Диссертация (1150459), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Также доказана его эквивалентность существованию функции Ляпуновавида "квадратичная форма плюс вещественная часть интеграла от нелинейности". Рассматриваемые нелинейности, как и ранее, лежат в бесконечном секторе,однако было введено дополнительное предположение о поведении производныхнелинейностей.

Этому условию удовлетворяют, в частности, функции активации, рассматриваемые в комплекснозначных нейронных сетях [49]. В этой главе приведен анализ абсолютной устойчивости сверточной сети Хопфилда припомощи полученного критерия. Показано, что с помощью кругового критерияустановить устойчивость рассматриваемой системы нельзя.В пятой главе формулируется и решается задача адаптивной стабилизациисистемы с секторными нелинейностями.

Критерии абсолютной устойчивостинакладывают ограничения на линейную часть системы. В случае когда они невыполнены, как было предложено в [35], можно попытаться найти линейнуюобратную связь, делающую систему абсолютно устойчивой. Построение регулятора основано на применении кругового критерия и критерия Попова. Еслипараметры линейной части системы не известны, то подход из [35] не применить. В пятой главе предлагается использовать в этом случае адаптивный регулятор, делающий замкнутую систему абсолютно устойчивой. Решение дано какдля кругового критерия, так и для критерия Попова.

Приводятся примеры синхронизации цепей Чуа [34] с неизвестными параметрами и задача стабилизациилетательного аппарата [3].В шестой главе результаты из главы пять расширяются на случай регулирования и слежения. Вместо того чтобы добиться стремления выхода системы кнулю, ставится задача стремления выхода к заданному эталонному сигналу. Вслучае постоянного эталонного сигнала удается достичь произвольной точности приближения, в случае непостоянного сигнала получена некоторая оценкаоптимальной точности. Приводятся примеры слежения для цепи Чуа.7По теме диссертации опубликовано 9 работ [10–13, 43, 52–55], в том числе 3в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основные результатыпредставлены на 6 всероссийских и международных конференциях.8Глава 1Предварительные сведения1.1Абсолютная устойчивостьРассмотрим линейную систему1 := + , = * ,(1.1)где = () ∈ C , = () ∈ C , = () ∈ C – векторы состояния, входа ивыхода соответственно, , , – постоянные комплексные матрицы размеров × , × , × соответственно.

Случай, когда все векторы и матрицы в (1.1)веществены будем называть вещественным.1Будут использованы следующие обозначения:C и R – комплексное и вещественное -мерные евклидова пространства соответственно;‖‖ – евклидова норма вектора ;{1 , . . . , } – вектор-столбец с компонентами 1 , . . . , ;{1 , . . . , } – диагональная матрица с элементами 1 , . . . , ;Звездочка означает транспонирование для вещественных матриц и эрмитово сопряжение для комплексных матриц; > 0 для эрмитовой матрицы означает ее положительную определенность;Re = ( + * )/2; ⊗ – кронекерово произведение матриц , ;vec() = col(11 , .

. . , 1 , . . . , 1 , . . . , ) для матрицы .9Пусть система (1.1) замкнута непрерывными функциями, локально липшицевыми по = − ( , ), = 1, . . . , .(1.2)Пусть нелинейности (1.2) удовлетворяют так называемому секторному условию(1)(2)Re {( ( , ) − )* ( − ( , ))} > 0,(2)∀, = 1, . . . , ,(1.3)(1)где > .Определение 1.1. Тривиальное решение системы (1.1), (1.2) называется глобально асимптотически устойчивым если оно устойчиво по Ляпунову и любоедругое решение стремится к нулю при → ∞.Определение 1.2. Система (1.1), (1.2) называется абсолютно устойчивой вклассе функций (1.3) если его тривиальное решение глобально асимптотическиустойчиво для всех нелинейностей, удовлетворяющих (1.3).Определение 1.3. Система (1.1), (1.2) является экспоненциально неустойчивойесли любое решение либо экспоненциально растет либо экспоненциально стремится к нулю при → +∞, и существует по крайней мере одно решение первоготипа.

То есть для каждого решения () существуют числа > 0, > 0, такиечто либо ‖()‖ > для любого > 0, либо ‖()‖ 6 − для любого > 0и существует по крайней мере одно решение первого типа.Рассмотрим квадратичную форму () = * с симметричной ( × )матрицей , такую, что ее производная в силу системы (1.1) отрицательна (())/ < 0 для всех ̸= 0. Форма () может быть преобразована к каноническому виду с диагональной матрицей . Пусть матрица имеет отрицательных и − положительных элементов.

Тогда система (1.1), (1.2) называетсяэкспоненциально неустойчивой квадратичной степени .Определение 1.4. Система (1.1), (1.2) называется абсолютно экспоненциальнонеустойчивой квадратичной степени > 1 в классе функций (1.3) если она10экспоненциально неустойчива квадратичной степени для всех нелинейностей,удовлетворяющих (1.3).Это определение корректно: все квадратичные формы () удовлетворяющие (())/ < 0 для ̸= 0 имеют одинаковое число положительныхслагаемых в каноническом виде [31].Следующая теорема является вариантом известной частотной теоремы (леммы Калмана-Якубовича-Попова) [29], [5]:Теорема 1.1.

