Диссертация (1150447), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Процесс считывания сигнального поля предполагает следующие начальное и граничное условия: квантовая мода сигнального поля находитсяв вакуумном состоянии, а распределение спиновой когерентности совпадает с распределением спиновой когерентности, полученным к концу времени записи (см. (3.2)). В таком случаевыражение для амплитуды сигнального поля на выходе имеет вид:ZLâout (t) = fR (t) pdz B̂(z) J0 2 qR (t)z + vac.(3.3)0Функция qR (t) отвечает временному профилю управляющего поля при записи fR (t) и определена аналогично (3.2).
Для простоты будем считать, что время считывания TR совпадает современем записи TW .Необходимо еще раз отметить, что точные решения (2.53)–(2.54) порождают вращение фазыполевых осцилляторов, которое, однако, как было показано в предыдущей главе, не трудно86компенсировать экспериментально с помощью дополнительных фазовращающих устройств дои после ячейки памяти. Поэтому в выражениях (3.1) и (3.3) экспоненты, связанные с этимифазовыми набегами, отсутствуют.Отметим, что как процесс записи, так и процесс считывания зависят от структуры полей,определяемых импульсным характером сигнального и управляющего трейнов, однако в разделе 3.3 мы покажем, что для описания этих процессов можно перейти к огибающим этихимпульсных полей, поскольку квантовые корреляции сигнала, интересующие нас в данном исследовании, проявляются на временах порядка T .3.3Переход от импульсной картины к огибающимКак было показано в предыдущей главе, характерные особенности излучения SPOPO хорошоописываются с помощью гладких функций Эрмита-Гаусса (2.108).
При этом мы не рассматриваем корреляции внутри каждого отдельного импульса излучения (как было показано в [8, 9]они малы по сравнению с корреляциями между импульсами). Тогда возможно упростить решения уравнений Гейзенберга-Ланжевена (3.1) и (3.3) и рассматривать вместо сложной временнойимпульсной структуры сигнального и управляющего полей только их огибающие.Перед тем, как мы опишем математическую процедуру перехода к огибающим, необходимо еще раз сказать, что в дальнейшем нас будут интересовать только квантово-механическиесредние от нормально упорядоченных операторов, поэтому вклад от вакуумных каналов в выражениях (3.1) и (3.3) можно не учитывать.
Кроме того, сигнальное и управляющее поля согласованы во времени и на каждый импульс сигнального поля приходится импульс управляющего,поэтому при одновременном переходе к их огибающим мы должны аккуратно проследить, чтобы коммутационные и нормировочные соотношения для полей сохранялись. Напомним, что длясигнального поля с импульсной временной структурой мы будем использовать прописную букву(â(t)), а для непрерывного поля с такой же квантовой статистикой и профилем, совпадающимс огибающей импульсного поля, мы используем заглавную букву (Â(t)).На примере управляющего поля (2.19) мы опишем переход от временного профиля f (t)с импульсной структурой к его огибающей F (t).
В случае сигнального поля эта процедураоказывается аналогичной. В первую очередь позаботимся о том, чтобы выполнялось условиенормировки (3.2). Для этого рассмотрим рис.3.1, на котором с помощью сплошной синей линии87Рисунок 3.1: Графическое представление перехода от импульсной структуры полей к их огибающим.представлен квадрат функции f (t) для одного импульса. Мы будем считать, что количествоимпульсов под огибающей велико, т.е.
N 1, и поэтому мы аппроксимируем f 2 (t) под каждымотдельным импульсом с помощью прямой. Таким образом, для выполнения условия нормировки высоту трапеции после перехода (красная сплошная кривая) нужно увеличить в T /T0 раз и,соответственно, во столько же раз должно уменьшиться каждое из её оснований.
Отсюда слеpдует, что функцию огибающей F (t) нужно домножить на нормировочный множитель T0 /T .Важно отметить, что в силу характера решений (3.1) и (3.3), большее основание трапеции одного импульса будет совпадать с меньшим основанием трапеции для следующего импульса.Продолжив указанную процедуру для остальных импульсов, мы получим ломанную, которуюможем легко аппроксимировать гладкой кривой. Именно эта кривая и будет искомой нормированной огибающей управляющего поля.Внесем нормировочный множитель в определение функцийpT0 /T F (t) → F (t),pT0 /T Âin (t) → Âin (t),pT0 /T Âout (t) → Âout (t),(3.4)и перепишем полученные ранее решения (3.1) и (3.3) уже для огибающихZTWB̂(z) =dt Âin (t) Gab (t, z) + vac, pGab (t, z) = FW (t)J0 2 QW (t)z ,(3.5) pGba (t, z) = FR (t)J0 2 QR (t)z .(3.6)0ZLÂout (t) =dz B̂(z) Gba (t, z) + vac,0В этих выражениях функции QW (t) и QR (t) введены по аналогии с (3.2), но уже с помощьюpFW (t) и FR (t) соответственно.
