Диссертация (1150443), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Приложение 3.3). Решение уравнений (3.48) и (3.49) также приведено в Приложении 3.3.Учитывая, что нам с точки зрения влияния упругих столкновений интересны большие значения параметра , мы отдельно рассмотрим именно эту−ситуацию. Тогда выполняется 0 ( ) ≈ , а 0 (→ ) определяется соотношениями [89]:√︀−2̃︀0 (→ ) = exp[−2 +− ( )] (− − ( ) ){1+(︂)︂0} при ≥ 0;√︀−2̃︀0 (→ ) = exp[−2 ++ ( )] (− + ( ) ){1+(︂)︂0} при ≤ 0,(3.50)83где =2- постоянныймножитель; - средняя скоростьионов;]︁[︁]︁[︁− ( ) = 1 − 0 1 + ( ( )) > 0; + ( ) = 1 + 0 1 + ( ( )) ; () =1 − ().Кроме того, в приближении сильного поля упрощается выражение для→−−функции ( ′ → → ) [99]:→−− ( ′ → → ) =)︂(︂1 0 − ′ , ′2(3.51)где косинус угла рассеяния:→−−√︀√︀(→ , ′ )20 (,,) == + 1 − 1 − 2 cos(),(3.52) ,′→−− - разность азимутальных углов векторов → , ′ ; , - косинусы полярных→−−углов скоростей → , ′ , соответственно.Тогда можно получить решения уравнений (3.48) и (3.49) в более простомвиде (см.
Приложение 3.3).В заключение этой части работы получим формулы для расчета коэффициента диффузии ионов в плоскости, ортогональной вектору электрическогополя в плазме . Эта величина во многом определяется именно упругимистолкновениями ионов с атомами и в настоящее время по ней имеются обширные массивы экспериментальных данных, в том числе, и в инертных газах [113],[114],[115]. В условиях, когда частота столкновений иона не зависитот его скорости или ФРИ является максвелловской, выполняется соотношениеЭйнштейна: = , где - температура ионов в плоскости , - подвижность ионов.
В общем случае имеет место неравенство: ≤ [22],[20].Для нахождения коэффициента диффузии применим метод, описанный, например, в [18],[117]. Рассмотрим ситуацию, когда в стационарной плазмесуществует малый градиент концентрации ионов. Представим ФРИ в виде разложения:−− (→ ,→)=∞∑︁()=0)︂(︂−→−() − →(→ ),−(3.53)−−−где (0) (→ ) - скаляр, f() (→ ) при > 0 - вектора. При этом (0) (→ ) нормирована−на 1, а f(1) (→ ) имеет размерность32 .84Подставляя это разложение в уравнение Больцмана, получаем уравнения−−для первых двух коэффициентов (0) (→ ) и f(1) (→ ) [117]:)︂ −+ ̂︀ (0) (→ ) = 0; (︂)︂ −−−−+ ̂︀ f(1) (→ ) = (→ −→ ) (0) (→ ), −где ̂︀ - оператор интеграла столкновений и ̂︀ f() (→ ) = .Коэффициент диффузии выражается соотношением [18]:(︂∫︁ =−− f (→ )→ =(1)∫︁−− f(1) (→ )→.(3.54)(3.55)В качестве решения первого из уравнений (3.22) можно взять функцию− (→ ).
Решение второго уравнения (3.54) для наиболее интересного случаясильного поля приведено в Приложении 3.4. Если пренебречь упругим рассеянием ионов на атомах, то в предельном случае сильного поля (при 0 → 0) изформул (3.54), (3.55), (П3.4.4) получается соотношение:√︂ = 2 0{1 + (0 )} ≈ √︂2,(3.56)что совпадает с результатом, приведенным в [117] для случая резонансной перезарядки иона на собственном атоме.Таким образом, мы получили решение уравнения для ФРИ в собственномгазе с учетом упругого рассеяния ионов на атомах, а также соотношения длярасчета величин, характеризующих движение иона в собственном газе, с учетомупругих столкновений.3.4.2Обсуждение результатов по учету упругих столкновений исравнение с данными других авторовОтметим, что полученные формулы для ФРИ при ( ) → 0 тождественно совпадают с соответствующими выражениями п.
3.2.1, 3.3.1, где при расчетахучитывался только процесс резонансной перезарядки. Расчеты по полученным85формулам мы проводили для случаев + в и + в , поскольку именно для этих ионов нам удалось найти надежные данные по сечениям упругогорассеяния ионов на собственных атомах [13],[112],[118]. Данные по сечениям резонансной перезарядки + в брались из работ [13],[93],[92], + в - изработ [93],[92]. Отметим, что сечения, взятые из последних двух работ, отличаются незначительно, как для + в , так и для + в , в то время, какприведенное в работе [13] сечение резонансной перезарядки для + в заметно ниже.
