Диссертация (1150459), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Предположим противное:пусть = ˜(ˆ ) + (2 ⊗ ˆ) * 0 ˜ ̸= 0. Тогда можно выбрать ˜ = ˜0 + ,где ∈ R, > 0. Левая часть (6.20) перепишется как ˜* (0 0 + *0 0 )˜−˜* 0 (˜ ) + ‖‖2 . Для любого фиксированного ˜ можно выбрать достаточнобольшой , такой что отрицательность (6.20) будет нарушена. Таким образом,(6.21) выполнено и (6.20) можно переписать как (6.22).Нелинейности (˜ ) можно заменить на независимые переменные , поскольку (6.22) выполнено для всех функций, удовлетворяющих секторному усло60вию (6.7) и условию точности связей (6.25):*˜ (0 0 +*0 0 )˜−∑︁(˜* 0 ) < 0 при ˜ > 0.(6.26)=1Покажем, что (6.26) удовлевторяет условиям Теоремы 1.2 о неущербности процедуры из [24].
В самом деле, сумма в левой части (6.26) представима как∑︀) , где (˜) - линейные функционалы, – вещественные числа; огра=1 (˜ничения представимы в виде (˜) > 0, где (˜) – линейные функционалы.Применяя -процедуру к (6.26) получим (˜) = (˜) для некоторых строго положительных . В наших обозначениях это означает (˜* 0 ) = ˜* = (˜* ) , ∀˜, = 1, . . . , .
То есть (6.10) выполнено с диагональной матрицей с неотрицательными элементами . Поскольку в (6.26) может быть = 0, (6.9)также выполнено, таким образом система (6.8) строго -пассифицируема.Введем обозначение = −1 > 0. Тогда (6.21) влечет ˜(ˆ ) = − (2 ⊗ˆ) * 0 ˜ = − (2 ⊗ ˆ)* ˜, то есть алгоритм адаптации имеет вид (6.16) сматрицей . Поскольку был произвольным теорема доказана.Замечание 6.1. Теорема показывает, что алгоритм (6.16) охватывает все алгоритмы вида (6.4), при которых достигается цель управления (6.15), и которыемогут быть получены с использованием функции Ляпунова (6.17).6.2.2СлежениеРассмотрим теперь общий случай непостоянного ().
В этом случае цель (6.15)не может быть достигнута. Постараемся достичь цель (6.2) с некоторой оценкойоптимума ∆.В дальнейшем предполагаем, что эталонный сигнал () непрерывно дифференцируем, а нелинейности ( , ) дважды непрерывно дифференцируемы по⃒⃒⃒ ( (),) ⃒ . Предположим, что max ‖()‖˙6 ∆ , max ⃒ () ⃒ 6 ∆ (), max |′′ ( )| 6∆′′ () для всех ∈ Ξ, = 1, . .
. , и некоторого ∆ > 0, ∆ () > 0, ∆′′ () > 0.61Рассмотрим несколько неравенств. Уравнение (6.13) влечетmax ‖˙0 (, )‖ 6 ‖(() + ()0 ()* ()* )−1 ()0−1 ()‖∆ = ∆0 (). (6.27)Обозначим ˜0 (, ) = vec(0 (, )), ˜0 () = vec(0 ()), ˜0 (, ()) =vec(0 (, ())). Тогдаmax ‖˜0 (, ())‖ 6 ‖˜0 ()‖ + max ‖˜0 (, ())‖⃒⃒⃒⃒((),) ⃒6 ‖0 ()‖ + ‖0−1 ()‖ + max max ⃒⃒ () ⃒(6.28)= 1 ()Вычислим max ‖˜˙ 0 (, ())‖. Используя формулу Тейлора с интегральнойформой остатка можно получить для ∈ 1, . . . , () ̸= 0:∫︁1 () ′′′ (()) = (0) + (0)() + ( )(() − ) .2 0Поделим обе части на (): (())1= ′ (0) +()2∫︁0()1′′ ( ) −2()∫︁()′′ ( ) .0Продифференцируем по :(︂)︂∫︁ ()1 ′′1 (())= (())()˙ +′′ ( ) −2()22(()) 0∫︁ ()1 ′′1 (())()()′′ ( ) .˙ =22()2(()) 0⃒ (︂)︂⃒∫︁ ()⃒ (()) ⃒1′′⃒ 6 max max | ( )|max ⃒⃒| | ∈[0,()]() ⃒2(())2 01= max max | ′′ ( )| 6 max | ′′ (())|.4 ∈[0,()]Таким образом⃒⃒⃒⃒((),) ˙˜⃒⃒max ‖0 (, ())‖ 6 max max ⃒ () ⃒′′6 max max | (())| = 2 ().62(6.29)Неравенство (6.9) влечет существование > 0: 0 0 + *0 0 < − .
