Диссертация (1150447), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Получим, что развитие амплитуды спиновой волны описывается выражением:s ZZηZηâ(η 0 , 0)f (η 0 )exp −iBξ − iAb̂(η, ξ) = −iCf (η 00 )dη 00 I0 2iCη0−z/cZ ηz00+b̂(− , ξ) ∗ exp −iBξ − iAf (η )dηc−z/css Z!!Z ηη2|C|×f (η 0 )dη 0 I1 2iC ξf (η 0 )dη 0 + δ (ξ) ,ξ −z/c−z/c58ηξ!f (η 00 )dη 00 dη 0η0(2.70)а развитие амплитуды сигнального импульса:Zηâ(η, ξ) = â(η, 0)exp (−iBξ) δ(ξ) +Zexp −iBξ − iAη00f (η )dη00(−C 2 )f (η)η0−z/cs Z!!ηξRη× f (η 0 )â(η 0 , 0)f (η 00 )dη 00dη 0I1 2iC ξ0|C|2 η0 f (η 00 )dη 00ηs ZZ η−iC b̂(−z/c, ξ) ∗ f (η)exp −iBξ − iAf (η 0 )dη 0 I0 2iC ξs−z/c(2.71)!ηf (η 0 )dη 0.−z/cЗдесь ∗ – математический символ, описывающий операцию свертки функций по переменной ξ,а функции I0 и I1 – модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков, соответственно.Обратная замена переменных.Выполним обратную замену переменных, но перед этим сделаем важное замечание.
Далее вработе для анализа физических процессов атомно-полевого взаимодействия нам понадобятсяне общие решения системы (2.53) – (2.54), а только два частных решения, соответствующиепространственной эволюции оператора спиновой когерентности в процессе записи и временнойэволюции амплитуды сигнального поля в процессе считывания.Напомним оговоренные ранее начальные и граничные условия этих процессов. Для стадии записи формулируется вакуумное начальное условие для оператора спиновой когерентности b̂(−z/c, ξ) = b̂(0, z) (поскольку все атомы находятся в состоянии |1i).
При этом граничноеусловие для данного этапа задается входным сигналом â(t, 0) = âin (t). Для этапа считыванияформулируется вакуумное граничное условие: в течении всего времени считывания сигнальная мода â(t, 0) на передней границе ячейки находится в вакуумном состоянии, В то же времянетривиальное начальное условие формулируется для распределения спиновой когерентности:оно соответствовует распределению спиновой когерентности, полученному к концу временизаписи.
При этом заметим, что поскольку в дальнейшем нас будут интересовать только нормально упорядоченные средние от операторов, то все подсистемы, находящиеся в вакуумныхсостояних, не повлияют на ответ, покольку их вклады окажутся равными нулю.Таким образом, при усреднении выражения (2.70) по начальному состоянию этапа записи и(2.71) по начальному состоянию этапа считывания, второе слагаемое выражения (2.70) и первые59два слагаемых выражения (2.71) будут давать только вакуумный вклад, и их явный вид насинтересовать не будет.
Тогда с учетом оговоренных начальных и граничных условий развитиеамплитуды спиновой волны в переменных (t, z) на этапе записи описывается выражением:ZtZtb̂(t − z/c, z) = −iC â(t0 − z/c, 0)f (t0 − z/c)exp −iBz − iA f 2 (t00 − z/c)dt00 t00vu Ztuu×I0 2iC tz f 2 (t00 − z/c)dt00 dt0 + vac,(2.72)t0а развитие амплитуды сигнального поля на этапе считывания:ZtZzâ(t, z) = −iC b̂(0, z 0 )f (t − z/c)exp −iB(z − z 0 ) − iA f 2 (t0 , z)dt0 00vuZtuu×I0 2iC t(z − z 0 ) f 2 (t0 , z)dt0 dz 0 + vac,(2.73)0где под vac здесь и далее подразумеваются вклады от вакуумных каналов.Обратим внимание, что в общем случае возможны два варианта считывания – прямое (когда считывающее управляющее поле сонаправлено с полями при записи), которое в нашемслучае описывается формулой (2.73), и обратное (когда управляющее поле при записи и присчитывании противонаправлены), которое описывается выражением:ZzZtâ(t, z) = −iC b̂(0, z 0 )f (t − z/c)exp −iB(z 0 ) − iA f 2 (t0 , z)dt0 00vutZuu×I0 2iC t(z 0 ) f 2 (t0 , z)dt0 dz 0 + vac.(2.74)0Далее будем интересоваться только считыванием назад как наиболее эффективным [6].2.3.3Анализ и упрощение полученных решений в рамановском пределе при выборе формы сигнального и управляющего полей ввиде трейнов прямоугольных импульсовНе сужая общности, мы можем говорить о сохранении квантовых корреляций в стохастическомизлучении с прямоугольным профилем.
