Диссертация (1150447), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Использование техники разложения Шмидтадля анализа схемы памяти чрезвычайно удобно, поскольку напрямую демонстрирует числонезависимых степеней свободы, которое мы можем сохранить в данной схеме. Однако физические требования к процессу памяти заставляют нас накладывать более жесткие условияна свойства ядра. Если интегральное преобразование характеризуется комплексным ядром,то квадратуры сигнального поля развиваются не независимо друг от друга, что неизбежноприведет к потере подавления дробового шума в восстановленном поле. Покажем, как можнопреодолеть указанную проблему в нашем случае.Ядро K(t, t0 ) можно представить как произведение фазового множителя, содержащего мнимые экспоненты, и амплитудной части, которую мы назовем G(t, t0 ).
Отметим, что амплитуднаячасть ядра G(t, t0 ) является вещественной и симметричной относительно перестановки аргументов, а, следовательно, представима в виде разложения Шмидта по собственным функциям.Заметим, что обе части ядра полного цикла, как фазовая, так и амплитудная, зависят отфункции Q(0, t), определяемой выражением (2.77), и с учетом явного выражения профиляуправляющего поля f (t) (2.75) могут быть существенно упрощены.
Проиллюстрируем наглядно,что при условии большого количества импульсов в трейне (N 1) функция Q(0, t) может бытьаппроксимирована прямой:ZtQ(0, t) =dt0 f (t0 ) '064T0t.T(2.93)Далее для краткости обозначим Q(0, t) ≡ Q(t). На рис. 2.2 изображены функция Q(t) и прямаяT0t,Tрассчитанные при одинаковых параметрах (T = 10, T0 = 3). Мы выбрали здесь значенияРисунок 2.2: Функции Q(t) (фиолетовая сплошная линия) и ее аппроксимирующая прямая(розовая пунктирная линия).
Параметры расчета: T0 = 3, T = 10.T0tTT и T0 одного порядка, чтобы на графике был виден ступенчатый вид функции Q(t). При увеличении количества импульсов в трейне меняется число «ступенек», но не сам вид функции, ихорошо видно, что чем больше импульсов рассматривается, тем меньшее значение имеет тонкаяструктура Q(t) по сравнению с ее выраженным линейным ростом, аппроксимация улучшается.Отношение T0 /T соответствует тангенсу угла наклона аппроксимирующей прямой. Отметим,что при приближении параметров расчета к реальным, тангенс угла наклона прямой становится близок к нулю, что, не влияя на саму возможность аппроксимации, делает рисунок ненаглядным.Тогда интегральное преобразование полного цикла можно переписать в виде:âR (t) = −ZTWT0(t+t0 )dt0 e−i TG(t, t0 )âin (TW − t0 ).(2.94)0гдеG(t, t0 ) =ZLrf (t)f (t0 )J0 2!T0zt J0Tr2!T0 0zt dzT0=Xpλi ϕi (t)ϕi (t0 ) =iT0 X pλi ϕ̃i (t)ϕ̃j (t0 ).T i(2.95)Здесь ϕi (t) – i-ая собственная функция ядра G(t, t0 ) (мода Шмидта), λi – соответствующее ейсобственное значение, а ϕ̃i (t) – ее огибающая.65Рисунок 2.3: Вид первой собственной функции для ядра полного цикла и ее огибающей вовременном и частотном представлениях.
Параметры расчета: N = 10, T0 = 1, T = 4, L = 10.Проследим за видом этих собственных функций, покажем, что они содержат гребенчатуюструктуру поля накачки, и продемонстрируем, что при интересующих нас параметрах даннаяструктура оказывается несущественной для оценки характеристик квантовой памяти. Продемонстрируем все вышесказанное на примере первой собственной функции ядра G(t, t0 ).На рис. 3.3 приведены старшая собственная функция ядра ϕ1 (t) (значение собственногочисла λ1 = 1), ее огибающая ϕ̃1 (t) и их спектры.
Для того, чтобы продемонстрировать гребенчатую структуру функций, расчет был произведен при параметрах, далеких от реальных:мы сократили число импульсов в трэйне до 10 (обычно это величина порядка 100), и выбрали период следования импульсов T одного порядка с длительностью одиночного импульса T0(напомним, что для реального комба T T0 , как мы и будем полагать далее). При приближении параметров к реальным, т.е. при увеличении количества импульсов в трейне (N 1),важный временной ход будет определяться только огибающими собственных функций ϕ̃i (t), аэволюцией на интервалах T0 можно пренебречь при оценке работы ячейки памяти.Отметим, что собственные функции ϕi (t) ядра G(t, t0 ) и их огибающие ϕ̃i (t) нормированына интервале [0, TW ] следующим образом:ZTWZTWϕi (t)ϕj (t)dt = δij ,ϕ̃i (t)ϕ̃j (t)dt =0Tδij .T0(2.96)0Наличие экспоненциального множителя в ядре полного цикла K(t, t0 ) существенно меняетсвойства памяти.
В разделах 2.6 и 2.7 мы покажем, что хотя и удается добиться высокой эффективности памяти при правильном соотношении между длиной ячейки и числом запоминаемых66импульсов, корреляционные свойства поля разрушаются в процессе памяти. Мы предложимсхему, позволяющую нивелировать влияние фазовых множителей и восстановить работу ячейки.Поскольку дальнейший анализ решений будет проводиться на языке собственных функцийи собственных значений ядра G(t, t0 ), рассчитаем эти собственные значения для параметровсигнального поля, выбранных в соответствии с экспериментом [115]. На рис.
