Диссертация (1150447), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

1.6, где указанная матрица V (матрица связности) определяет топологиюграфа, а множество E соотвествует множеству связей между узлами графа. Для того, что-Рисунок 1.6: Пример ненаправленного графа G = (V, E), состоящего из шести узлов, и соотвествующая ему матрица связности V. E определено как множество векторов{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}.бы реализовать такой граф физически необходимо использовать несколько (в нашем случаешесть) статистически независимых квантовых объектов. Эти объекты перепутываются междусобой по принципу, определяемому графом (линии графа означают наличие перепутывания).Результатом такой операции будет многомодовая несепарабельная квантовая система. Такимобразом, под кластерным состоянием подразумевают состояние физической системы, котораяможет содержать элементы различной природы (световые импульсы, отдельные атомы илифотоны и т.д.), связанные друг с другом некой сетевой топологией или графом, вершинамикоторого служат сами элементы, а ребрами выступает квантовая запутанность между ними.Первые работы по квантовым вычислениям на кластерных состояниях были выполненыв дискретных переменных (кубитах) [2, 131], позже были также предложены протоколы длянепрерывных переменных (q-мод).Обсудим сперва как «создать» кластерное состояние математически.

Дискретные кластерные состояния определяются с помощью ненаправленного графа G = (V, E), и строятся следу√ющим образом: каждой вершине графа сопоставляется кубит в состоянии |+i = (|0i + |1i)/ 2,после чего ко всем парам кубитов {i, j} ∈ E применяется операция Dij = |0iih0|⊗ Iˆj +|1iih1|⊗ Ẑj(операция C-PHASE или, иначе, C-SIGN), где Iˆj и Ẑj – операторы Паули для j-ого узла, σ̂0(единичный оператор) и σ̂z , соответственно. В результате получается кластерное состояние (со38ответствующее графу G) с волновой функцией:Y|Gi =Dij |+i⊗ni ,(1.12)(i,j)∈EНепосредственная реализация данного математического аппарата на реальных физических системах оказалась довольно сложной в случае большого числа кубитов. Поэтому вскоре перешлик определению кластерного состояния через набор операторов, получивших название «стабилизаторы» (stabilizer) [132].

Стабилизатором состояния |φi по определению является операторK̂, если имеет место равенство K̂|φi = |φi. Если одно состояние имеет несколько стабилизаторов, то все они образуют Абелеву группу по умножению. И наоборот, если существует такаягруппа, то она определяет единственное состояние, т.е. набор стабилизаторов полностью определит кластерное состояние. Для кластерного состояния из n кубитов эта группа известна истабилизаторы в ней имеют вид [2]:K̂i = X̂iYẐj ,i = 1, ..., n.(1.13)j∈NiЗдесь K̂i – стабилизатор для i-ого узла кластера, Ni – множество номеров соседей i-ого кубита,а операторы X̂i и Ẑi – операторы Паули σ̂x и σ̂z для i-ого кубита.Кластерные состояния для непрерывных переменных определяются похожим образом.

В1999 г. С. Ллойд и С. Браунштайн первые предложили использовать непрерывные переменные для квантовых вычислений [133]. В своей работе они доказали, что существует конечныйнабор преобразований над этими системами, который может аппроксимировать любую унитарную операцию над квантовыми состояниями, что и привело к созданию кластерного состоянияна непрерывных переменных [134]. Для работы были взяты канонические переменные p̂ и q̂,удовлетворяющие стандартному коммутационному соотношению. Аналогом состояния |+i выступило состояние |0iP , которое является вакуумным состоянием, сжатым по P̂ –квадратуре(P̂ |0iP = 0).

При этом граф G в общем случае будет уже взвешенным, то есть каждому его ребру, соединяющему вершины i и j, сопоставлен определенный вес vij . Для создания кластерногосостояния к каждой паре узлов (i, j) в этом случае применяется операция Cij = eivij q̂i ⊗q̂j , аналогоперации C-PHASE. Волновой функцией сгенерированного кластерного состояния является:|Gi =YCij |0iP ⊗ni .(i,j)∈E39(1.14)Тогда, задавая стабилизатор i-ого сжатого вакуумного состояния |0iP для любого s ∈ R какX̂i (s) = e−2isi p̂i , а оператор Ẑi (s) = e2isi x̂i , получим набор стабилизаторов, определяющих полученное состояние:K̂i (s) = X̂i (s)YẐj (s),i = 1, ..., n.(1.15)j∈NiНаряду с набором стабилизаторов для определения кластерного состояния используют набор операторов, называемых нуллифайерами (nullifier – «обнулитель») [135].

