Диссертация (1150447), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Затеммы выполним переход к уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. При этом быстро и52медленно меняющиеся амплитуды связаны следующими соотношениями:σ̂13f (t, r) = σ̂13 (t, r) · e−iω13 t ,(2.25)σ̂32f (t, r) = σ̂32 (t, r) · eiω23 t ,(2.26)σ̂12f (t, r) = σ̂12 (t, r)e−iω12 t ,(2.27)âf (t, r) = â(t, r)e−iωs t+iks z .(2.28)Дополнительно мы делаем следующие замены:σ̂13 (t, r)e−i∆t+iks z → σ̂13 (t, r),(2.29)σ̂12 (t, r)ei(kd −ks )z → σ̂12 (t, r),(2.30)σ̂32 (t, r)ei∆t−ikd z → σ̂32 (t, r).(2.31)Мы продемонстрировали процедуру вывода на примере уравнения для когерентности σ̂13 (t, z),см.

Приложение B.Таким образом, с учетом коммутационных соотношений (2.3) – (2.4) и (2.10) можно получитьсистему уравнений Гайзенберга для медленно меняющихся амплитуд:∂∂+c∂t∂zâ(t, z) = −cgσ̂13 (t, z),∂σ̂13 (t, z) = i∆σ̂13 (t, z) + g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z) + Ω(t, z)σ̂12 (t, z),∂t∂σ̂12 (t, z) = −Ω(t, z)σ̂13 (t, z) − gâ(t, z)σ̂32 (t, z),∂t∂σ̂32 (t, z) = −i∆σ̂32 (t, z) − Ω(t, z)(N̂3 (t, z) − N̂2 (t, z)) + g↠(t, z)σ̂12 (t, z),∂t∂N̂1 (t, z) = −gâ(t, z)σ̂31 (t, z) − g↠(t, z)σ̂13 (t, z),∂t∂N̂2 (t, z) = −Ω(t, z) (σ̂32 (t, z) + σ̂23 (t, z)) ,∂t∂∂∂N̂3 (t, z) = − N̂2 (t, z) − N̂1 (t, z).∂t∂t∂t(2.32)(2.33)(2.34)(2.35)(2.36)(2.37)(2.38)Согласно теореме Вигнера-Вайскопфа, полученная система дополняется релаксационными членами и соответствующими им ланжевеновскими источниками шума (F̂ij (t, z)), которые описывают спонтанный распад с уровня |3i.

Таким образом, получим систему уравнений Гайзенберга-53Ланжевена:∂∂+c∂t∂zâ(t, z) = −cgσ̂13 (t, z),∂σ̂13 (t, z) = i∆σ̂13 (t, z) + g(N̂1 (t, z) − N̂3 (t, z))â(t, z)∂tγ+Ω(t, z)σ̂12 (t, z) − σ̂13 (t, z) + F̂13 (t, z),2∂σ̂12 (t, z) = −Ω(t, z)σ̂13 (t, z) − gâ(t, z)σ̂32 (t, z),∂t∂σ̂32 (t, z) = −i∆σ̂32 (t, z) − Ω(t, z)(N̂3 (t, z) − N̂2 (t, z))∂tγ+g↠(t, r)σ̂12 (t, z) − σ̂32 (t, z) + F̂32 (t, z),2∂N̂1 (t, z) = −gâ(t, z)σ̂31 (t, z) − g↠(t, z)σ̂13 (t, z) + γ N̂3 (t, z) + F̂11 (t, z),∂t∂N̂2 (t, z) = −Ω(t, z) (σ̂32 (t, z) + σ̂23 (t, z)) ,∂t∂N̂3 (t, z) = Ω(t, z) (σ̂32 (t, z) + σ̂23 (t, z))∂t+gâ(t, r)σ̂31 (t, z) + g↠(t, z)σ̂13 (t, z) − γ N̂3 (t, z) + F̂33 (t, z).(2.39)(2.40)(2.41)(2.42)(2.43)(2.44)(2.45)Пространственное распределение коллективных атомных операторов обладает острой негладкой формой в силу дельта-локализации атомов.

Мы будем полагать, что количество атомоввелико, а находятся они на довольно близких расстояниях друг от друга (однако важно, чтобыэто расстояние оставалось много большим в сравнении с длиной волны рассматриваемого излучения).

