Диссертация (1150447), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Обратим внимание, что здесь и далее если речьидет о быстрой меняющейся амплитуде, то будем указывать индекс f , в случае отсутствияиндекса амплитуда считается медленной.Уравнение Гайзенберга для оператора σ̂13f (t, z) имеет вид:ih̄σ̂˙ 13f (t, z) = [σ̂13f (t, z), Ĥ],(B.1)где Ĥ – полный гамильтониан системы. Напомним, что полный гамильтониан (2.23) состоит изтрех основных вкладов:Ĥ = Ĥs + Ĥat + V̂ .Выведем последовательно вклады, которые дадут эти слагаемые в уравнение (B.1).1.1 Оператор спиновой когерентности коммутирует со вкладом в гамильтониан от сигнального поля Ĥs , поэтому:[σ̂13f (t, z), Ĥs ] = 0.(B.2)1.2 Для вывода вклада от второго слагаемого используем атомный гамильтониан (2.15),поскольку выражение для него одинаково в терминах как быстро, так и медленно меняющихся124амплитуд:[σ̂13f (t, z), Ĥat ] = [NXZiζ̂13f· δ(z − zi ),dz=dzNX0N X3Xjh̄ωk ζ̂kk· δ(z 0 − zj )] =j=1 k=1i=1Z03 Xiζ̂ jh̄ωk ζ̂13f kk0· δ(z − zi )δ(z − zj ) −j ih̄ωk ζ̂kkζ̂13f· δ(z − zi )δ(z − zj ) =0i,j=1 k=1Z=N X3 Xjjj jdzh̄ωk ζ̂13f ζ̂kk − h̄ωk ζ̂kk ζ̂13f · δ(z 0 − zj )δ(z 0 − z) =0j=1 k=1Z= h̄(ω3 − ω1 )dz0NXjζ̂13· δ(z 0 − zj )δ(z 0 − z) = h̄ω13 σ̂13f (t, z).f(B.3)j=11.3 Для вывода вклада третьего слагаемого нам необходимо переписать оператор гамильтониана взаимодействия в терминах быстро меняющихся амплитуд.

Тогда искомый вклад:[σ̂13f (t, z), V̂ ] =ZNXiζ̂13f · δ(z − zi ), dz 0 (ih̄g(σ̂31 (t, z 0 ) · â(t, z 0 )e−i∆t+iks z − σ̂13 (t, z 0 ) · ↠(t, z 0 )ei∆t−iks z )=[i=1+ih̄Ω(t, z)(σ̂32 (t, z 0 ) · e−i∆t+ikd z − σ̂23 (t, z 0 ) · ei∆t−ikd z ))]Z XNNXjjiζ̂13f · δ(z − zi ),(ih̄g(ζ̂31=[· â(t, z 0 )e−iωs t+iks z − ζ̂13· ↠(t, z 0 )eiωs t−iks z )ffj=1i=1j+ih̄Ω(t, z)(ζ̂32f·e−iωd t+ikd zj− ζ̂23· eiωd t−ikd z ))δ(z 0 − zj )dz 0 ].fВоспользуемся теоремойXXδ(r − ri )δ(r0 − rj ) =i=1 j=1Xδ(r − ri )δ(r0 − r) ≡i=1Xδ(r − rj )δ(r − r0 ),(B.4)j=1и заметим, чтоXjζ̂mnζ̂ j δ(z − zj ) ≡ σ̂mkf (t, z).f nkf(B.5)j=1Тогда[σ̂13f (t, z), V̂ ] = ih̄g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z)e−iωs t+iks z + ih̄Ω(t, z)σ̂12f (t, r)e−iωd t+ikd z .Таким образом уравнение Гейзенберга для быстро меняющейся амплитуды спиновой коллективной когерентности σ̂13 (t, z) примет следующий вид:ih̄σ̂˙ 13f (t, z) = h̄ω13 σ̂13f (t, z)(B.6)+ih̄g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z)e−iωs t+iks z + ih̄Ω(t, z)σ̂12f (t, z)e−iωd t+ikd z .125Сделаем переход к медленно меняющейся амплитуде спиновой когерентности.

