .
. . . . . . . 263.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Критерий Попова в комплексном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Постановка задачи . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Адаптивная абсолютная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1 Постановка задачи . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4325.2.1Критерий Попова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.2Круговой критерий . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 485.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.1Круговой критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.2Критерий Попова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526 Адаптивное абсолютное слежение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.1Регулирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 576.2.2Слежение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 70Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723ВведениеТеория абсолютной устойчивости нелинейных систем занимает важное место в развитии теории автоматического управления.
Существенный вкладвнесли классики как отечественной науки (А.М. Летов [9], А.И. Лурье [14],И.Г. Малкин [16], Е.Н. Розенвассер [18], В.А. Якубович [26]), так и зарубежнойнауки (Р. Брокетт [39], Р. Калман [47], В.М. Попов [65]). Согласно [14] нелинейная система, правая часть которой состоит из линейной части и нелинейностиабсолютно устойчива, если она глобально асимптотически устойчива для всехнелинейностей из некоторого класса.Был предложен ряд эффективных частотных критериев абсолютной устойчивости. Многие из них были связаны с вопросом существования функций Ляпунова из некоторого класса.
В частности, для секторных нелинейностей широкоераспространение получили круговой критерий [18, 27], [36] и критерий Попова [65]. Важный результат [27] состоит в том, что круговой критерий для случаяодной нелинейности выполнен тогда и только тогда, когда у системы существует квадратичная функция Ляпунова. Позже было показано [28], что частотноеусловие Попова в случае одной нелинейности является необходимым и достаточным для существования функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюсинтеграл от нелинейности".Оба критерия вскоре были расширены на системы с несколькими нелинейностями [66], [4].
Однако эквивалентность этих критериев существованию соответствующих функций Ляпунова установлена не была.4Существенную роль в доказательстве необходимости частотных условий длясуществования функций Ляпунова играло использование специального приема,названного в [1] -процедурой. Впервые он был использован Лурье и Постниковым [14], а затем получил более общую формулировку в [4].
В общем случае использование процедуры приводит лишь к достаточным условиям существованияфункции Ляпунова. -процедура состоит в замене одних неравенств на другиеболее простые, но, вообще говоря, не эквивалентные исходным. Когда эта замена эквивалентна, принято говорить о неущербности -процедуры, в противномслучае процедура ущербна. Подробный исторический обзор частотных условийи теорем о неущербности -процедуры дан в [6]. Неущербность -процедурызависит от класса рассматриваемых функций и количества связей.
В [32] доказано, что для случая одной квадратичной вещественной или эрмитовой связи процедура неущербна. Для двух вещественных связей она ущербна, однако дляслучая двух эрмитовых связей -процедура неущербна [21]. Известны и другиеслучаи неущербности -процедуры с двумя связями [64], [63].Ущербность -процедуры для общего случая не позволяла доказать необходимость частотных условий. Некоторые критерии существования квадратичных функций Ляпунова и функций Ляпунова вида "квадратичная форма плюсинтеграл от нелинейности" были получены в работах В.А.
Каменецкого [8],Л.Б. Рапопорта [17], У. Ионсиан [7] и Мин Ву [70] без использования процедуры, но полученные критерии отличаются от кругового критерия и критерия Попова.Отметим, что для случая одной [33] и нескольких [57] интегральных связейизвестны необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости. Дляслучая нескольких нелинейностей они основаны на теореме о неущербности-процедуры А. Мегрецкого и С. Трейля [56].
Однако, известно лишь о достаточности полученных условий для существования функции Ляпунова.Целью диссертационной работы является нахождение класса нелинейных систем, для которых удается установить эквивалентность кругового критерия и5критерия Попова существованию соответствующих функций Ляпунова. Для достижения этой цели сформулирован и доказан новый результат о неущербности-процедуры для произвольного количества нелинейностей, лежащих в бесконечном секторе, то есть нелинейностей, графики которых покрывают первый итретий квадрант на плоскости.В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательств основных результатов.Во второй главе сформулирован и доказан результат об эквивалентности кругового критерия существованию квадратичной функции Ляпунова.
Рассматриваемые системы обладают произвольным числом нелинейностей, лежащих в бесконечном секторе. Доказательство опирается на новый результат о неущербности -процедуры для данного класса нелинейностей. Этот результат также доказан в этой главе. Все утверждения справедливы как в случае вещественныхсистем, так и комплексных. Достаточность кругового критерия в комплексномслучае при более общих предположениях показана в [45], но вопрос существования соответствующей функции Ляпунова там не поднимался.В третьей главе доказана эквивалентность критерия Попова существованиюфункции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности"для нелинейных систем с произвольным числом нелинейностей, лежащих в бесконечном секторе. Для удовлетворения условий доказанной во второй главе процедуры пришлось вводить дополнительное предположение об относительной степени рассматриваемых систем.
Все утверждения сформулированы длявещественного случая.В четвертой главе результаты из третьей главы обобщены на комплексныйслучай. Согласно обзору литературы, ранее критерий Попова рассматривалсятолько в вещественном случае. Возможно, это связано с необходимостью вычисления интегралов от комплекснозначных нелинейностей в комплексном случае. Однако, комплексный случай также может быть полезен в задачах квантовой механики, электротехники или задачах анализа устойчивости искусствен6ных нейронных сетей [67]. В четвертой главе сформулирован новый критерийабсолютной устойчивости, основанный на критерии Попова для комплексногослучая.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
