Диссертация (1150447), страница 11
Текст из файла (страница 11)
нам важно обеспечить не только высокую эффективностьмногомодового хранения, но и сохранить интересующие нас квантовые корреляции.Забегая вперед, скажем, что другое отличие состоит в том, что сохранение сигнальногополя со сложной структурой в ячейке памяти позволяет помимо традиционных характеристикквантовой памяти исследовать вопросы о сохранении квантовых корреляций, содержащихся вовходном сигнале, и их отпечатывании на модовую структуру ячейки памяти.462.22.2.1Модель квантовой памяти на основе многочастотногокомбаЭнергетическая схема.
Коллективные операторыРассмотрим задачу о сохранении последовательности скоррелированных фемтосекундных импульсов на ансамбле неподвижных атомов с Λ-конфигурацией энергетических уровней. В качестве механизма переноса квантового состояния поля на среду нами выбрана схема рамановскоговзаимодействия полей с атомным ансамблем, поскольку эта модель памяти является широкополосной, что является принципиальным требованием при работе с многомодовым светом.На рисунке 2.1 приведена принципиальная схема взаимодействия актуальных полей с атомами ансамбля. Ансамбль холодных трехуровневых атомов протяженностью L вдоль оси zРисунок 2.1: a) Схема энергетических уровней ансамбля атомов, взаимодействующего с гребенками сигнального и управляющего полей в рамановском протоколе памяти; b) частотныйпрофиль сигнального поля: ωc – спектральная ширина комба, ωrep – расстояние между зубцами гребенки, ω0 – уширение одиночного зубца; c) временной профиль сигнального поля: TW –полная длительность периодической серии импульсов, T – значение периода, T0 – длительностьодиночного импульса.~ˆs в присутствии сильного управляющеговзаимодействует с квантовым сигнальным полем E~ d .
Несущие частоты ωs и ωd сигнального и управляющего полей отстроклассического поля Eены от резонанса с частотами cоответствующих атомных переходов ω13 и ω23 на величину −∆(∆ = ωs − ω13 = ωd − ω23 ).В начальный момент времени все атомы с помощью оптической накачки приготовлены восновном состоянии |1i. Поляризации полей согласованы таким образом, что сигнальное поледействует на переходе между уровнями |1i и |3i, а управляющее – на переходе между уровнями|2i и |3i.
Уровень |3i мы считаем короткоживущим, со временем жизни равным γ −1 . Распадом47нижних уровней |1i и |2i мы пренебрегаем, т.к. считаем их долгоживущими по сравнению современем хранения в памяти.Мы решаем одномерную пространственную задачу и рассматриваем управляющее поле каксильную классическую, а сигнальное поле как слабую квантовую плоские волны. В даннойработе в качестве сигнального поля мы рассмотрим частотный комб, полученный при помощипараметрического рассеяния света [165], структура которого более подробно описана в разделе 2.5. Поля сформированы в виде серии ультракоротких импульсов и распространяются вположительном направлении оси z, причем импульсы сигнального поля оказываются скоррелированными на временах порядка времени жизни фотонов в резонаторе. В частотном представлении такие поля имеют вид частотной гребенки шириной ωc (см.
рис.2.1), зубцы которойимеют уширение, зависящее от количества импульсов в серии. В рассматриваемой модели мыпринимаем условие ωc |∆|, которое позволяет считать отстройку одинаковой для каждогоиз зубцов гребенки. Длительность одиночного импульса T0 и период между импульсами T мывыбираем одинаковыми для управляющего и сигнального полей. При этом мы полагаем, чтоT0 L/c T , так что в каждый момент времени в среде может находиться не более одногоимпульса. Отметим, что все указанные соотношения между параметрами задачи полностьюсогласуются с экспериментальными [165], см.
Приложение A. Таким образом, математическиевыражения для сигнального и управляющего полей мы можем записать в виде:rh̄ωs −iωs t+iks zˆ~eâ(t, z)~es + h.c. ,Es (t, z) = −i2ε0 c~ d (t, z) = −iE0 (t, z)e−iωd t+ikd z~ed + h.c.E(2.1)(2.2)ks,d и ~es,d – волновые числа и векторы поляризации сигнального и управляющего полей, соответственно. E0 (t, z) – напряженность классического управляющего поля.