Изнеравенства ˜* 0 ˜ 6 (0 )˜* ˜ следует ˜* ˜ 6 − (0 )˜* 0 ˜. Такимобразом, выполнено следующее неравенство:˜* (0 0 + *0 0 )˜ 6 −0 ,(6.30)где 0 = inf ∈Ξ −1 (0 ()).Рассмотрим целевую функцию (˜()) = ˜* 0 ˜, где ˜ = − 0 , 0 определяется из (6.13), 0 - матрица из (6.9). Пусть задан следующий класс алгоритмов: = 0 (, )* ˆ,(6.31)где 0 (, ) = col(0 (), 0 (, )),где 0 () постоянная ( × )-матрица и 0 (, )}︁{︁ ( ())– (×)-матрица вида ()+diag ()с постоянной матрицей ().
Определим оценку оптимума функционала (, ) = lim→∞ ((), ) на классе алгоритмов (6.31).Покажем, что любой ∆* , удовлетворяющий неравенству(︂)︂2∆046 ∆* ,0(6.32)является оценкой оптимума функционала (, ) на классе алгоритмов (6.31).Для начала найдем sup (), где () = −0 /2 + 2∆0 1/2 . Дифференцируя иприравнивая к нулю ′ (* ) = 0, можно получить () 6 (* ) = 20 (∆0 /0 )2 .Используя это рассмотрим следующую цепь неравенств:−0 + 2∆0 1/2 = −0 /2 + 2∆0 1/2 − 0 /222(6.33)6 20 (∆0 /0 ) − 0 /2 = −0 /2( − 4(∆0 /0 ) ).Посчитаем производную (˜()) вдоль (6.14), (6.4) с идеальными параметрами = 0 :˙ = ˜* (0 0 + *0 0 )˜ − ˜* 0 (˜ ) − ˜* 0 ˙ 06 −0 + 2∆0 1/26 −0 /2( − ∆* ),63(6.34)что влечет (, ) 6 ∆* .Неравенство (6.32) достигается: например, для = = 1 приведемсистему к системе в отклонениях (6.14) ˜ = −˜ + ( − 0 )* ˆ − + ˙ 0 ,(˜()) = ˜()2 , где ≡ 0, ˙ 0 ≡ ∆0 , для идеальных параметров = 0 ()получим ˙ = −2˜2 + 2˜∆0 = −2 + 2∆0 1/2 , которое имеет решение = 4(∆0 /2)2Рассмотрим алгоритм адаптации с регуляризацией:vec(/) = − [( ⊗ ˆ)* ( − ) + vec()] ,(6.35)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная(22 × 22 )-матрица, – некоторая вещественная ( × )-матрица.Теорема 6.3.
Рассмотрим систему (6.1), (6.4) с алгоритмом адаптации вида(6.35). Предположим, что эталонный сигнал () непрерывно дифференцируем,а нелинейности ( , ) дважды непрерывно дифференцируемы по . Пусть⃒⃒⃒ ( (),) ⃒max ‖()‖˙6 ∆ , max ⃒ () ⃒ 6 ∆ (), max |′′ (())| 6 ∆′′ () для всех ∈ Ξ, = 1, .
. . , и некоторых ∆ > 0, ∆ () > 0, ∆′′ () > 0. Определим 1 () и 2 () из (6.28) и (6.29) соответственно. Пусть 2 является минимальным собственным числом матрицы . Тогда цель (6.2) достигается, если2 > 0 и линейная система (6.8) строго -пассифицируема от входа к выходу с диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Если болеетого > 0 =12 2 (2 −0 )+222 (2 −0 ) ,тогда алгоритм (6.35) оценочно -оптимальныйв классе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов (6.31).Доказательство. Рассмотрим систему в отклонениях (6.14).
