Диссертация (1150443), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Гл. 2); величины дифференцирующего сигнала зондового = 100/2 ; давление - = 10−3 ,/ = 400 / ; температура атомов = 410 .метода 0.05; 0.1; 0.2 V; плотность тока параметрРисунок 3.7 —Зависимость от энергии ионов первых четырех коэффициентов Лежандрав разложении ФРИ по направлениям их движения для тех же условий разряда, что и нарис. 3.6. Ширина аппаратной функции△ = 0.05 .59Рисунок 3.8 —Рисунок 3.9 —То же, что и на рис.
3.7, но для коэффициентов Лежандра 4 - 6.Сравнение угловых зависимостей рассчитанной ФРИ (формула (3.9)),рассчитанной суммы первых семи членов разложения ФРИ по полиномам Лежандра и этойже суммы, найденной из измерений для энергии ионовфункции зондового метода△ = 0.05 .
= 0.05 ;ширина аппаратнойУсловия разряда те же, что и на рис. 3.6.60Рисунок 3.10 —То же, что и на рис. 3.9, но для△ = 0.2 .Рисунок 3.11 —То же, что и на рис. 3.9, но для△ = 0.5 .613.3ФРИ в случае произвольного поля с учетом толькорезонансной перезарядки3.3.1Получение основных соотношенийВ [89] была решена аналогичная задача для случая сильного поля, когдаскорость, которую ион приобретает на длине свободного пробега относительно процесса резонансной перезарядки , много больше, чем средняя тепловаяскорость атомов, то есть выполняется соотношение:√︂√︀ ≪,(3.22)где – величина напряженности электрического поля; - заряд иона; - сечение резонансной перезарядки; , – концентрация и температура нейтральных атомов.
Неравенство (3.22) можно записать в виде:√︃(︂ · )︂1(10−15 2 )≫ 1,(3.23)или в виде√где 0 =√︂0 =0≪ 1,(3.24)2 ; = 2; - масса иона. Кроме того, для того, чтобы вуравнении Больцмана при постоянной величине можно было не учитыватьчлены с пространственными градиентами, необходимо выполнение неравенства ≪ .(3.25) - минимальный характерный размер объема, где инициируется плазма.Отметим, что это не означает, что величины, входящие в уравнение Больцмана(например, плотность атомов газа и т.п.), не должны зависеть от координаты,ортогональной продольному полю в плазме.Рассмотрим плазму в длинной цилиндрической трубке радиуса , то есть ∼ и ≫ , где - длина трубки.
При этом введенный выше параметр620 может принимать произвольное значение. В работе [89] было показано, какследует учитывать амбиполярное поле при произвольном продольном поле икак на основании решения уравнения Больцмана с постоянным сечением резонансной перезарядки получить решение, учитывающее такую зависимость.Поэтому, вначале, рассмотрим задачу при отсутствии амбиполярного поля дляслучая постоянного сечения, а затем сформулируем правила перехода к случаюзависимости сечения от относительной скорости и наличия амбиполярного поля.
Кроме сделанных допущений положим также, что величина продольногополя (которое направлено вдоль оси ), не зависит от координаты и что атомы имеют равновесное распределение по скоростям. В этих условиях уравнениеБольцмана для ФРИ по скоростям , нормированной на концентрацию, имеетвид [6]:−→ −→−→−▽ ( ) = (→ ), ▽ ( ) +−где интеграл столкновений (→ ) записывается в виде:−− (→ ) = { (→ )∫︁→− →−− ( ′ ) ′ − (→ )∫︁(3.26)→− →− ( ′ ) ′ } ≡ 1 − 2 , (3.27)−−−а → - скорость ионов; → - скорость атомов; (→ ) - функции распределенияатомов по скоростям (нормирована на 1); - модуль относительной скоростииона и атома перед столкновением.При условии выполнения неравенства (3.22) относительная скорость иона−и атома перед столкновением близка к скорости иона → , модуль которой, всвою очередь, определяется - компонентой этой скорости .При произвольном соотношении величин средней тепловой скорости атомов и скорости иона перед столкновением модуль относительной скорости в общем случае уже зависит и от скорости иона, и от скорости атома.
Имея ввиду,что в рассматриваемых условиях атомы имеют максвелловское распределениепо скоростям, можно для второго члена 2 в правой части соотношения (3.27)получить следующее выражение [99]:−−2 (→ ) = (→ ) ( );63(︂)︂√︀1exp(−2 )√ ( ) = + ( ) +.(3.28)2∫︀ Здесь () = √2 0 exp(−2 ), а ( ) - относительная скорость ионаи атома, усредненная по функции распределения атомов. Отметим, что в пре√√дельных случаях → ∞; → 0 для модуля относительной скоростииона и атома из (3.6) имеем ( ) → и ( ) → √2 , соответственно. Первоеиз этих соотношений соответствует случаю сильного поля, когда скорость ионаперед столкновением много больше тепловой скорости атомов, второе - близкок обратному случаю слабого поля, когда относительная скорость атома и ионаопределяется средней тепловой скоростью атомов.Рассмотрим теперь первый член 1 в правой части соотношения (3.27).Сложность его вычисления состоит в том, что в него входит относительная скорость , усредненная по неизвестной ФРИ.