â(t, z) – бозонныйоператор уничтожения для медленной амплитуды сигнального поля, для которого выполняются следующие коммутационные соотношения:i ∂[â(t, z), â (t, z )] = c 1 −ks ∂z†0[â(t, z), ↠(t0 , z)] = δ(t − t0 ).δ(z − z 0 ),(2.3)(2.4)Дальнейшее рассмотрение будет проведено для коллективных операторов, которые мы определим ниже.48Выражение для оператора дипольного момента одного атома имеет вид:Xˆd~ =dij · ζ̂ij · e−iωij t · ~eij ,(2.5)i,j(i<j)где ζ̂ij = |iihj| – оператор проектирования состояния j на состояние i в момент времени t.
Приi 6= j данный оператор является оператором спиновой(атомной) когерентности между j-ым иi-ым уровнями, при i = j оператор ζ̂ii = |iihi| = N̂i является оператором заселенности i-огоуровня. dij – матричные элементы оператора дипольного момента перехода между уровнями|ii и |ji (табличные коэффициенты, характеризующие конкретный атом). Несмотря на то, чтов общем случае эти коэффициенты комплексные (причем dij = d∗ji ), в нашей задаче для удобства и без нарушения общности мы будем считать их вещественными (dij = dji ).
~eij – векторполяризации перехода |ji − |ii, ωij = ωj − ωi – частота перехода |ji − |ii.В рассматриваемом случае переход |1i − |2i является запрещенным, поэтому выражение дляоператора дипольного момента принимает вид:ˆd~ = d13 · ζ̂13 · e−iω13 t · ~es + d31 · ζ̂31 · eiω13 t · ~es + d23 · ζ̂23 · e−iω23 t · ~ed + d32 · ζ̂32 · eiω23 t · ~ed .(2.6)Введем коллективный оператор дипольного момента D̂(z):D̂(z) =Xdˆk δ(z − zk ),(2.7)kгде все операторы dˆk совпадают между собой и идентичны оператору dˆ , введенному в (2.5).Для описания атомной среды мы вводим операторы медленных амплитуд коллективныхкогерентностей и заселенностей:σ̂ij (t, z) =NatXζ̂ijk (t)δ(z − zk ),(2.8)k=1N̂i (t, z) = σ̂ii (t, z) =NatXζ̂iik (t)δ(z − zk ),(2.9)k=1где Nat – количество атомов в рассматриваемом ансамбле, ζ̂ijk (t) – определенные выше операторы проектирования для k-ого атома в момент времени t. Нетрудно увидеть, что для нихсправедливы следующие квантовые перестановки:[σ̂ij (t, z), σ̂ji (t, z 0 )] = (σ̂ii (t, z) − σ̂jj (t, z)) δ(z − z 0 ).(2.10)Поскольку мы решаем задачу во временном представлении, мы неизбежно включаем в рассмотрение помимо строгого двухчастотного резонанса все нерезонансные члены в пределах шириныкомба.
Такой подход отличает данное рассмотрение от представленного в работе [166].492.2.2Энергия системы. Полный гамильтониан системыОбщую энергию рассматриваемой системы характеризует гамильтониан Ĥ, состоящий из двухосновных вкладов. Первый соответствует невозмущенной части Ĥ0 , в которую в данном случаевойдут три вклада: Ĥs – вклад от сигнального поля, Ĥd – вклад от управляющего поля, Ĥat– вклад от атомного ансамбля.
Второй отвечает возмущенной части V̂ , которая характеризуетвзаимодействие между полями и атомом. Таким образом, полный гамильтониан системы:Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,(2.11)Ĥ0 = Ĥs + Ĥd + Ĥat .(2.12)Невозмущенная часть гамильтониана, как оговаривалось ранее, включает в себя три слагаемых. Однако, поскольку управляющее поле является классическим, то его вклад в гамильтониан (константа) будет коммутировать с любым оператором и при усреднении выражения с нимдаст нулевой вклад в усредняемое выражение. Поэтому вклад от классического поля в невозмущенную часть полного гамильтониана в выводах целесообразно опустить и рассматриватьтолько два вклада:Ĥ0 = Ĥs + Ĥat ,(2.13)где первое слагаемое представляет вклад сигнального поля в невозмущенный гамильтониансистемыh̄ωsĤs =cZ↠(t, z)â(t, z)dz,а второе слагаемое - гамильтониан невзаимодействующего атомного ансамбляZZ XN X33Xkh̄ωi ζ̂ii · δ(z − zk ) =h̄ωi N̂i (t, z)dz.Ĥat = dzk=1 i=1(2.14)(2.15)i=1Здесь интегрирование ведется по непрерывной пространственной переменной z, а в последнемравенстве мы подставляем введенные ранее выражения для коллективных заселенностей энергетических уровней.Задача будет решаться в дипольном приближении, считая что длина волны намного большеразмера атома, поэтому возмущенная часть гамильтониана имеет вид:ZV̂ = − D̂(z)Ê(z, t)dz,50(2.16)где D̂(z) коллективный оператор электромагнитного дипольного момента, а Ê(t, z) сумма сигнального и управляющего полей.Сразу отметим, что мы работаем в приближении вращающейся волны.