Введем функциюЛяпунова = + −1 (˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ). Вычислим ее производную вдоль64системы (6.14) используя (6.34):˙ 6 −( − ∆* ) + ˜* 0 ( − 0 )* ˆ +[︁]︁−1 ˜* −1*˜˜ ( − 0 ) (− ( ⊗ ˆ) ( − ) + − ˜˙0 )= −( − ∆* ) + ˜* ( ⊗ ˆ)* (˜ − ˜0 ) −(6.36)(˜ − ˜0 )* ( ⊗ ˆ)* ˜ − −1 (˜ − ˜0 )* ˜ − −1 (˜ − ˜0 )* −1 ˜˙0= −( − ∆ ) − −1 (˜ − ˜ )* ˜ − −1 (˜ − ˜ )* −1 ˜˙ ,*000где = 0 /2.Рассмотрим две следующие оценки:(˜ − ˜0 )* ˜ > /2‖˜ − ˜0 ‖2 − /2‖˜0 ‖2 = 2 /(22 )‖˜ − ˜0 ‖2 − /2‖˜0 ‖2> 2 /2(˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ) − /2‖˜0 ‖2= 2 /2(˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ) − /2‖˜0 ‖2(6.37)−(˜ − ˜0 )* −1 ˜˙0 6 |(˜ − ˜0 )* −1 ˜˙0 | = |(˜ − ˜0 )* −1/2 −1/2 ˜˙0 |= |( −1/2 (˜ − ˜0 ))* −1/2 ˜˙0 | 6 ‖ −1/2 (˜ − ˜0 )‖−1 ‖˜˙0 ‖ (6.38)6 ((˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ))1/2 −1 2Используя (6.37) и (6.38) оценка производной (6.36) может быть продолжена:˙ 6 −( − ∆* ) − −1 2 /2(˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ) +−1 /2‖˜0 ‖2 + −1 ((˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ))1/2 −1 2 (6.39)Введем обозначение = ((˜ − ˜0 )* −1 (˜ − ˜0 ))1/2 .
Найдем константу 3 ,такую что −−1 2 /2 2 + −1 −1 2 6 −/2−1 2 + 3 . Это неравенство эквивалентно −1 /2( − 2 ) 2 + −1 −1 2 − 3 6 0. Оно будет выполнено, если −−2 −2 2 2 +2−1 (−2 )32−1 (−2 )2 < 0 и ордината вершины параболы меньше нуля: − 6 0,что эквивалентно −1 −2 22 + 2( − 2 )3 6 0. Таким образом, 3 должна бытьне меньше чем2222 (2 −).65Следовательно, ˙ может быть представлена следующим образом:1222˙ 6 − + ∆* ++ 2= − + (),22 (2 − )где () = ∆* +122+2222 (2 −)(6.40).Интегрирование (6.40) приводит к (()) 6 (()) 6 ((0))− + ,таким образом система (6.14), (6.4), (6.35) диссипативная и цель управления(6.2) достигается.Докажем оценочную -оптимальность.
Зафиксируем > 0 и выберем > 0 ,где 0 выражается из уравнения (0 ) = ∆* +1220+2222 0 (2 −)= ∆* + /2.Тогда () 6 (0 ) = (∆* + /2) и lim 6 ∆* + /2 < ∆* + . Теоремадоказана.Замечание 6.2. Аналогично [22] теорема останется выполненной, если условиеmax ‖()‖˙6 ∆ заменить на ˙ ∈ 2 .6.3ПримерРассмотрим задачу слежения для системы Чуа [34].
Динамика цепи описываетсяследующей системой дифференциальных уравнений:⎧⎪⎪⎪˙ 1 () = (2 − 1 − (1 )),⎪⎪⎨˙ 2 () = 1 − 2 + 3 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩˙ 3 () = −2 ,(6.41)где = col(1 , 2 , 3 ) – вектор состояния, = 1 – выход, () = 1 +0 −1(|+1|−|−1|)2– нелинейность и , , 1 , 0 – неизвестные параметры си-стемы.
Предположим, что слагаемое управления входит в первое уравнение.Пусть () =(0 −1 )(| + 1| − | − 1| − 2)266и перепишем систему в следующемвиде:⎧⎪⎪⎪˙ 1 () = (−(1 + 0 )1 + 2 ) + − (1 ),⎪⎪⎨˙ 2 () = 1 − 2 + 3 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩˙ 3 () = −2 ,(6.42)Найдем значениям параметров, при которых линейная часть системы (6.42)гипер-минимально-фазовая. Число * положительно для всех положительных , . Многочлен () = 2 + + гурвицев для всех положительных .
Нелинейность () монотонно неубывает для всех 1 > 0 . Пусть, согласно [34],0 = −8/7, 1 = −5/7, = 15.6, = 25.58, = = 1.a) Рассмотрим следующую целевую⎧⎪⎪(),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨4(3),() =⎪⎪0,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0.5(),функцию:при ∈ [0, 10],при ∈ [10, 20],(6.43)при ∈ [20, 25],при ∈ [25, +∞).⃒⃒⃒ ( (),) ⃒Нетрудно проверить, что max ‖()‖˙6 ∆ , max ⃒ () ⃒6∆ (),max |′′ (())| 6 ∆′′ () для некоторых ∆ , ∆ (), ∆′′ ().Как видно из графиков, представленных ниже, реальный выход близок к желаемому.b) Рассмотрим следующий целевой выход, который может быть проинтерпретирован как передача сообщений.⎧⎪⎪10,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨0,() =⎪⎪−10,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,при ∈ [0, 20),при ∈ [20, 40),(6.44)при ∈ [40, 60),при ∈ [60, +∞).Такой целевой выход может быть отслежен согласно Замечанию 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