В данной главе в качестве профиля управляющего полякак на этапе записи, так и на этапе считывания мы будем рассматривать простейший случай60совокупности N коротких одинаковых прямоугольных импульсов длительности T0 , количествокоторых совпадает с количеством импульсов в сигнальном поле:Ω(t, z) = Ω0 f (t − z/c),f (t) =NXΘ(t − tn ),tn = (n − 1)T,(2.75)n=1Θ(t) = H(t) · H(T0 − t).Здесь N - это полное число управляющих импульсов, T0 - длительность каждого из этих импульсов, и T0 L/c.
Период трэйна T T0 , L. Каждый n-ый импульс начинается в моментвремени tn = (n − 1)T (n = 1, 2, · · · , N ).Таким образом, при одновременном включении полей каждому импульсу управляющегополя будет соответствовать собственный импульс сигнального поля. Для удобства мы выбираемвысоту одиночного импульса единичной так, что Ω2 (t, z) = Ω20 f (t − z/c).Рассмотрим отдельно процесс записи квантового состояния света на атомный ансамбль.Выражение (2.72) для спиновой когерентности, с учетом (2.75) примет вид:−iBzt−z/cZ p0dt0 f (t0 ) âin (t0 ) e−iAQ(t−z/c,t ) J0 2C Q(t − z/c, t0 )z + vac,b̂(t, z) = −iCe(2.76)0гдеZη0Q(η, η ) =dη 00 f (η 00 ).(2.77)η0Здесь J0 – функция Бесселя нулевого порядка.Для анализа сформировавшейся в процессе записи когерентности, нас будет интересоватьтолько то решение, которое возникает после прохождения всего комба через среду.
Записьисходного комба в каждой точке среды происходит за время TW = tN + T0 . Обозначив b̂(z, t =tN + T0 ) = b̂W (z) и учитывая явное выражение функции f (t), получим спиновую когерентностьк моменту окончания времени записи:W−iBzb̂ (z) = −iCeZ+T0N tn pX−iA(Dn +tn −t)dt âin (t) eJ0 2C (Dn + tn − t)z + vac,(2.78)n=1 tnгде Dn = (N − n + 1)T0 .Покажем, что в выражении (2.78) для спиновой когерентности мы имеем право положить впоказателях экспонент B = 0. Для этого вспомним, что исходно задача была сформулирована в61быстрых переменных. Вернемся к ним в полученном решении посредством следующей замены:b̂W (z) → b̂W (z)ei(kd −ks )z .(2.79)При этом формула (2.78) перепишется в виде:[b̂W (z) ei(kd −ks )z ] =i(kd −B)z= −iCe(2.80)NXtnZ+T0dt [âin (t)e−iks z]e−iA(Dn +tn −t)J0p2C (Dn + tn − t)z + vac.n=1 tnКак видим, здесь величина B – это поправка к волновому числу управляющего поля kd .
Нетрудно убедиться, что при обсуждаемых параметрах задачи эта поправка мала и ею можно пренебречь. Действительно, полагая в качестве оценочных значений ∆ ' 107 γ, d ≤ 100, L/λ ' 1000,получим:kd ∆∆ 1 L1kd= 2== 1071000 1.Bg Natγ d λ100(2.81)Таким образом, коэффициент B имеет физический смысл пренебрежимо малой поправки кволновому числу kd в выражении для быстрой амплитуды спиновой когерентности и можноположить B = 0.