Поэтому, поскольку быстро осциллирующие слагаемые при усреднении дадут ноль, в выражении для V̂ будетцелесообразно оставить только слагаемые, пропорциональные e±i∆t .Мы рассматриваем классическую напряженность поля как вещественную величину и напомним, что коэффициенты dik также вещественны. Поэтому, частота Раби управляющего полябудет также вещественной, и будет иметь вид:Ω(t, z) =d23 · E0 (t, z).h̄(2.17)Мы полагаем, что управляющее поле это плоская волна, бегущая в положительном направлении оси z, которая задается частотой Раби Ω(t, z). Из-за запаздывания волнового фронтана величину z/c выражение для частоты Раби записывается как Ω(t, z) = Ω0 f (t − z/c), гдефункция f (t − z/c) описывает временной профиль управляющего поля на этапах записи и считывания. В общем виде задача может быть решена подбором профиля управляющего поля,обеспечивающего сохранение требуемых статистических характеристик сигнала.
Мы не будемограничиваться конкретным видом управляющего поля при построении уравнений и решений,чтобы иметь возможность в дальнейшем варьировать этот параметр задачи, однако уже на этомэтапе учтем импульсный характер задачи. Поэтому, учитывая запаздывание фазы на величинуz/c для управляющего поля, можно представить частоту Раби в виде:Ω(t, z) = Ω0 f (t − z/c),NXf (t) =F (t)Θ(t − (n − 1)T ),(2.18)(2.19)n=1Θ(t) = H(t) · H(T0 − t).(2.20)Здесь F (t) – общая огибающая для последовательности импульсов управляющего поля, которую мы задаем, а H(t) – функция Хевисайда.
Соответственно, при одновременном включенииполей каждому импульсу управляющего поля будет отвечать собственный импульс сигнальногополя. Возможность задавать профиль управляющего поля позволит нам не только обеспечитьнаилучшее сохранение и восстановление квантово-статистических характеристик сигнальногополя, но и менять профиль считываемого сигнала, что будет показано в Главе 3.51Определим константу связи между отдельным атомом и сигнальным полем:rg=ωs· d13 .2ε0 ch̄(2.21)Тогда возмущенная часть полного гамильтониана системы примет вид:ZV̂ =dz(ih̄g(σ̂31 (t, z) · â(t, z)e−i∆t+iks z − σ̂13 (t, z) · ↠(t, z)ei∆t−iks z ) ++ih̄Ω(t, z)(σ̂32 (t, z) · e−i∆t+ikd z − σ̂23 (t, z) · ei∆t−ikd z )),(2.22)где σ̂ij (t, z) – ранее введенные операторы коллективных спиновых когерентностей.Таким образом, полный гамильтониан рассматриваемой системы (в терминах медленно меняющихся переменных) можно записать как:ZZ X3h̄ωs†h̄ωi N̂i (t, z)dzâ (t, z)â(t, z)dz +Ĥ = Ĥ0 + V̂ = Ĥs + Ĥat + V̂ =ci=1Z+ dz[ih̄g(σ̂31 (t, z) · â(t, z)e−i∆t+iks z − σ̂13 (t, z) · ↠(t, z)ei∆t−iks z ) +(2.23)+ ih̄Ω(t, z)(σ̂32 (t, z) · e−i∆t+ikd z − σ̂23 (t, z) · ei∆t−ikd z )].2.32.3.1Уравнения Гайзенберга-Ланжевена и их решенияВывод системы уравнений Гайзенберга-ЛанжевенаМы собираемся описывать развитие системы в терминах медленно меняющихся переменных.Однако, поскольку уравнения Гайзенберга справедливы именно для быстро меняющихся переменных, то нам необходимо вернуться к этим величинам на этапе построения уравнений.Уравнение Гайзенберга для произвольного оператора Âf (t, z) имеет вид:˙ih̄Âf (t, z) = [Âf (t, z), Ĥ],(2.24)где Ĥ – полный гамильтониан (2.23) рассматриваемой системы, а на место оператора Âf (t, z)по очереди становятся операторы быстрых амплитуд спиновых когерентностей, населенностейи сигнального поля: σ̂12f (t, z), σ̂23f (t, z), σ̂13f (t, z), N̂1f (t, z), N̂2f (t, z), N̂3f (t, z) и âf (t, z).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