Таким образом, среднее расстояние между атомами в каждый момент времени многоменьше чем интересующие нас пространственные интервалы. Такая пространственная зависимость переносится и на все другие параметры системы – как полевые, так и атомные. Упростимфизическую ситуацию, считая что атомы пространственно «размазаны», тогда в среднем задачастановится пространственно однородной.

Поэтому система может быть формально усредненапо положениям атомов, что позволит нам перейти от системы дифференциальных уравненийдля рваных дельта-образных переменных к гладким пространственным зависимостям. Пространственный масштаб усреднения выбирается много меньшим характерного пространственного масштаба изменения переменной z, определяемого характером взаимодействия полей иансамбля атомов.Считая, что заселенность уровня |1i в процессе памяти меняется незначительно, заменимразность N̂ 1 − N̂ 3 на c-число Nat /L, характеризующее линейную атомную плотность.В уравнении (2.41) опустим слагаемое, отвечающее gâσ̂32 , предполагая, что управляющее54поле намного сильнее сигнального, что делает gâ много меньше чем Ω (|Ω|2 g 2 h↠âi).

Крометого, имеет место существенная разница заселенностей второго и третьего уровней по сравнению с первым, что даст σ̂32 σ̂13 .Тогда система расцепляется и можно выписать замкнутую систему уравнений для σ̂ 13 , σ̂ 12 и â:∂∂+c∂t∂zâ(t, z) = −cgσ̂ 13 (t, z),(2.46)∂γσ̂ 13 (t, z) = i∆σ̂ 13 (t, z) + gN â(t, z) + Ω(t, z)σ̂ 12 (t, z) − σ̂13 (t, z) + F̂ 13 (t, z),∂t2∂σ̂ 12 (t, z) = −Ω(t, z)σ̂ 13 (t, z),∂t(2.47)(2.48)где черта над операторами означает усреднение по положениям атомов. Для краткости далеев записях знаки усреднения мы будем опускать.Перенормируем операторы спиновой когерентности так, чтобы удовлетворять бозонным перестановочным соотношениям:pb̂(t, z) = σ̂12 (t, z)/ Nat /L,pĉ(t, z) = σ̂13 (t, z)/ Nat /L.(2.49)(2.50)Заметим, что в случае, когда важное развитие в системе происходит на временах, много больших времени жизни атомного состояния |3i, и при этом развитие системы рассматривается навременном интервале, позволяющем разделить быстро и медленно протекающие во временипроцессы, можно использовать адиабатическое приближение.

Полагая, что процессы в нашейсистеме удовлетворяют этим требованиям, адиабатически исключим уровень |3i. Таким образом, мы получим замкнутую систему из двух уравнений:pcg Nat /LΩ(t, z)∂cg 2 Nat /L∂+c + γâ(t, z) = −b̂(t, z) + fˆa (t, z),∂t∂z( 2 − i∆)( γ2 − i∆)pΩ(t, z)g Nat /L∂Ω2 (t)+b̂(t, z) = −â(t, z) + fˆb (t, z),∂t ( γ2 − i∆)( γ2 − i∆)(2.51)(2.52)или, в более компактной записи,∂∂+ c + icB â(t, z) = −icCf (t − z/c)b̂(t, z) + fˆa (t, z),∂t∂z∂2+ iAf (t − z/c) b̂(t, z) = −iCf (t − z/c)â(t, z) + fˆb (t, z),∂t55(2.53)(2.54)где fˆa (t, z) и fˆb (t, z) – ланжевеновские источники шума, формируемые из исходного источникаF̂13 (t, z) в результате сделанных арифметических преобразований, а множители A, B и C ( вявном виде и с учетом рамановского предела |∆| γ) имеют вид:Ω2−iΩ20→ 0,γ/2 − i∆∆2−ig Nat /Lg 2 Nat /LB=→,γ/2 − i∆∆pp−ig Nat /L Ω0g Nat /L Ω0C=→.γ/2 − i∆∆A=(2.55)(2.56)(2.57)Любопытно отметить, что, как было показано в работе [167], вклад в шумы в уравнениях (2.53) –(2.54) даст только шум когерентности на переходе |1i−|3i.

