Диссертация (1150443), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Решение задачи в этом случае такжене вызывает затруднения, но требует постановки физически обоснованных гра­ничных условий по координате .В стационарной плазме при сделанных предположениях уравнение Больц­мана имеет вид:−→ −→→−▽ ( ) = ,(3.1) ▽ ( ) +→−где , - заряд и масса иона; – напряжённость электрического поля; скорость ионов; - ФРИ по скоростям; -интеграл столкновений.Учитывая, что ион, возникающий как в результате перезарядки, так ив результате электронного удара, имеет скорость атома, определим интегралстолкновений следующим образом:− (→ ) = ∫︁ ∫︁→−→−→− −→− − →− →− ( ′ ) ( ′ )[( ′ − → ) − ( ′ − → )] ′ ′ ,(3.2)−где (→ ) - функции распределения атомов; - концентрация атомов, - сече­−ние перезарядки, - модуль относительной скорости ион - атом; → - скоростьатомов.

В интеграле столкновений не учитываются процессы ионизации и элек­трон-ионной рекомбинации ввиду того, что при сделанных предположениях иххарактерное время велико по сравнению со временем резонансной перезаряд­45ки. Функция распределения ионов нормирована на концентрацию, а атомов на единицу.Прежде всего, конкретизируем функции, входящие в интеграл столкно­вений. Как известно, сечение перезарядки логарифмически зависит от относи­тельной скорости ион-атом [6],[90],[93].[︂() = 0021 + · ln 2(︂)︂]︂2≡ 0 (),(3.3)где 0 , , 0 - константы, которые зависят от сорта газа.

Так, например, в ге­022= 1 выполняется 0 = 2.79 · 10−15 2 ; = 0.0557 [93], длярезонансной перезарядки ионов + по данным [92] для этой же энергии:0 = 12 · 10−15 2 ; = 0.073. В то же время автор [94] приводит следующиезначения: 0 = 20 · 10−15 2 ; = 0.048. Ввиду такой слабой энергетическойзависимости в сравнительно узком диапазоне скоростей, который характерендля движения ионов, сечение перезарядки с хорошей точностью можно счи­тать постоянным.

Действительно, в диапазоне энергий 0.1 − 0.3 , например,для гелия сечение перезарядки изменяется на величину порядка 5% по данным[91],[93].В связи с этим сначала решим задачу, полагая сечение резонансной переза­рядки постоянным, а затем приведем формулы, учитывающие его зависимостьот скорости. Рассмотрим такие условия движения ионов, когда скорость, приоб­ретаемая ими на средней длине свободного пробега, существеннобольше сред­√︁√ней скорости атомов, что выполняется, если ≪ ( – температуранейтральных атомов).

Это неравенство эквивалентно следующему:лии при√︃(︂ · )︂1(10−15 2 )≫ 1,(3.4)где - давление газа;Отметим, например, что в случае инертных газов неравенство (3.4) выпол­няется только при малых значениях произведения ≪ 1 ( - характерныйразмер объема, в котором создается плазма), когда из-за быстрой диффузи­онной гибели электронов значительно возрастает электрическое поле в плазме[95]. В этом случае полагаем, что относительная скорость ион-атом перед столк­новением имеет лишь одну составляющую вдоль направления напряженности46→−электрического поля и определяется только скоростью иона. Будем полагатьтакже, что частота межатомных столкновений значительно больше частоты ион- атомных столкновений. Это позволяет использовать для атомов равновесноераспределение Максвелла, но накладывает ограничение на величину степениионизации.

При сделанных предположениях интеграл столкновений сводится кследующему выражению:−− (→ ) = [ (→ )∫︁−−−| | (→ )→ − | | (→ )].(3.5)Рассмотрим сначала случай, когда плазма не ограничена стенками и элек­трическое поле имеет одну компоненту, направленную вдоль оси . При этомположим, что эта компонента поля, концентрация атомов и ионов не зависят от−координаты. Тогда функция распределения зависит только от скорости → иможно, используя (3.5), привести кинетическоеуравнение к следующему виду(︁ )︁c точностью до членов порядка 0 :−+ 20 | | = (→ ),(3.6)где () - величина того же порядка малости, что и величина при → 0;(︁ )︁1.5−→→−20 = = 20 ; ( ) = ; exp(−2 ); = 2температураатомов;∫︀−− (→ )→−→ = ∫︀ (→- средняя скорость ионов в направлении электрического−→− ) поля, - концентрация ионов.Теперь предположим, что плазма создается в цилиндрической разряднойтрубке радиуса с диэлектрическими стенками и осью и возможен неодно­родный по радиусу разогрев газа в плазме.