Быстро и медленно меняющиеся амплитуды связаны соотношением:σ̂13f (t, z) = σ̂13 (t, z) · e−iω13 t .(B.7)И возмем производную по переменной t от (B.7):σ̂˙ 13f (t, z) = σ̂˙ 13 (t, z) · e−iω13 t − iω13 σ̂13 (t, z) · e−iω13 t .(B.8)Подставим (B.7) и (B.8) в полученное уравнение (B.6) и преобразуем полученное выражение:σ̂˙ 13 (t, z) = g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z)e−iωs t+iks z eiω13 t+Ω(t, z)σ̂12 (t, z)e−iω12 t e−iωd t+ikd z eiω13 t .(B.9)Несложно увидеть, что−ωs + ω13 = −∆,−ω12 − ωd + ω13 = ω1 − ω2 − ωd + ω3 − ω1 = ω23 − ωd = −∆.(B.10)Поэтому:σ̂˙ 13 (t, z) = g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z)e−i∆t+iks z + Ω(t, z)σ̂12 (t, z)e−i∆t+ikd z .Выполним следующие заменыσ̂13 (t, z)e−i∆t+iks z → σ̂13 (t, z),(B.11)σ̂12 (t, z)ei(kd −ks )z → σ̂12 (t, z).(B.12)и получим итоговое уравнение для коллективной спиновой когерентности σ̂13 (t, z):σ̂˙ 13 (t, z) = i∆σ̂13 (t, z) + g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z) + Ω(t, z)σ̂12 (t, z).126(B.13)Приложение CСвязь ядер интегральных преобразованийпри записи и при считыванииПокажем, что ядро Gab (t, z), описывающее процесс записи, и ядро Gba (t, z), отвечающее засчитывание, связаны между собой следующим соотношениемGab (TW − t, z) = Gba (t, z),(C.1)где TW = (N − 1)T + T0 .

Чтобы доказать это равенство, выпишем исходные выражения длясравниваемых ядер:Gab (t, z) =NX pΘ(t − tk )e−i((N −k+1)T0 +tk −t) J0 2 z((N − k + 1)T0 + tk − t) ,(C.2) pΘ(t − tn )e−i((n−1)T0 +t−tn ) J0 2 z((n − 1)T0 + t − tn ) ,(C.3)k=1Gba (t, z) =NXn=1где ti = (i − 1)T (i = n, k), а Θ(t) = H(t) · H(T0 − t) (прямоугольный профиль длительности T0 ).Тогда:Gab (TW − t, z) = Gab (−t + (N − 1)T + T0 , z) =N pX=Θ(T0 − t + (N − k)T )ei((N −k)T0 +t+(k−N )T ) J0 2 z((N − k)T0 + t + (k − N )T )k=1[k = N − n + 1]N pX=Θ(T0 − t + (n − 1)T )ei((n−1)T0 +t−(n−1)T ) J0 2 z((n − 1)T0 + t − (n − 1)T )n=1=NXH(T0 − t + (n − 1)T ) · H(T0 − T0 + t − (n − 1)T ) · ei((n−1)T0 +t−tn )n=1 p×J0 2 z((n − 1)T0 + t − tn )=NX pΘ(t − tn )ei((n−1)T0 +t−tn ) J0 2 z((n − 1)T0 + t − tn )) = Gba (t, z).n=1127Приложение DСпектры подавления дробового шумафототокаПолучим выражения для спектров подавления дробового шума фототоков коррелятора Ŷ квадратур до и после прохождения полного цикла памяти.

Исходный коррелятор Ŷ -квадратурсигнального поля определен выражением:1(D.1)hŶ (t − nT )Ŷ (t0 − n0 T )i = δnn0 δ(t − t0 )4κs T Θ(t − nT ) − κs T (1+Θ(t−nT ))|n−n0 |e 2δ (t − t0 − (n − n0 )T ) Θ(t − nT )Θ(t0 − n0 T ),−4 1 + Θ(t − nT )где функция Θ(t) = H(t) · H(T0 − t) отвечает прямоугольной форме одиночного импульса втрейне.hŶin (t)Ŷin (t0 )i =N1 XhŶ (t − nT )Ŷ (t0 − n0 T )iN n,n0 =1(D.2)NN11 Xκs T X −κs T |n−n0 |0=δnn0 δ(t − t ) −eδ(t − t0 − (n − n0 )T )Θ(t − nT )Θ(t0 − n0 T ).4 N n,n0 =18N n,n0 =1Для детектирования фототока используется схема гомодинного приема, и в качестве опорногополя рассматривается трейн классических прямоугольных импульсов:β(t) =NXΘ(t − tn ),tn = (n − 1)T.n=1В таком случае выражение для спектра фототока при гомодинном детектировании:h|iin (ω)|2 i = hiin (ω)iin (−ω)iZ Z10eiωt e−iωt β(t0 )β(t)hYin (t)Yin (t0 )idtdt0=2πZ ZNN T0κs T X 100=−eiωt e−iωt e−κs T |n−n |4N 2π8N n,n0 =1 2π×δ(t − t0 − (n − n0 )T )Θ(t − nT )Θ(t0 − n0 T )dtdt0128(D.3)nTZ+T0 n0ZT +T0N1 T0κs T X 100eiωt e−iωt e−κs T |n−n | δ(t − t0 − (n − n0 )T )dtdt0=−4 2π8N n,n0 =1 2πn0 TnTnTZ+T0N1 T0κs T 1 X −κs T |n−n0 |0=eiωt e−iω(t−(n−n )T ) dt−e4 2π8N 2π n,n0 =1nT=1 T0κs T T0−4 2π8N 2πNX00e−κs T |n−n | eiωT (n−n )n,n0 =1N1 T0κs T T0 X −κs T |n−n0 |=−ecos (ωT (n − n0 ))4 2π8N 2π n,n0 =1(D.4)Разделив это выражение на квадрат дробового фототока, окончательно получим нормированный спектр флуктуаций фототока на входе ячейки памяти:Sin (ω) = 1 −Nκs T X0cos((n − n0 )T ω)e−κs T |n−n | .2N n,n0 =1(D.5)Обратимся теперь к спектру выходного (восстановленного) сигнала.

