Диссертация (1150459), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , }.Доказательство. a. Введем функцию Ляпунова⎧⎫⎪⎪⎨∫︁⎬∑︁** () = + 2 Re ( ) .⎪⎪⎩⎭=133(4.10)Рассмотрим , для которых Re ̸= 0. Другой случай рассматривается аналогично. Приведем интегралы по контуру к интегралам от вещественнозначныхфункций:⎧⎫ReRe⎪⎪(︂)︂)︂(︂∫︁ ∫︁ ⎨∫︁⎬ImIm Im* () =ReRe , +Im ,⎪⎪ReReRe⎩⎭00Im Во втором интеграле сделаем замену переменной: = Re :⎧⎫ImRe⎪⎪)︂)︂(︂(︂∫︁ ∫︁ ⎨∫︁⎬Re Im* +, Re () =Re ,Im ⎪⎪Re Im ⎩⎭00Вычислим производную от интегралов и заменим обратно на :⎫⎧⎪⎪⎬⎨∫︁* () = Re (Re , Im )Re ˙ + Im (Re , Im )Im ˙ +Re⎪ ⎪⎭⎩(︁(︁)︁)︁ReIm∫︁ Re , Im ∫︁ Im Re , Re Im ˙2 +˙1 =2100(︁)︁Re∫︁ Re , Im (︂ ˙ )︂Im Re Re {* ( ) } ++2Re 0(︁)︁Im (︂Im , Re ˙ )︂ (︂ Im )︂2Re (4.11)1Im Re (︁ ˙ )︁(︁ ˙ )︁ (︁)︁Im Re Im 2и для нелинейностей из рассматриПоскольку Re = − Im Re ваемого класса выполнены следующие соотношения:Re (1 , 2 ) Im (1 , 2 )=,21интегралы в (4.11) сократятся:⎧⎫⎪⎪⎨∫︁⎬{︀}︀Re () = Re * ( )˙ .⎪ ⎪⎩⎭34Вычислим производную от (4.10) в силу системы:˙ () = ( + ) + 2Re{ } − 2***∑︁{︀}︀ Re * ˙ .=1Преобразуем ее:˙ () = * ( + * ) + 2Re{* } − 2Re{* Θ},˙где Θ = {1 , .
. . , }. Поскольку ˙ = * ˙ = * ( + ) и Θ * = 0,имеем˙ () = * ( + * ) + 2Re{* } − 2Re{* Θ * ( + )} =* ( + * ) + 2Re{* ( − * Θ)}.Нас интересуют необходимые и достаточные условия выполнения следующего неравенства:* ( + * ) + 2Re{* ( − * Θ)} < 0приRe {* } 6 0, ̸= 0. (4.12)Покажем, что в (4.12) все функционалы удовлетворяют условиям Теоремы 2.1. В самом деле, 0 () = * ( + * ) – вещественный функционална пространстве = C ; для всех и имеем**2 Re{ ( − Θ)} =∑︁Re{* (2( * **− Θ )) } =∑︁Re{* ()},=1=1где () = (2( * * − Θ * )) – -я компонента вектора 2( * * − Θ * ); = ().
Функционалы () ̸= 0, так как ранг матрицы равен . Такимобразом неравенство (4.12) эквивалентно**** ( + )+2 Re{ ( − Θ)}−∑︁=1выполненному для некоторых > 0.352 Re{* } < 0 ∀ ̸= 0, (4.13)Поскольку∑︀=1 = * Λ, где Λ = {1 , . . . , }, неравенство (4.13)может быть переписано как* ( + * ) + 2Re{* ( − * Θ) − 2* Λ}Введем обозначение = * Θ + Λ.Тогда с учетом введенных обозначений окончательно получаем, что (4.12)равносильно* ( + * ) + 2Re{* ( − )} < 0 ∀ ̸= 0.(4.14)b.
Докажем, что выполнение (4.14) равносильно выполнению частотногонеравенства из условия теоремы{︀}︀Re * ( − )−1 > 0 при ∈ (−∞, +∞),lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0.(4.15)→+∞Пусть выполнено частотное условие (4.15). Тогда по Теореме 1.1 имеем + * < 0, = ,откуда следует выполнение (4.14).Пусть теперь выполнено неравенство (4.14). Пусть = 0, тогда (4.14) приметвид + * < 0. Пусть − ̸= 0.