При этом сталкивающийся с иономатом имеет скорость . В Приложении 1 показано, что, при любой функции− (→ ) (с единственным максимумом и нулевым условием при → ∞), величина 1 с точностью 10% имеет вид:→−−1 ( ′ ) = 2 (→ )∫︁∞ √︁2′2+ ·0′2∫︁1−1 (′ ,)′ .(3.29)Очевидно, что когда выполняется неравенство (3.22), соотношение (3.8)при ≈ переходит в использованное в работе [89] выражение:−−− ) ≈ (→ ),1 (→ ) = (→(3.30)где - средняя скорость ионов.
Можно показать (см. Приложение 3.1), что с−точностью несколько процентов во всем диапазоне скоростей ионов для 1 (→ )справедливо соотношение:−−1 (→ ) = ( ) (→ ); ( ) =√︁2(3.31)2 + ,где 2 - квадрат средней скорости ионов, которая зависит от искомой функ22ции распределения. Отметим, что для справедливо: 0 →∞ = 4 . Далееудобно рассматривать ФРИ, нормированную на 1.64Учитывая вышесказанное, можно записать уравнение Больцмана (3.26)−для нормированной на единицу функции распределения ионов (→ ) в следующем виде:− )( ),+ 20 ( ) = (→где =(3.32)= ; = ; = ; - угол между скоростьюиона и вектором аксиального электрического поля.
Решение уравнения (3.32)(нормированное на 1), имеет вид (см. Приложение 3.2): ; 20 (,) =2 (,);∫︀ ∞ ∫︀ 12 0 −1 (,)2 (,) = exp[− (1 − ) − 20 (,)]2∫︁(3.33)∞exp[− 2 − 20 1 (,,)](,,) +0 ∫︁+ exp[−2 (1 − 2 ) − 20 (,)]2exp[− 2 + 20 1 (,,)](,,)0при ≥ 0;22 (,) = exp[− (1 − ) − 20 (,)]2∫︁∞exp[− 2 − 20 1 (,,)](,,)−при < 0;∫︁(,) =0√︀2{[ 2 +2 (1−2 )]1/2 + √ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1+0.5[ 2 +2 (1−2 )]1.25∫︁1 (,,) =0√︀2{[ 2 +2 (1−2 )]1/2 + √ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1+0.5[ 2 +2 (1−2 )]1.2√︁(,,) =2 2 + 2 (1 − 2 ) + √.В предельном случае нулевого поля, когда параметр 0 → ∞, выполняются соотношения (см.
Приложение 3.2):65 (,) = 0 () +[1 () + 2 ()] + 202√︁2 +20 () = exp(− )3√2[ +√︂22 () = exp(− )2√2)︂120.4exp(−)(1 + 0.52.5 )(2 +21 () = exp(− )2[ +(︂4exp(−)(1 +(3.34);− 1)0.52.5 )]2;√︁2+422.50.54 [1 − √ exp(−)(1 + 0.5 − 0.625 )]+.[ + √2 exp(−)(1 + 0.52.5 )]3В этом приближении имеем (при постоянном сечении перезарядки) дляФРИ по скоростям и дрейфовой скорости, соответственно:∫︀ ∞√︂[()+()] 120∫︀ ∞≈ 0.336. 6 0 0 ()(3.35)2Как показывают расчеты, для вычисления которое входит в (),достаточно в методе последовательных приближений использовать первое приближение: ()∫︀ ∞0; = (,) =4 0 0 ()2 (+1) =[︃ ∫︀ ∞ ∫︀ 10−1 (,)]︃2∫︀ ∞ ∫︀ 10−1 (,).При этом в качестве нулевого приближения следует взять функцию распределения (3.33), положив () = = .
Найденная таким образом зависимость безразмерной средней скорости =√ от параметра 0 , например,для случая иона + в имеет вид:[︀]︀ = 1.2 + 18.2 exp −6.8(0 )0.35 .(3.36)Воспользовавшись результатами работы [89], можно показать, чтоучет зависимости сечения резонансной перезарядки от скорости сводится в66(3.33) к замене произведений 0 (,) и 0 1 (,,) на 0 [ ()](,) и√︀0 [ ( 2 + 2 (1 − 2 ))]1 (,,) соответственно. В формуле (3.36) (при вычислении функции (,,)) - необходима замена параметра 0 на функцию√︀0 [ ( 2 + 2 (1 − 2 ))], где() = [1 − · ln(8.6 · 10−5 2 )]2 .(3.37)Сечение резонансной перезарядки при этом берется в виде [91],[92],[93](что несколько отличается от (3.3):(3.38)() = 0 {1 − · ln[( )]}2 ,где - константа, зависящая от сорта газа, а параметр 0 , входящий в (3.33)(который при постоянном сечении определяется как 0 =[︁]︁−11.2( )), ( )(10−15 2 )вычисляется следующим образом.
Сначала вычисляем 0 при энергии иона равной 1 . Далее, используя это значение, рассчитываем функцию распределенияпо формулам (3.33) и вычисляем среднюю относительную скорость иона и атома и далее при расчете параметра 0 берется сечение при этой относительнойскорости. При вычислении параметрапо величине 0 при сравнении расчетовс экспериментальными данными следует также брать сечение перезарядки прибезразмерной скорости , то есть:[ (0 )]=.1.20(3.39)Так, в случае рассмотрения иона + в величина = 0.0557, а параметр 0 в формуле (3.38) равно 2.79 · 10−15 2 [93],[92]. Полученное решение(3.33) позволяет рассчитать любые транспортные коэффициенты, характеризующие ионы в собственном газе - среднюю скорость, приведенную подвижность,среднюю проекцию скорости на направление поля, коэффициенты разложенияфункции распределения по полиномам Лежандра и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