В этом случае в левой части урав­ () нения (3.6) появляются три дополнительных члена ; ; где - амбиполярное поле, - радиальная координата, - составляющаяскорости иона в радиальном направлении. Последний член имеет порядок ≪ при ≪ , где - длина пробега иона относительно процес­са резонансной перезарядки, и, таким образом, им можно пренебречь. Второйчлен много меньше члена , если в плазме самостоятельного газового разрядавыполняется неравенство () ≪ . Это неравенство имеет место вблизи осиразряда (где суммарное амбиполярное поле равно нулю), или во всем объеме,если выполнено соотношение [95]: ;47 ( · ) ≫ 10−3 ()√ , (10−16 2 ) (3.7)где - сечение упругого рассеяния электрона на нейтральной частице; - сред­няя относительная доля энергии электрона, теряемая им при упругом столкно­вении с нейтральной частицей плазмы.Первый же из дополнительных появившихся членов имеет, очевидно, по­рядок последнего члена и, таким образом, все три члена можно не учитывать.Таким образом, при выполнении неравенств (3.7) и ≪ в случае неоднород­ного разогрева газа зависимость () можно учесть, просто считая зависящимиот радиуса величины 0 , , .Положим сначала, что эти неравенства выполнены и параметры: 0 , , ,определяющие свойства плазмы, априори заданы (включая их возможную зави­симость от радиальной координаты ).

Отметим, что параметр 0 определяетскорость, которую приобретает ион в электрическом поле, параметр характе­ризует температуру нейтральных атомов, параметр - скорость образованияионов за счет перезарядки.Решение кинетического уравнения (3.6) при выполнении неравенств (3.7)и ≪ (при малыхнеравенство (3.7) справедливо в силу (0) = 0) сучетом поведения функции распределения для скорости ионов при → −∞имеет вид:√︀−2 (→ ) = exp[−2 + ( − 0 )] (− − 0 ){1 + (︂)︂0} при ≥ 0;)︂0} при ≤ 0,(3.8)где = () =2 - постоянный множитель; - модуль скорости иона, √︁∫︀∞√2exp(−2 ). При сделанных ранее предположениях выполняется 0 ≪ √︀−2 (→ ) = exp[−2 + ( + 0 )] (− + 0 ){1 + (︂1.

Отметим, что (3.8) с учетом того, что = ; = cos (- угол междуосью и скоростью иона), дает угловое распределение ионов по скоростям.Интегрируя (3.8) по угловым координатам, получаем функцию распределенияионов по модулю скорости, нормированную на 1:48(︂ )︂∫︁ √−0 √ ( ) 2 2 0 0 ( ) ≡exp(2 ) (−)·{1+ = √ exp(−2 ) √}.− +0 (3.9)Концентрация ионов выражается через ранее определенные константы(︁ )︁√ √следующим образом: = 2 0 .

Отметим, что для учета членов 0 вэтой формуле достаточно уточнить нормировку, то есть, разделить функцию∫︀ ∞на 0 ( )2 .Интегрирование (3.8) по азимутальному углу и компоненте скорости иона,ортогональной направлению электрического поля, дает распределение ионов по - компоненте скорости , нормированное на концентрацию:√︀−2exp(−0 ) (− − 0 ){1 + (→ ) =√︀−2 (→ ) =exp(0 ) (− + 0 ){1 + (︂(︂)︂0} при ≥ 0;)︂0} при ≤ 0. (3.10)ФРИ по энергиям ( ), нормированная на единицу, с той же точностью,что и (3.9), записывается в виде:4√1.16 · 10 0√ ( ) =exp[−( )]∫︁ √(1− 0 )( ))︂0exp(2 ) (−)·{1+},√ 0− (1+ )( )(︁ )︁ (3.11)4где - энергия иона, выраженная в ; ( ) = 1.16·10, члены 0 учиты­ваются аналогично формуле (3.9) (то есть, уточнением нормировки), а ФРИ поэнергиям и азимутальному углу - в виде:[︂]︂√1.16 · 104 0 √︀0√=( ) exp −( )(1 − 2 ) − ( )2 ·[︂ √︂]︂0 − 1 − ( )при > 0;(︂(3.12)49[︂]︂√1.16 · 104 0 √︀022√=( ) exp −( )(1 − ) + ( ) ·[︂ √︂]︂0 − 1 + ( )(3.13)при < 0.Из выражения для и определения параметров 0 , следует, что средняяскорость иона с точностью до величин порядка√︂ =1{1 + 0(︂0определяется как:√︂)︂02,}≈ (3.14)Этот же результат можно получить прямым вычислением средней скоро­сти с помощью полученной функции распределения.