Тогда при достаточно большом > 0 и = ( − )* условие (4.14) нарушится.Таким образом, теорема доказана.Замечание 4.1. Преобразуем матрицу из частотного условия (4.9) с учетомΘ * = 0:* ( − )−1 = (Θ * + Λ * )( − )−1 =(Θ * ( + ( − ))( − )−1 + Λ () = Θ () + Λ ().То есть частотное условие (4.9) совпадает по форме со стандартным критерием Попова36Замечание 4.2. Частотное условие (4.9) влечет условие, что ранг ( × )матрицы равен (см. [5]), поэтому для достаточности (4.9) это условиеможно не проверять. Также можно опустить условие на ранг матрицы , таккак не требуется использования -процедуры.
Также можно показать, что вэтом случае достаточно требования неотрицательной определенности матрицы Θ * Замечание 4.3. Условие Θ * = 0 выполнено, в частности, если относительная степень передаточной функции больше единицы, т. е. ее старший коэффициент * равен нулевой матрице.Замечание 4.4. Пусть вместо (4.4) выполнены общие секторные условия:(1)(2)Re {( ( ) − )* ( − ( ))} > 0,(2)где = 1, . . . , ,(1)> . Используя теоремы о неущербности S-процедуры для случая = 1 [32] и случая = 2 [20], [21], можно получить результаты, аналогичные Теореме 4.1.Рассмотрим теперь задачу определения абсолютной устойчивости системы (4.1), (4.2) при условии (4.4). Функция ≡ 0 удовлетворяет условию (4.4),поэтому необходимо предположить, что гурвицева.
Как видно из пункта b.доказательства Теоремы 4.1, при выполнении частотного условия{︃(4.9) из лем}︃∫︀ *мы Ляпунова следует, что > 0. Покажем, что все интегралы Re () неотрицательны при секторных условиях. Заменим интегралы комплексного переменного на интегралы по (4.8). Рассмотрим секторное условие (4.4) на отрезке :Re (1 (), 2 ())1 () + Im (1 (), 2 ())2 () > 0,(4.16)Im где 1 () = , 2 () = Re , ∈ [0, Re ]. Подставляя 1 (), 2 () в (4.16) получим:[︂(︂]︂)︂(︂)︂Im Im Im Re , + Im , > 0 ∀ ∈ [0, Re ],Re Re Re 37откуда следует положительность интегралов (4.8).Если все > 0, то будет выполнено > 0.
Следовательно, по теоремеБарбашина-Красовского [2] имеет место асимптотическая устойчивость в целом.Если для какого-то индекса коэффициент < 0, то при выборе = , где достаточно большое положительное число, положительная определенность будет нарушена, т. е. такой функцией Ляпунова установить абсолютнуюустойчивость для данного класса систем нельзя.Теорема 4.2. Рассмотрим систему (4.1), (4.2) с гурвицевой матрицей . Введемматрицу Θ = diag{1 , . . . , } с неотрицательными элементами на диагонали,такую что Θ * неотрицательно определена и выполнено частотное условие (4.9) для некоторых 1 , .
. . , > 0. Тогда система (4.1), (4.2) абсолютноустойчива в классе нелинейностей (4.3), (4.4).Также аналогично предыдущему разделу можно сформулировать следующую теоремуТеорема 4.3. Рассмотрим систему (4.1), (4.2) при ограничениях (4.4) и (4.5).Частотное условие (4.9) охватывает все критерии абсолютной устойчивостии абсолютной неустойчивости, которые могут быть получены на основе функции Ляпунова вида (4.7), то есть никакие дополнительные сведения о функцияхиз класса (4.4), (4.5) не помогут усилить условия устойчивости систем с нелинейностями из этого класса, получающиеся за счет функции Ляпунова (4.7).4.3ПримерПриведем пример сверточной нейронной сети Хопфилда [67], удовлетворяющей условиям Теоремы 4.2, то есть являющейся абсолютно устойчивой в классенелинейностей (4.4), (4.3).38⎛−1⎜=⎝0⎞⎛⎟⎠,−20⎜=⎝1 −11⎞⎛⎟⎠,⎜=⎝1 00 1⎞⎟⎠.(4.17)Определим параметры 1 , 2 , 1 , 2 , при которых частотное условие (4.9) будет выполнено.