ТогдаT0Wb̂ (z) = −iCN ZX−iA(Dn +tn −t)dt âin (t + tn ) eJ0p2C (Dn − t)z + vac.(2.82)n=1 0Отметим, что мы считаем процесс хранения идеальным и спиновая когерентность на этапехранения остается неизменной [168].Обратимся теперь к процессу считывания. В этой главе мы будем полагать, что временной профиль f (t) управляющего поля на этапе считывания полностью совпадает с профилемуправляющего поля на этапе записи. Выражение для амплитуды сигнального поля на выходеячейки в случае обратного считывания с учетом (2.75) примет вид:âR (t) = −iCf (t − L/c)ZL p00−iBz 0 −iAQ(t−L/c,−L)0× dz b̂(z , t = 0) eeJ0 2C Q(t − L/c, −L)z + vac.(2.83)0Опираясь на те же основания, что приведены выше, можно вновь положить B = 0 и, используяявное выражение функции f (t), получить, что в процессе считывания амплитуда сигнального62импульса развивается как:ZLRâ (t) = −iC0 Wdz b̂ (z )×J0NXΘ(t − tn ) e−iA((n−1)T0 +t−tn )n=100p02C ((n − 1)T0 + t − tn )z + vac.(2.84)Сравним полученные решения с найденными в работе [6].
Хотя задачи формулируются схожимобразом, их важным отличием является то, что в [6] длительность сохраняемого импульсазаведомо выбирается много короче длины среды во временном представлении L/c, в то времякак в нашем случае, несмотря на то, что каждый отдельный импульс трэйна также многокороче среды, тем не менее трэйн взятый целиком значительно превосходит длину среды L/c.Это отличие находит отражение при анализе результатов в таких характеристиках памятикак эффективность и сохранение корреляторов второго порядка, о чем будет сказано ниже, вразделе 2.6.Для удобства все дальнейшие формулы и выражения будут приведены в безразмерных переменных z и t, так что пространственная переменная выражена в единицах оптической толщины атомного ансамбля, отмасштабированной на γ/∆ , а временная – в единицах частотыРаби управляющего поля, отмасштабированной на Ω0 /∆:Ω20t→t,∆2.4g 2 (Nat /L)z→z.∆(2.85)Интегральные уравнения и моды ШмидтаВ выражениях (2.82) и (2.84) выделим интегральные ядра, описывающие процесс памяти:b̂W (z) = −iZTWdt Gab (TW − t, z)âin (t) + vac.
,(2.86)0âR (t) = −iZLdz Gba (t, z)b̂W (z) + vac.(2.87)0гдеGab (t, z) =Gba (t, z) =NXn=1NXpΘ(t − tn )e−i(Dn +tn −t) J0 (2 z((N − n + 1)T0 + tn − t))),(2.88)pΘ(t − tn )e−i((n−1)T0 +t−tn ) J0 (2 z((n − 1)T0 + t − tn )).(2.89)n=1Поскольку в дальнейшем мы будем интересоваться средними от нормально упорядоченныхвеличин, мы можем опустить вклады vac в рассматриваемых выражениях.63Ядра интегральных преобразований Gab (t, z) и Gba (t, z) связаны между собой следующимсоотношением (см. Приложение C):Gab (t, z) = Gba (TW − t, z),(2.90)Удобно ввести ядро K(t, t0 ), которое выражает связь исходного сигнала с восстановленнымпосле полного цикла записи-хранения-считывания:0ZLK(t, t ) =Gba (t, z)Gba (t0 , z)dz.(2.91)0Тогда входное и выходное сигнальные поля будут связаны друг с другом как:RZTWâ (t) = −dt0 K(t, t0 )âin (TW − t0 ).(2.92)0Для того, чтобы использовать технику мод Шмидта, достаточно, чтобы ядро интегральногопреобразования полного цикла было эрмитово.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