Пусть пара (, ) стабилизируема, ранг ( × )-матрицы равен и матрица не имеет собственных значений на мнимой оси. Для существования эрмитовой матрицы (вещественной при вещественных , , ),удовлетворяющей соотношениям + * < 0, = ,(1.4)необходимо и достаточно, чтобыRe {* ( − )−1 } > 0 для ∈ (−∞, +∞),lim 2 Re {* ( − )−1 } > 0.(1.5)→+∞Также понадобится следующая лемма Ляпунова [5]Лемма 1.1. Пусть ( × )-матрица и симметричная ( × )-матрица удовлетворяют матричному неравенству* + < 0.Тогда для гурвицевости матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица была положительно определена.111.2S-процедураВведем определение неущербности -процедуры.

Этот прием впервые был использован в [14], однако здесь будет приведено более общее определение [4, 32].Пусть - линейное пространство и (), 1 (), . . . , () - вещественныефункции на , зависящие от некоторых ”конструктивных” параметров. Обычно это параметры функции Ляпунова и объекта управления. Требуется найти вкаком-либо ”явном” виде область в пространстве конструктивных параметров, для которых выполнено () < 0 при1 () 6 0, . . . , () 6 0, ̸= 0.(1.6)Наличие ограничений 1 () 6 0, . . .

, () 6 0 сильно осложняет задачупоиска области . Поэтому используется следующий прием, который и называется -процедурой. Составляется функция() = () − 1 1 () − . . . − (),зависящая от ”дополнительных” параметров 1 > 0, . . . , > 0, и рассматривается задача определения области в пространстве конструктивных параметров,для которых выполнено∃ > 0 : () < 0 для всех ̸= 0.Очевидно, что область , доставляемая -процедурой, и искомая областьсвязаны соотношением ⊆ . Обратное, вообще говоря, неверно.Определение 1.5. Будем говорить, что -процедура неущербна, если = , иущербна в противном случае.История -процедуры и теоремы о ее неущербности могут быть найдены вобзорах [6], [63].Перейдем к формулировке теоремы, полученной в [24].12Теорема 1.2.

Пусть — вещественное линейное пространство. Образуем линейное пространство = × .Пусть , 1 , . . . , — квадратичные функционалы на , имеющие вид () = 0 () +∑︁ () , () = () ,=1где 0 — квадратичный функционал на ; — компоненты вектора ∈ ; , являются линейными функционалами на , причем ̸= 0, = 1, . .

. , .Тогда -процедура для неравенства ()>0 c ограничениями1 () 6 0, . . . , () 6 0 неущербна.Замечание. Из доказательства этой теоремы видно, что можно выбрать изусловия = . Так что при ̸= 0 числа строго положительны.1.3Метод пассификацииРассмотрим аффинную по управлению систему˙ = () + (), = ℎ(),(1.7)где = () ∈ R , = () ∈ R , = () ∈ R – векторы состояния, входа и выхода соответственно; , ℎ – гладкие вектор-функции от и – гладкаяматричнозначная функция от .Определение 1.6. Пусть – некоторая ( × )-матрица. Система (1.7) называется -пассивной от входа к выходу если существует неотрицательнаяскалярная функция () (функция запаса) такая что∫︁ () ≤ (0 ) +()* () 0для любого решения системы (1.7) удовлетворяющего (0) = 0 , () = .13(1.8)Определение 1.7.

Система (1.7) называется строго -пассивной от входа квыходу , если существует неотрицательная скалярная функция () и скалярная функция () > 0 для ̸= 0, такие что∫︁ () 6 (0 ) +[()* () − (())] (1.9)0для любого решения системы (1.7) удовлетворяющего (0) = 0 , () = .Очевидно, если = и = является единичной матрицей, то пассивность совпадает с обычной пассивностью. В общем случае введение позволяет проектировщику сбалансировать входы и выходы и повысить гибкость синтеза управления.В дальнейшем будем иметь дело со строгой -пассивностью линейных систем˙ = + , = * ,(1.10)где ∈ R , ∈ R , ∈ R , , , – матрицы подходящих размерностей.Известно [69], что для линейных систем функция запаса () является квадратичной формой () = 21 * , а функция () является евклидовой нормойвектора: () = ‖‖2 , > 0.Для линейных систем (1.10) и квадратичной функции запаса () = 21 * неравенство (1.9) эквивалентно* ( + ) ≤ * − ||2(1.11)для некоторого > 0 и ∈ R , ∈ R .Неравенство (1.11) эквивалентно следующим матричным соотношениям длянекоторой матрицы = * > 0: + * < 0, = .(1.12)Пусть система (1.10) замкнута обратной связью = − + ,14(1.13)где - новый вход.Определение 1.8.

Система (1.10) называется -пассифицируемой (строго пассифицируемой), если существует обратная связь (1.13), такая что система(1.10), (1.13) -пассивна (строго -пассивна) от входа к выходу .Введем несколько обозначений.Пусть () = det( − ), () = * ( − )−1 – характеристическийполином и передаточная матрица (1.10), соответственно. Определим полином() = () det * () и матрицу Γ = lim * (), где некоторая ( × )→∞матрица.

Легко показать, см. [23], [42], что () – полином степени, не превосходящей −, инвариантный к преобразованию обратной связи (1.13). ПосколькуΓ = * * , матрица Γ также инварианта относительно преобразования обратной связи (1.13).Определение 1.9. Система (1.10) называется -минимально-фазовой, если полином () гурвицев (его нули находятся в левой открытой полуплоскости).Она называется строго -минимально-фазовой, если она минимально-фазоваяи det Γ ̸= 0, и гипер-минимально-фазовой, если она минимально-фазовая иΓ = Γ* > 0.Критерий -пассифицируемости дается в следующей теореме [23, 42].Теорема 1.3. Система (1.10) строго -пассифицируема если она гиперминимально-фазовая.

Характеристики

Список файлов диссертации