Оператор N̂i является нуллифайером кластерного состояния |Gi если для всех пар канонических переменных(p̂i , q̂i ), относящихся к каждому из узлов кластера, выполняется равенство:!nXp̂i −vij q̂j |Gi = N̂i |Gi = 0,i = 1, ..., n,(1.16)j=1где n – число узлов кластера. Стоит заметить, что знак равенства соответствует случаю идеального сжатия начальных вакуумных состояний |0iP , которое недостижимо в реальном эксперименте. Поэтому в определении более корректно заменить в (1.16) равенство нулю на предел –стремление к нулю при стремящемся к бесконечности сжатии начальных состояний. С помощьюнабора нуллифайеров (как, и набора стабилизаторов) можно полностью определить кластерноесостояние в непрерывных переменных.

Равенство (1.16) используют как проверочное условиетого, что состояние является кластерным: если удается указать n линейно независимых операторов, удовлетворяющих условию (1.16), то можно утверждать, что исследуемое состояниеявляется n-модовым кластерным состоянием. В дальнейшем мы будем использовать именноэто определение кластерного состояния.На сегодняшний день предложены способы генерации кластерных состояний как для дискретных, так и непрерывных переменных в различных физических системах, многие уже реализованы экспериментально.

В качестве физических систем, подходящих для генерации кластерных состояний, рассматривают спиновые волны внутри ансамбля атомов [136,137], оптомеханические системы [138]. Созданы кластерные состояния на последовательностях отдельных фотонов с помощью квантовых точек [10] и кластерные состояния на последовательностях световыхимпульсов, полученных от оптического параметрического генератора [11].

Последние в нашемслучае представляют особенный интерес, поскольку они относительно просты в управлении и,кроме того, только для таких систем построены логические вентили. Более того, если изначально (до процедуры генерации) в квантовых системах уже присутствовало сжатие (например, все40импульсы были сжаты по одной из квадратур), то для создания кластерного состояния будет достаточно использовать только элементы линейной оптики (светоделительные пластинки,зеркала, фазовращатели) [12, 13, 135].

Заметим, что существует две схемы получения световыхкластерных состояний. Первая основывается на смешении оптического частотного комба напластинке λ/4 и превращении его в кластерное состояние. Этот подход был экспериментальнореализован в работах [15, 139]. Другая схема основывается на использовании временных световых мод и действия QND операции, которая преобразует независимые временные импульсы вкластерное состояние [16].Предложены способы создания «гибридных» кластерных состояний на основе материальных и полевых кубитов [136]. Ясно, что квантовая запутанность является «фундаментом» дляреализации кластерных состояний. И поскольку экспериментально очень сложно создаватьустойчивые многочастичные квантово-запутанные системы большого размера, нужно тщательно подходить к выбору элементов, из которых они состоят, и использовать оптимальные сетевыетопологии под конкретные логические операции.1.3.3Однонаправленные вычисленияОднонаправленные вычисления производятся следующим образом: сначала генерируется необходимое кластерное состояние, топология которого продумывается в соответствии с решаемойзадачей, а затем над узлами кластера производят последовательность локальных измерений– в строгом соответствии с алгоритмом квантовых вычислений.

Таким образом, в процессевычислений происходит необратимая эволюция физической системы за счет проведения однокубитных/одномодовых измерений. Основные концепции таких вычислений хорошо описаны вработах Х. Брегеля и Р. Россендорфа [140,141]. Именно выбор последовательности измерений иопределяет квантовый алгоритм.

Вычислительный процесс здесь можно представить как процесс распространения информации в системе по каналам ( см. Рис. 1.7) [2]. Cкорость и объемвыполняемых операций зависят от размерности и графа кластерного состояния, а также природы элементов (кубитов), на которых оно создано.

Так, над полевыми кластерными состояниямипроще проводить измерения и логические операции, а материальные (например, созданные наспиновых волнах атомного ансамбля) менее подвержены декогеренции. Кроме того, каждаяфизическая система обладает своими степенями свободы. Поэтому активно исследуют разныефизические системы с точки зрения квантовых вычислений (разных логических операций) по41Рисунок 1.7: Схема однонаправленных квантовых вычисление на двумерном кластере.отдельности, чтобы затем объединить их достоинства в одной системе, состоящей из элементовразной природы.Для использования кластерной модели вычислений необходимо иметь возможность производить с ее помощью любые унитарные преобразования над кубитами, т.е. доказать ее универсальность.

Характеристики

Список файлов диссертации