Это приводит к существенному различию зависимости отношениясечения упругого рассеяния иона на атоме к сечению резонансной перезарядкиот относительной энергии иона и атома для + в , рассчитанных с использованием данных [93],[92] и [13], особенно в области низких энергий (см. рис.3.22). Как будет видно из дальнейшего, значения ФРИ по энергии, вычисленныес использованием этих сечений, заметно различаются.Для проверки полученных формул мы сравнили рассчитанные нами характеристики движения ионов в плазме: дрейфовую скорость; среднюю энергию; отношение коэффициента диффузии в плоскости, ортогональной вектору электрического поля к подвижности ионов с экспериментальными данными и результатами численного моделирования.
Так, на рис. 3.23 и 3.24 приведено такое сравнение для дрейфовой скорости + в и для + в ,соответственно, в широком диапазоне значений параметра / с данными[48],[102],[103],[119] и [48],[102],[103],[110],[119], соответственно. Видно, что экспериментальные и расчетные значения дрейфовой скорости хорошо согласуются. На рис. 3.25 и 3.26 проведено сравнение рассчитанной нами зависимостисредней энергии ионов от параметра / для + в и для + в , соответственно с результатами численного моделирования методом Монте - Карло[13],[110].
Аналитические и численные расчеты удовлетворительно совпадают.Средняя энергия иона + , рассчитанная нами, несколько ниже (на 10 − 15%),чем полученная методом численного моделирования [13], хотя ход кривых совпадает. Аналогичные особенности различия средней энергии ионов + видныи на рис. 3.26, где наши расчеты по аналитическим формулам сравниваются счисленными данными [110]. Отличие от случая + в том, что, если для аргонапри численных и аналитических расчетах использовались одни и те же сечениярезонансной перезарядки и упругого рассеяния [13], то для гелия автор [110]брал сечения из собственных расчетов, а мы пользовались сечением резонанс86ной перезарядки из [92], а сечение упругого рассеяния брали из экспериментальной работы [118]. Это, возможно, и привело к различиям при расчетах среднейэнергии ионов + .На рис. 3.27 и 3.28 проведено сравнение величиныс экспериментальными данными [114],[115],[120], численными расчетами методом Монте-Карло[13],[110] и методом моментов [111] для случаев + в и для + в .
Какуже отмечалось, наибольший интерес представляет влияние упругих столкновений на ФРИ при больших полях и при расчетах мы пользовались формулой(П3.4.4), которая в рассматриваемых случаях + в и для + в спра> 200 − 300 . Из данных рис. 3.27 видно, что наши расчетыхорошо коррелируют с расчетами методом Монте - Карло [13] и экспериментальными данными [120]. В то же время, обе кривые в области больших значений параметра / лежат выше экспериментальных точек [114].
На нашвзгляд это может свидетельствовать о некоторой неадекватности использованного выражения для зависимости от энергии относительного движения сеченияупругого рассеяния иона + на атоме , взятого в обоих расчетах из работы[13]. Что касается данных, представленных на рис.
3.28, то, к сожалению, мы+не нашли расчетов методом Монте-Карло величины для в при> 300 . Однако видно, что численные и аналитические расчетызначениях дают заниженный результат по сравнению с экспериментом.Обратимся теперь к расчетам ФРИ. Они показывают, что ФРИ по энергиям при включении в рассмотрение упругих столкновений становится менеевысокоэнергетичной (см. рис.
3.29), хотя отличия обеих ФРИ невелики. Такимобразом, при одинаковой нормировке обеих функций (без учета упругих столкновений и с их учетом) в области малых энергий ФРИ становится выше, а вобласти больших - ниже. Указанные особенности верны при любом значениипараметра 0 , поскольку при отсутствии поля ФРИ является максвелловской стемпературой атомов, а наличие электрического поля лишь увеличивает среднюю энергию ионов, так, что она всегда превосходит температуру атомов.
Таким образом, поток энергии при упругих столкновениях иона с атомом направлен в сторону атомов, то есть атомы греются, а ионы - напротив, охлаждаются. Кроме того, можно отметить, что разница ФРИ, рассчитанных с учетомупругих столкновений и без них, растет с уменьшением энергии иона. Это, очевидно, связано с тем, что сечение упругих столкновений сравнительно быстроведлива при87падает при увеличении относительной энергии сталкивающихся частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