Шумы заселенностей уровней оказываются много меньше в рамках рассматриваемых приближений. Таким образом, мы построилизамкнутую систему уравнений, для решения которой необходимо определить корреляционныесвойства источников шума. Однако для дальнейшего рассмотрения данная информация оказывается излишней. В самом деле, наш дальнейший интерес будет сосредоточен на вычислениинормально упорядоченных средних исследуемых операторных зависимостей. Поэтому шумовые члены не дадут вклада в исследуемые величины. Для упрощения изложения мы опустимих в формулах следующего раздела. Однако, нельзя забывать, что именно эти опускаемыеслагаемые обеспечивают правильные коммутационные соотношения для рассматриваемых операторов.2.3.2Решение системы уравнений Гайзенберга-ЛанжевенаСистема уравнений (2.53) – (2.54) описывает эволюцию полевых и материальных переменных навременах, на которых происходит взаимодействие света со средой.

В зависимости от выбранныхначальных условий это могут быть этапы записи или считывания сигнального поля.Процесс записи квантового состояния света на атомный ансамбль предполагает, что на входячейки (z = 0) подается сигнальное поле âin (t), при этом спиновый осциллятор атомной подсистемы находится в вакуумном состоянии. Для описания процесса считывания мы решаемэту же систему уравнений, но с другими начальным и граничным условиями: квантовая модасигнального поля находится в вакуумном состоянии, а распределение спиновой когерентности совпадает с распределением спиновой когерентности, полученным к концу времени записи.Решение выполняется с использованием метода преобразования Лапласа, что будет продемонстрировано ниже в этом разделе.56Замена переменных (t, z) → (η, ξ)Поскольку из-за запаздывания волнового фронта на величину z/c выражение для частотыРаби можно записать как Ω(t, z) = Ω0 f (t − z/c), при решении разумно переписать системууравнений, выполнив следующую замену переменных:η = t − z/c(2.58)ξ=z(2.59)Тогда система примет вид:∂+ iB â(η, ξ) = −iCf (η)b̂(η, ξ)∂ξ∂2+ iAf (η) b̂(η, ξ) = −iCf (η)â(η, ξ)∂η(2.60)(2.61)Прямое преобразование Лапласа.Применим к системе (2.60) – (2.61) преобразование Лапласа вида:Z∞fs =dξf (ξ)e−sξ ,(2.62)0тогда вместо нелинейной системы уравнений для â(η, ξ) и b̂(η, ξ) мы получим линейную системууравнений для их Лаплас-образов:sâs (η) − â(η, 0) + iBâs (η) = −iCf (η)b̂s (η),∂2+ iAf (η) b̂s (η) = −iCf (η)âs (η).∂η(2.63)(2.64)Решение системы Лаплас-образов.Из первого уравнения системы (2.63) – (2.64) выразим оператор âs (η) и подставим его во второе57уравнение системы.

Дополнительно введем вспомогательные функцииsΩ0,s(γ/2 − i∆) + g 2 N√g N.Ls =s(γ/2 − i∆) + g 2 NMs =(2.65)(2.66)Это позволит выделить замкнутое уравнение для спиновой амплитуды вида:∂b̂s (η) + Ms Ω0 f 2 (η)b̂s (η) = −Ls Ω0 f (η)â(η, 0).∂η(2.67)Уравнение (2.67) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решаяэто уравнение, получим, что амплитуда спиновой волны в представлении Лапласа развиваетсясогласно:Z η002 0000dη 0 +b̂s (η) =−Ls Ω0 f (η )â(η , 0)exp −MsΩ0 f (η )dη0−z/cηZ η+b̂s (−z/c)exp −MsΩ0 f 2 (η 0 )dη 0 .Zη(2.68)−z/cСоответственно, принимая во внимание (2.63), получим, что амплитуда сигнального импульсав представлении Лапласа развивается в виде:(γ/2 − i∆)â(η, 0)−âs (η) =s(γ/2 − i∆) + g 2 N√Z η Z ηg N Ω0 f (η)002 0000−−Ls Ω0 f (η )â(η , 0)exp −MsΩ0 f (η )dηdη 0 −s(γ/2 − i∆) + g 2 N −z/c0η√Z ηg N Ω0 f (η)b̂s (−z/c)exp −MsΩ0 f 2 (η 0 )dη 0 .(2.69)−s(γ/2 − i∆) + g 2 N−z/cОбратное преобразование Лапласа.Выполним обратное преобразование Лапласа полученных общих решений (2.68) и (2.69).

Характеристики

Список файлов диссертации