Диссертация (1150443), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Тогда уравнение (3.32) приоб­ретает вид:(1 − 2 ) ++ 20 ̃︀ () = 0 ()(),̃︀(П3.2.2)√√где ̃︀ () = (); ()̃︀= (); 0 = ; 0 = 0 ; (,) = ( √ , √ ).Далее в уравнении (П3.2.2) произведем замену переменных , на =ln(); = + 0.5 · ln(1 − 2 ), в которых уравнение преобразуется в̃︀ [exp( )] exp(2 )exp( ) exp[exp(−2 )][exp(̃︀ )]√︀√︀+ 20, =exp(2 ) − exp(2 )exp(2 ) − exp(2 )(П3.2.3)при ≥ 0;̃︀ [exp( )] exp(2 )exp( ) exp[exp(−2 )][exp(̃︀ )]√︀− 20 √︀, = −exp(2 ) − exp(2 )exp(2 ) − exp(2 )(П3.2.4)при < 0,√где = 1.5 , ( , ) = [( , ),( , )].Уравнения (П3.2.3), (П3.2.4), являются линейными дифференциальнымиуравнениями первого порядка, которые имеют решения:∫︁ √exp(2 )−exp(2 )[︃ ( , ) = > ( ) · exp −200[︃]︃√︀̃︀ ( 2 + exp(2 )) +∫︁ √exp(2 )−exp(2 ) exp(−2 ) · exp −20∫︁ √exp(2 )−exp(2 )·0]︃̃︀ (√︀ 2 + exp(2 ))0[︂ ∫︁exp(− 2 ) exp 200]︂√︀̃︀ ( ′2 + exp(2 )) ′√︀·(̃︀ 2 + exp(2 ))(П3.2.5)при ≥ 0;100∫︁ √exp(2 )−exp(2 )[︃ ( , ) = < ( ) · exp 20]︃̃︀ (0[︃· 2 + exp(2 )) −∫︁ √exp(2 )−exp(2 ) exp(−2 ) · exp 20∫︁ √exp(2 )−exp(2 )√︀]︃̃︀ (√︀ 2 + exp(2 ))0[︂∫︁exp(− 2 ) exp −2000]︂√︀̃︀ ( ′2 + exp(2 )) ′√︀·(̃︀ 2 + exp(2 ))(П3.2.6)при < 0.Здесь функции > ( ), < ( ) - некоторые произвольные функции пере­менной .

Очевидно, что из физических соображений при = 0 ФРИ по скоро­стям должна быть непрерывна. Согласно определению переменных , вы­полняется: = при = 0. Отсюда сразу следует, что(П3.2.7)> ( ) = < ( ).Выберем < ( ) в виде:∫︁< ( ) exp(−2 )∞[︂exp(− 2 ) exp −200∫︁0(︁√︀)︁ ]︂̃︀ ′2 + exp(2 ) ′ ·√︀(̃︀ 2 + exp(2 )).(П3.2.8)Очевидно, что интеграл в (П3.2.8) сходится. Переходя к физическим пе­ременным ,, получим для (,) формулы (3.33).Рассмотрим теперь предельный переход 0 → ∞, соответствующий преде­лу нулевого поля.

Из физических соображений ясно, что в этом случае должновыполняться: (,) ≈ () =√4 2 exp(−2 ).Рассмотрим случай ≥ 0 по­скольку рассмотрение при < 0 можно провести аналогично. Понятно, что при0 → ∞, функция распределения будет определяться вторым слагаемым, со­держащим интеграл по конечному промежутку, поскольку в первом слагаемом101показатель обеих экспонент, содержащих большой параметр 0 , отрицателен.Тогда запишем второе слагаемое (3.33) при ≥ 0 в следующем виде:∫︁,1 (,) =(,,) exp[−0 (,,)],(П3.2.9)0где (,,) = (,,) exp(− 2 ); (,,) = 2[(,)−1 (,,)]; (,,) = 0- по определению функций (,) и 1 (,,).Введем переменную интегрирования = (,,).