Заметим, что, благодаря учету масштабного множителя T0 /T ,условие нормировки для них будет таким же. Заметим, что поскольку эти функции являются88первообразными функций F 2 (t) и f 2 (t), то на временах, кратных T , их значения будут практически сопадать друг с другом. Таким образом можно утверждать, что функция QW,R (t) малоотличается от qW,R (t) при условии большого количества импульсов,.Полученные интегральные преобразования (3.5) и (3.6) записаны для гладких непрерывныхфункций. Их дальнейший анализ мы проведем в разделе 3.5.2, в котором рассмотрим свойствавведенных ядер интегральных преобразований для этапа записи Gab (t, z) и считывания Gba (t, z).3.4Выбор управляющего поля для эффективной записиодной супермодыЕсли запись и считывание проводятся с помощью одного и того же управляющего поля FW (t) =FR (t) ≡ F (t), удобно ввести ядро полного интегрального преобразования для всего цикла памяти G(t, t0 ), которое связывает сигнальное поле на входе в ячейку Âin (t0 ) с восстановленнымполем на ее выходе Âout (t):ZTW000dt Âin (t ) G(t, t ) + vac,Âout (t) =00ZLG(t, t ) =dz Gab (t0 , z)Gba (t, z).(3.7)0Поскольку ядра «полуциклов» при этом равны друг другу, то ядро G(t, t0 ) симметрично относительно перестановки аргументов, и для него справедливо разложение в ряд по модам Шмидта [3, 50]:G(t, t0 ) =∞ pXλk ϕk (t)ϕk (t0 ),(3.8)k=1где ϕk (t) – k−ая мода Шмидта, а√λk – отвечающее ей собственное число.Поскольку вид ядра G(t, t0 ) зависит от формы управляющего поля F (t) и времени взаимодействия полей и среды TW , то, варьируя эти параметры, мы можем менять модовый составпамяти.
Обычно, параметры работы памяти выбирают таким образом, чтобы она была способнасохранить как можно больше сигнальных мод, то есть как можно больше собственных значенийв разложении (3.8) были близки к единице(а лучше равны ей), а остальные мало отличалисьбы от нуля [3, 50, 180]. Такой многомодовый режим работы наиболее интересен с точки зренияинформационной емкости ячейки.
Однако здесь мы стремимся реализовать «конвертор» дляпрофиля моды сигнального поля, поэтому многомодовый режим работы нас не устраивает. Мыбудем выбирать профиль F (t) таким образом, чтобы только одна супермода эффективно записывалась на ячейку памяти, а остальные не взаимодействовали бы с ней. Математически это89сводится к тому, что ряд (3.8) представляется только одним слагаемым (λ1 = 1), а остальныечлены ряда обнуляются благодаря равенству нулю соответствующих собственных значений.Притом профиль собственной моды ячейки ϕ1 (t) должен совпасть с профилем записываемойсупермоды Li (t):G(t, t0 ) = ϕ1 (t)ϕ1 (t0 ) = Li (t)Li (t0 ),(3.9)Отметим сразу, что данное представление возможно не всегда.
В точном смысле оно выполняется лишь тогда, когда безразмерную длину ячейки L можно считать бесконечно большойпо сравнению со временем взаимодействия TW (выраженным в безразмерных единицах (2.85)).Однако, как мы покажем далее, даже при выборе L ≈ TW точность, с которой удается записатьи затем восстановить одну выбранную моду поля, весьма высока.Для поиска соответствующего управляющего поля мы используем следующую итерационную процедуру. Перепишем равенство (3.9), подставив в него в явном виде ядро (3.7), и положивt = t0 :L2i (t) = Fi2 (t)ZL s2Z tdz J0 2 zdt1 Fi2 (t1 ) .0(3.10)0Здесь индекс i указывает на номер супермоды, для записи/считывания которой мы подбираемуправляющее поле.
Тогда мы можем определить профиль управляющего поля на j-ом шаге(j)итерации Fi (t)(j)ZFi (t) = Li (t) L2 −1/2 sZ t(j−1).dz J0 2 z(t1 ))2 dt1 (Fi0(3.11)0(0)В качестве нулевой итерации мы выбрали Fi (t) = Li (t). Такая итерационная процедура быстросходится, и уже на девятом шаге дает отличие между получаемой и искомой формой ядраG(t, t0 ) порядка единиц процентов.Отметим, что расчет существенно упрощается, если представить функцию Бесселя в видеразложения∞X(−1)mJ0 (x) =(x/2)2m .2(m!)m=0(3.12)Подставляя разложение (3.12) в (3.11), можем взять интеграл по z в явном виде, тогда получимm+n !−1/2Z t∞ X∞m+nm+n+1Xp(−1)(LTW )1(j)(j−1)Fi (t) = TW Li (t)dt1 (Fi(t1 ))2. (3.13)2(m!n!) m + n + 1TW 0n=0 m=090Заменяя индексы суммирования в выражении (3.13), одно из суммирований можно произвестиявно:k4k k − 12 ! (LTW )k+1(LTW )k+1 X1≡ Ck .= √k + 1 m=0 ((k − m)!m!)2k+1π(k!)3(3.14)Тогда выражение (3.13) перепишется в виде:(j)Fi (t)!−1/2∞Xp= TW Li (t)(−1)k Ck Ak (t),(3.15)k=0гдеAk (t) =1TWtZ(j−1)dt1 (Fi(t1 ))2k.(3.16)0Рассчитывая значения коэффициентов Ck при выбранных параметрах TW и L, нетрудно проверить, сколько членов знакопеременного ряда (3.15) необходимо сохранить в численном расчете.Мы привели здесь итерационную процедуру для поиска управляющего поля, обеспечивающего запись и считывание одной выбранной супермоды сигнального поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
