Диссертация (1150447), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Таким образом, нам необходимо проверить, сохраняются ли провалы в спектре восстановленного сигнала.Второй особенностью квантовой статистики излучения SPOPO, требующей обсуждения, является выяснение числа независимых квантовых степеней свободы, которыми обладает этот69Рисунок 2.5: Спектр подавления дробового шума фототока при гомодинном детектированииŶ -квадратуры N последовательных импульса исходного сигнального поля. Импульсы накачкии локального осциллятора – прямоугольные, длительности T0 .
Параметры расчета: N = 90,T0 = 0.1, T = 10000, κs T = 0.1.свет. Напомним, что комб состоит из огромного (порядка 105 ) числа частотных компонент,каждая из которых формируется в процессе параметрического преобразования, и на первыйвзгляд может показаться, что именно это число отражает независимые степени свободы системы. Однако, в реальности число истинных квантовых степеней свободы оказывается многоменьшим [116] .Для описания квантовых степеней свободы излучения SPOPO вводится понятие «супермод»( q-мод). Поясним кратко, что это такое. Рождение фотонов SPOPO в процессе параметрического преобразования поля накачки описывается следующим эффективным Гамильтонианом:Ĥ = ih̄ΓXLm,n â†m â†n + h.c.(2.103)m,nЗдесь константа взаимодействия Γ пропорциональна амплитуде накачки и описывает результирующую эффективность процесса, â†m – оператор рождения фотонов, ассоциированный с модойчастоты ωm , а матрица Lm,n описывает силу связывания мод с частотами ωm и ωn .
МатрицаLm,n формируется двумя факторами: это произведение функции фазового синхронизма fm,n испектральной амплитуды pm+n накачки на частоте ωm + ωn :Lm,n = fm,n · pm+n .(2.104)Матрица Lm,n задает силу связывания мод с частотами ωm и ωn . Это огромная матрица, содержащая примерно 105 × 105 компонент, однако, диагонализовав ее, и представив в виде разло-70жения по собственным векторам {Xk },Lm,n =XΛk Xk,m Xk,n ,(2.105)kнетрудно убедиться, что лишь малое число собственных значений Λk отлично от нуля. Анализ, проведенный в работе [116], показал, что ненулевыми в теории являются лишь около 100собственных значений. Таким образом, двойное суммирование в (2.103) сводится к одинарномусуммированию только по модам с ненулевыми собственными значениями и становится возможным можно выделить собственные степени свободы (собственные вектора, или, иначе, модыШмидта) рассматриваемой системы.
Авторы называют их «супермодами». Тогда становитсявозможным переписать Гамильтониан в видеĤ = ih̄gXΛk Ŝk†2 + h.c.гдеŜk =XXk,i âi .(2.106)ikЗдесь операторы Ŝk - это и есть интересующие нас супермоды, определенные как линейныекомбинации исходных одночастотных мод.В работе [116] показано, что профили супермод достаточно точно можно описать функциямиЭрмита-Гаусса:11exp −Lk (ω) = p√2k!2k πNsω − ωsNs ωrep2 !Hkω − ωsNs ωrep,(2.107)где Hk - полином Эрмита k-го порядка; ωs - несущая (центральная) частота комба; Ns =(ωrep T0 )−1 - количество зубцов в комбе; ωrep - спектральный интервал между модами.Напомним, что функции Эрмита-Гаусса во временном и в частотном представлениях имеютодинаковый профиль. Таким образом, выходное излучение SPOPO представимо в виде разложения по полиномам Эрмита-Гаусса:âin (t) =XLk (t)êk ,(2.108)kгде Lk (t) – это k−ая функция Эрмита-Гаусса, а коэффициент êk – оператор уничтожения фотонав k−ой моде, удовлетворяющий стандартным коммутационным соотношениям.Введенные супермоды оказываются весьма полезными при исследовании корреляционныхсвойств излучения SPOPO, не только существенно упрощая математический аппарат, но ивыявляя истинные квантовые степени свободы столь сложной системы.71Как уже было отмечено ранее, экспериментально удается наблюдать лишь первые шестьнескоррелированных сжатых супермод [117].
Именно за сохранением сжатия в этих супермодах мы и будем следить, чтобы убедиться, что наша схема памяти способна сохранить всекорреляции, присутствующие во входном сигнале.Далее мы проверим, сохраняет ли предложенная схема памяти все перечисленные вышеквантовые особенности входного сигнала.2.6Оценка эффективности этапа записиПрежде чем переходить к обсуждению сохранения квантовых корреляций, нам следует оценитьтакую базовую характеристику процесса памяти, как эффективность.