Первое слагаемое в (D.1)описывает дробовый шум и останется неизменным после прохождения полного цикла памяти.Второе слагаемое, нормально упорядоченная часть коррелятора, отвечающая за степень подавления дробового шума, после полного цикла памяти во временном представлении может бытьвыражено через собственные функции ядра:000ZTW ZTWh: Ŷout (t )Ŷout (t ) :i =0G(t1 , t0 )G(t2 , t00 )h: Ŷin (t1 )Ŷin (t2 ) :idt1 dt20ZTW ZTW X p=λi λj ϕi (t1 )ϕi (t0 )ϕj (t2 )ϕj (t00 )h: Yin (t1 )Yin (t2 ) :idt1 dt200ijZTW ZTWNX Xp=−λi λjϕi (t1 )ϕi (t0 )ϕj (t2 )ϕj (t00 )ij n,n0 =100κs T −κs T |n − n0 |×eΘ(t1 − nT )Θ(t2 − n0 T )δ (t − t0 − (n − n0 )T ) dt1 dt28NN0κs T X X p=−λi λj e−κs T |n − n | ϕi (t0 )ϕj (t00 )8N ij n,n0 =1nTZ+T0 n0ZT +T0ϕi (nT )ϕj (n0 T )δ (t − t0 − (n − n0 )T ) dt1 dt2×nTn0 T129nTZ+T0N0κs T X X p=−λi λj e−κs T |n − n | ϕi (t0 )ϕj (t00 )ϕi (nT )ϕj (n0 T )dt18N ij n,n0 =1nTNXp0κs T XT0λi λj e−κs T |n − n | ϕi (t0 )ϕj (t00 )ϕi (nT )ϕj (n0 T )8Nij n,n0 =1κs T X pλi λj Aij ϕi (t0 )ϕj (t00 ),=−8N ij=−(D.6)гдеAij =NX0e−κs T |n−n | ϕi (nT )ϕj (n0 T )T0 .(D.7)n,n0 =1Пренебрегая развитием собственных функций на коротких временных отрезках длительностьюT0 , можно напрямую выписать коррелятор после прохождения полного цикла памяти череззначения собственных функций:NXκs T X ph: Ŷout (t )Ŷout (t ) :i = −λi λj Aijϕi (mT )ϕj (kT ) Θ(t0 − mT )Θ(t00 − kT ),8N ij=1m,k=1000(D.8)Для детектирования фототока выходного сигнального поля также используется схема гомодинного детектирования, а в качестве опорного поля рассматривается такой же трейн классическихпрямоугольны импульсов как и при измерении спектра фототока входного сигнала Sin (ω).

Втаком случае получим:NXpκs T T02 X1 T0−cos((m − k)T ω)λi λj Aij ϕi (mT )ϕj (kT ).h|iout (ω)| i =4 2π8N 2π m,k=1i,j=12(D.9)Аналогично предыдущим построениям, разделив полученное выражение на квадрат интенсивности дробового шума, запишем нормированный спектр флуктуаций фототока сигнала, восстановленного после полного цикла памяти:NXpκs T T0 Xcos((m − k)T ω)λi λj Aij ϕi (mT )ϕj (kT ).Sout (ω) = 1 −2N m,k=1i,j=1130(D.10).

Характеристики

Список файлов диссертации