Пусть 1 = 2 = 1, 1 = 2 = 1. Тогда Re{Θ * } будет положительно определенной матрицей.Введем обозначение матрицы, входящей в частотное условие = * ( −)−1 :⎛⎜ =⎝⎞ 2 +2 2 +1−(+1) 2 +−4−2(2−2)(+2)(+1)−2+12+2⎟⎠.1Матрицы Re { } и lim→+∞ 2 Re { } являются положительно определенными. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчивая в классе1.0x20.50.00.00.2x10.40.61.50.8нелинейностей (4.4), (4.3).0.00.51.01.52.02.53.00.0t0.51.01.52.02.53.0tРисунок 4.1: Модули состояний системы (4.17)Промоделируем систему (4.17) с конкретными нелинейностями, рассматриваемыми в сверточных нейронных сетях [49]: = tanh(Re ) + tanh(Im ),39 = 1, 2. Выше представлены графики модулей состояний системы.
Как видно изрисунков, состояния системы стремятся к нулю, что подтверждает абсолютнуюустойчивость рассматриваемой системы.Отметим, что при 1 = 2 = 0, то есть с квадратичной функцией Ляпунова,установить устойчивость системы (4.17) нельзя, так как матрица Re { } не будетположительно определенной.40Глава 5Адаптивная абсолютнаяустойчивость5.1Постановка задачиРассмотрим нелинейную систему:˙ = () + () + 1 ()(1 , , ), = ()* ,(5.1)1 = 1 ()* ,где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R , 1 = 1 () ∈ R – состояние,вход и два вектора выхода; (1 , , ) = col(1 (11 , , ), . .
. , (1 , , )),где (1 , , ) – непрерывные функции, локально липшицевые по 1 ;(), (), 1 (), (), 1 () – вещественные матрицы соответствующих размерностей, – вектор дополнительных неизвестных параметров из известногомножества Ξ.41Пусть система (5.1) замкнута следующей обратной связью: = * ,(5.2)= (),(5.3)где () непрерывная матричная функция. Уравнение (5.3) определяет законизменения матрицы . Такие законы называются адаптивными алгоритмами.Отметим, что закон (5.2), (5.3) не зависит от .Определение 5.1. Система (5.1) называется адаптивно стабилизируемой вклассе неопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (5.3), если для всех(0), (0) и для всех ∈ Ξ решение ((), ()) системы дифференциальныхуравнений (5.1), (5.2) определено для всех > 0, lim→∞ () = 0 и существуетконечный предел lim→∞ ().Пусть нелинейности (1 , , ) лежат в бесконечном секторе для всех ∈ Ξ: (1 , ) 1 > 0,∀, = 1, .
. . , ,(5.4)что означает, что графики функций расположены в первом и третьем квадрантах на плоскости. Примерами таких функций являются = 13 , =(1 ) , = 15 sin2 (), = 1 − sin(1 ), = sat(1 ), где⎧⎪⎨при || < 1,sat() =⎪⎩() при || > 1.Предположим, что мы ничего не знаем о нелинейностях из (5.1) помимо того, что они удовлетворяют секторному условию (5.4). В этом случае необходимо стабилизировать систему для всех нелинейных функций, удовлетворяющихусловиям (5.4). Аналогично абсолютной устойчивости введем следующее определение.42Определение 5.2.
Систему (5.1) будем называть адаптивно абсолютно стабилизируемой в классе неопределенностей Ξ в классе нелинейностей (5.4) в классе алгоритмов адаптации (5.3), если она адаптивно стабилизируема в классенеопределенностей Ξ в классе алгоритмов адаптации (5.3) для всех нелинейностей, удовлетворяющих (5.4).Поскольку класс (5.4) не будет меняться, в дальнейшем его указание будетопущено.Задача состоит в нахождении функции () в (5.3), не зависящей от ∈ Ξ,такой что система (5.1) будет адаптивно абсолютно стабилизируемой алгоритмом (5.2) в классе неопределенностей Ξ.5.2Основной результатРассмотрим алгоритм адаптации (5.3) следующего вида:vec(/) = − ( ⊗ )* ,(5.5)где = * > 0 – произвольная вещественная положительно определенная (2 ×2 )-матрица, – некоторая вещественная ( × )-матрица.Алгоритм (5.5) был предложен в [40].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