Вычисление среднеквад­ратичной скорости с этой же точностью дает:√︀ 2 =(︂1∫︁)︂0.5∞ ( )01=√{1 + 20(︂)︂0},(3.15)а для наиболее вероятной скорости (︁ в приближении0 → 0 получаем из ре­)︁ ( )1.5шения трансцендентного уравнения. Учет конечного, что = √ =значения параметра 0 ≪ сдвигает положение максимума функции распре­деления ионов по скоростям в сторону меньших скоростей.В том случае, когда необходимо учесть амбиполярное поле (то есть, еслиищется решение не вблизи приосевой области разряда или неравенство (3.7)не выполняется), но по-прежнему выполнено неравенство ≪ , поступимследующим образом. Учитывая, что в нашем случае можно в уравнении Больц­мана пренебречь пространственными градиентами и основной процесс, опреде­ляющий вид функции распределения - резонансная перезарядка, для решениязадачи при некоторой радиальной координате выберем локальную систему ко­ординат, ось которой совпадает с направлением суммарного электрическогополя в плазме при этом значении : = где () = ()√︀1 + ()2 ,(3.16)50Тогда уравнение Больцмана будет иметь вид (3.6), но параметр 0 будетзависеть от отношения амбиполярного и аксиального (направленного вдоль осиразрядной трубки) полей:() = 0√︀1 + ()2 .(3.17)Соответственно, верны формулы (3.8), (3.9), но с заменой параметра 0 на().

Кроме того, из простого геометрического рассмотренияследует, что в (3.8)√ 2√︀[+() 1− ]необходимо заменить = на выражение √,а=1 − 2 - на1+()2√[()− 1−2 ]| √|. Отметим, что мы не налагали никаких условий на соотношение21+()величин аксиального и амбиполярного полей. Что касается формулы для ско­рости дрейфа в аксиальном направлении, то с учетом того, что при выбраннойнами системе координат выполняется: = √︀1 + ()2 ,(3.18)можно получить:√︂ =12.· [1 + ()]0.25(3.19)В заключение этой части работы обсудим, как изменятся полученные фор­мулы, если учесть зависимость от скорости сечения резонансной перезарядки.2 ()2∫︀ ∞() например, для инертных√газов, отличаются при изменении величины = в диапазоне ∈ [0,10]не более, чем на 5%, где () определена формулой (3.3).

Нетрудно показать,что в этом случае все полученные выше формулы с той же степенью точностиописывают соответствующие величины для зависимости сечения перезарядкиот скорости согласно (3.3) при замене величины () на ()( ).Отметим также, что мы решали задачу в предположении, что выполня­ется неравенство ≪ . Это необходимо для того, чтобы можно было пре­−→небречь в кинетическом уравнении (3.1) членом с ▽ ( ). Однако, даже если−→данное неравенство не выполняется, то, поскольку ▽ ( )=0 = 0, полученныевыше результаты все равно верны вблизи оси трубки.

Не трудно доказать, чтоточное решение уравнения Больцмана при произвольном отношении стремит­ся при → 0 к решению уравнения (3.6).Расчеты показывают, что величиныи0513.2.2Сравнение с экспериментальными данными по ФРИ иобсуждение результатов для случая сильного поляОтметим, что формула (3.14) для дрейфовой скорости иона совпадает с ре­зультатами работ [5],[91] в предельном случае сильного поля. Аналогично, фор­мула (3.19) совпадает с результатом, приведенным в [2]. Как уже говорилась, вработе [3] было вычислено время, в течение которого ион имеет составляющуюскорости вдоль электрического поля в промежутке от до + .

Характеристики

Список файлов диссертации