2.4 краснымистолбцами показаны собственные значения преобразования полного цикла при выбранных параметрах задачи. Мы видим шесть собственных чисел близких к 1, т.е. наша память в принципеРисунок 2.4: Собственные числа ядра G(t, t0 ) (красные столбцы) и Фурье-образы соответствующих им собственных функций на нулевой частоте (синие столбцы). Параметры расчета: N = 90,L = 10, T0 = 0.1, T = 10000.способна сохранить не более шести мод при выбранных параметрах. Для того чтобы понять засохранением каких квантовых особенностей излучения нам следует следить в процессе памяти,и, в частности, каким количеством независимых квантовых степеней свободы обладает излучение SPOPO, которые мы хотели бы сохранить, обсудим его квантово-статистические свойства.2.5Квантово-статистические особенности излучения SPOPOВ качестве сигнального поля мы рассматриваем частотный комб, получаемый в процессе вырожденного параметрического рассеяния света в резонаторе с синхронной накачкой [116].
Процесс генерации сигнального комба реализуется следующим образом: на нелинейный кристалл,находящийся внутри резонатора, подается последовательность когерентных импульсов длительности T0 в качестве накачки. При прохождении фотонов поля накачки через кристалл67рождается пара скоррелированных фотонов сигнального поля. Импульс накачки и сигнальныйимпульс затрачивают одинаковое время T для обхода резонатора, которое совпадает с периодомимпульсов внешней накачки (T0 T ). Прежде чем покинуть резонатор, фотоны сигнальногополя могут (с учетом добротности резонатора) совершить порядка десяти обходов резонатора.При этом, каждый раз проходя через кристалл, они принимают участие в рождении следующейпары скоррелированных фотонов.
Поэтому в системе присутствуют самые различные корреляции на разных временах. Исследование корреляционных свойств излучения SPOPO показало,что корреляции внутри одного импульса оказываются много слабее, чем корреляции между последовательными импульсами трэйна.
В работе [8] авторы пренебрегают корреляциями внутрикаждого отдельного импульса, делая акцент на скоррелированность системы на бо́льших временах. Именно эти корреляции являются ресурсом для квантовых вычислений в [169]. Мыбудем придерживаться того же подхода. Следует отметить, что этот подход также согласуетсяс возможностями нашей квантовой памяти, о чем будет сказано ниже, в разделе 2.7.Генератор SPOPO может работать как в допороговом, так и в надпороговом режимах [8, 9].Мы будем рассматривать свет, полученный в допороговом режиме SPOPO. В этом режимеможно пренебречь истощением поля накачки при параметрическом преобразовании в нелинейном кристалле и считать, что оно находится в когерентном состоянии с амплитудой, заданнойвнешним источником.
Подразумевается, что все импульсы в трейне имеют одинаковую форму,поскольку генератор работает в стационарном режиме.Амплитуда сигнального поля может быть представлена как суперпозиция отдельных импульсов:N1 XÂm (t − tm ),Â(t) = √N m=1(2.97)при этом удовлетворяются следующие коммутационные соотношения:hiÂ(t), † (t0 ) = δ(t − t0 ),hiÂn (t − tn ), †m (t0 − tm ) = δmn δ(t − t0 ),(2.98)где N – количество импульсов в трэйне.Говоря о квантово-статистических свойствах SPOPO следует прежде всего отметить квадратурное сжатие, наблюдавшееся для Ŷ -квадратур.Исследовать сохранение квадратурного сжатия мы предполагаем опираясь на временноепредставление, что представляется более естественным языком для задачи квантовой памяти.68В работе [8] был получен временной коррелятор флуктуаций Ŷ -квадратуры для двух моментоввремени, принадлежащих разным импульсам:κs T Θ(t − nT ) − κs T (1+Θ(t−nT ))|n−n0 |1e 2hŶ (t − nT )Ŷ (t0 − n0 T )i = δnn0 δ(t − t0 ) −44 1 + Θ(t − nT )×δ(t − t0 − (n − n0 )T )Θ(t − nT )Θ(t0 − n0 T ),(2.99)где κs – спектральная ширина линии резонатора, T – как и прежде, период между импульсамисигнального поля, Θ(t) – временной профиль одиночного импульса, который в нашей задачемы для простоты будем считать прямоугольным , что не меняет принципиально свойства исследуемого света.
Первое слагаемое выражения (3.1) отвечает дробовому шуму, присутствиевторого – отрицательного – показывает возможность подавления дробового шума, т.е. указывает на присутствие квантовых корреляций в системе. Для того чтобы получить корреляторсигнального поля, следует просуммировать равенство (3.1) по всем импульсам, нумеруемыминдексами n и n0 :N1 XhŶin (t)Ŷin (t )i =hŶ (t − nT )Ŷ (t0 − n0 T )i.N n,n0 =10(2.100)На рис.
2.5 представлен спектр флуктуаций фототока Sin (ω) при гомодинном измерении Ŷ квадратуры такого сигнального поля:1Sin (ω) =2πZ Z0eiωt e−iωt β(t0 )β(t)hŶin (t)Ŷin (t0 )idtdt0 .(2.101)Для расчета мы выбрали параметры системы, согласующиеся как с экспериментальными исследованиями SPOPO, так и с расчетами, представленными выше: N = 90, T0 = 0.1, T = 10000,κs T = 0.1, Θ(t) = H(t)H(T0 − t). Временной профиль гомодина β(t) имеет вид ступенчатойфункции и совпадает с профилем сигнального поля. В таком случае выражение для спектрафлуктуаций принимает вид:Nκs T Xcos((m − k)T ω)e−κs T |m−k| .Sin (ω) = 1 −2N m,k=1(2.102)Полученный спектр иллюстрирует подавление шума на частотах, кратных 2π/T , в пределахспектральной ширины комба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