Проследим, как ведетсебя эффективность записи в зависимости от числа сохраняемых импульсов.Эффективность процесса записи сигнального поля определяется как отношение среднегочисла спиновых возбуждений Nspin к полному среднему числу фотонов во входном сигнальномкомбе Nin :NspinE=,NinZLNspin =dz hb̂W † (z)b̂W (z)i,0ZTWNin =dt hâ†in (t)âin (t)i.(2.109)0Явный вид полного среднего числа возбуждений в среде можно представить следующим выражением:ZTW ZTWZLNspin =dz00dtdt0 hâ†in (t)âin (t0 )iG∗ab (t, z)Gab (t0 , z).(2.110)0Поскольку для оценки эффективности нам достаточно знать лишь среднее число возбужденийво входном сигнале, в данном случае мы можем считать все импульсы одинаковыми, пренебрегая флуктуациями сигнального комба, и полагая классическую амплитуду для каждогоимпульса равной a:NXain (t) = a(t)Θ(t − tn ).(2.111)n=1Тогда, используя разложение Шмидта, получим следующее равенство:NspinTWXp Z2T0λi dtei T t ϕi (t) .= |a|2i(2.112)0При этом число фотонов во входном сигнале при указанных условиях:Nin = |a|2 T0 N.72(2.113)Таким образом эффективность записи имеет вид:ZTW2T01 X p E=λidtei T t ϕi (t)T0 N i(2.114)0Поскольку собственные функции в представлении Фурье ϕi (ω) можно записать как1ϕi (ω) = √TWZTWT0dt ei T t ϕi (t)eiωt ,(2.115)0то, с учетом примерного равенства TW ' N T , которое выполнено при условии N 1, и условияT0 T , получаем эффективность записи в виде:E=XpT Xpλi |ϕi (ω = 0)|2 =λi ϕ̃2i (ω = 0).T0 ii(2.116)Обратимся опять к рис.
2.4, где представлен расчет при следующих параметрах N = 90,L = 10, T0 = 0.1, T = 10000. Как уже было сказано, собственные числа здесь изображены красными столбцами, а синими показаны значения нулевых спектральных компонент собственныхфункций при данных параметрах расчета. Выполняя суммирование в соответствии с формулой (2.116) получим эффективность записи около 0.9, что свидетельствует о хорошей работерассматриваемого протокола памяти.Однако, такой хороший результат получается не всегда. Оказывается, что эффективностьзаписи зависит не только от оптической толщины среды L, но и от числа импульсов в трэйне.На рис.
2.6 представлена зависимость эффективности записи от количества импульсов в трэйнепри фиксированных значениях длины среды и длительности одиночного импульса. Как видноРисунок 2.6: Зависимость эффективности этапа записи от количества импульсов в комбе приследующих фиксированных параметрах: L = 10, 30, 50; T0 = 0.1, T = 10000.73из рисунка, быстрый рост эффективности сменяет «плато», после которого следует спад.Этот результат не трудно понять, учитывая, что процесс записи каждого импульса в трэйне сопровождается одновременным считыванием и перезаписью поля, записанного ранее, наболее глубокие слои среды.
Т.е. в тот момент, когда n-ый импульс сигнального поля входит всреду в сопровождении управляющего поля, управляющее поле не только обеспечивает записьэтого импульса, но и считывает информацию, записанную предыдущими n − 1 импульсами,и по-возможности перезаписывает ее на более глубокие слои среды. Таким образом, если импульсов становится много, а глубины среды не хватает для перезаписи, то управляющее поле«выталкивает» записанную ранее информацию из среды. Этот результат существенно отличаетнашу задачу от задачи [6], в которой рассматривалась запись одиночного короткого импульсана трехуровневый ансамбль атомов в рамановской конфигурации. Там в силу ограничений, накладываемых на длительности процессов, таких эффектов не могло возникнуть в принципе, иэффективность процесса записи стремилась к 1 при достаточной оптической толщине среды.Очевидно, что формально снижение эффективности связано с наличием экспоненциальногомножителя в ядре K(t, t0 ). И если здесь данный множитель хоть и портит результат, но все жеоставляет возможность для подбора параметров, то, как мы покажем далее, при сохранениикорреляций он играет критическую роль.2.7Cохранение квантовых корреляций входного сигналана этапе считыванияКак мы помним, допороговое излучение SPOPO характеризуется сжатием в Ŷ -квадратуре.Согласно [8], нормально упорядоченное среднее для коррелятора Ŷ -квадратур имеет вид:Nκs T X −κs |tn − tn0 |eδ(t − t0 − tn + tn0 )Θ(t − tn )Θ(t0 − tn0 ).h: Ŷin (t)Ŷin (t ) :i = −8N n,n0 =10(2.117)Проследим как преобразуется этот коррелятор после прохождения полного цикла памяти:h: Ŷout (t0 )Ŷout (t00 ) :iZTW ZTWT0T0000cos(t1 + t ) cos(t2 + t ) G(t1 , t0 )G(t2 , t00 )h: Ŷin (t1 )Ŷin (t2 ) :idt1 dt2TT00TZW ZTW+0(2.118)T0T0000sin(t1 + t ) sin(t2 + t ) G(t1 , t0 )G(t2 , t00 )h: X̂in (t1 )X̂in (t2 ) :idt1 dt2 .TT074Очевидно, что наличие второго слагаемого, связанного с коррелятором растянутых квадратурвходного сигнала h: X̂in (t1 )X̂in (t2 ) :i разрушает сохранение корреляций в восстановленном поле.Несмотря на малый множительT0Tв синусных членах, этим слагаемым нельзя пренебречь, по-скольку переменная времени под интегралом меняется в пределах от 0 до TW , а значит аргументтригонометрических функций изменяется от 0 до N T0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