Разрешая это уравне­ние относительно переменной , получим = (,,). Отсюда имеем:2[(,)−1 (,0,)]∫︁1 (,) = −Ψ(,,)′ (,,) exp[−0 ],(П3.2.10)0где Ψ(,,) = [ (,,),,]. Интегрируя (П3.2.10) два раза по частям, по­лучим:1 (,) = −11{Ψ(0,,)′ (0,,) +[Ψ′ (0,,)′ (0,,) +20201′′+Ψ(0,,)(0,,)] + ( 2 )}, (П3.2.11)0учитывая, что = 0 при = ;′ (,,)= = ′ =1=1(,,);[︂]︂(,,)2= − + √ exp(−)(1 + 0.52.6 ) ;=′′(,,)= 2 (,,)1=−, 2[ (,,) ]3=из (П3.2.11) получаем формулу (3.34), описывающую два первых члена разло­жения функции распределения ионов по скоростям при 0 → ∞.102Приложение 3.3Для решения уравнений (3.16) и (3.17) после ряда замен переменных полу­чаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которо­√го, с учетом условия на бесконечности, имеет вид (в переменных = , ):220 (,) = exp[− (1 − ) − 2 ()(,)]2∫︁∞exp[− 2 +02 (,,)1 (,,)](,,) + exp[−2 (1 − 2 ) −∫︁ 22 ()(,)]exp[− 2 + 2 (,,)1 (,,)]0(,,)(П3.3.1)при ≥ 0;0 (,) = exp[−2 (1 − 2 ) − 2 ()(,)] ·∫︁∞exp[− 2 − 2 (,,)1 (,,)](,,)(П3.3.2)−при < 0;∫︁{[ 2 + 2 (1 − 2 )]1/2 + ·(,) =0√︀2√ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1 + 0.5[ 2 + 2 (1 − 2 )]1.25 ]};∫︁1 (,,) =(П3.3.3){[ 2 + 2 (1 − 2 )]1/2 + ·0√︀2√ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1 + 0.5[ 2 + 2 (1 − 2 )]1.25 ]};√︁(,,) =2 2 + 2 (1 − 2 ) + √;(П3.3.4)103[︂]︂ (0 ()) () = 0 () 1 +; (0 ())[︃]︃√︀222√︀ (0 ( (1 − ) + ))√︀ (,,) = 0 ( 2 (1 − 2 ) + 2 ) 1 +; (0 ( 2 (1 − 2 ) + 2 ))0 () =0 ().

(,) = exp[−2 ()(,)] ·∫︁0∞exp[−2 (,,)1 (,,)]Φ−1 (,,) + exp[−2 ()(,)] ·∫︁ exp[2 (,,)1 (,,)]Φ−1 (,,)(П3.3.5)0при ≥ 0;∫︁∞ (,) = exp[−2 ()(,)]exp[−2 (,,)1 (,,)]Φ−1 (,,)−при < 0;√︁(,,,,) =2 + 2 − 2[ − (,,,,) =√︀1 − 2[︁2 − 23/2 exp −{ 2(,,,,) + 1.5√︀1 − 2 cos()];(,,,,) 2}2(,,,,)]︁;∫︁ ∫︁ ∫︁Φ−1 (,,) = 2 (,,) (√︀ 2 + 2 (1 − 2 ),,,,)−1∑︁=0 (0 ()) ·̃︀−1 (,);(П3.3.6)104В случае сильного поля, когда ( ) ≈ и√0 ≪ 1, а для 0 (,) и→−′− ( → → ) выполняются соотношения (3.18) и (3.19), соответственно, имеем:Φ−1 (,,) =2 (,,)∫︁1−1∫︁)︃)︃(︃ √︀222 + (1 − ) 00 (,,)0(︂ √)︂∑︀−1 ̃︀ 2 +2 (1−2 ),=1 −10 (,,).(П3.3.7)0 (,,)32(︃(,) = 0.52 2 ; (,,) = 0.5 2 2 .Приложение 3.4Как и ранее рассмотрим сначала случай постоянных сечений перезарядки,а затем для учета этой зависимости воспользуемся сформулированным вышеправилом.Запишем проекцию второго из уравнений (3.54) на ось X (или Y):(︂)︂ −−+ (1) (→ ) = (0) (→ ). (П3.4.1)√ −−Вводя безразмерную скорость ионов → = → , умножив уравнение на и, проинтегрировав по , получим с учетом того, что в сильном поле выпол­няется ≫ , и что после интегрирования по члены в интеграле столк­новений, соответствующие приходу ионов в элемент фазового пространства врезультате перезарядки и упругого рассеяния зануляются, так как функция рас­пределения атомов по скоростям и индикатриса упругого рассеяния являютсячетными функциями :[︂]︂̃︀ )√︀ ( (0 ( ))̃︀ ) = 20 Φ(̃︀ ),+ 20 1 + ((П3.4.2)105где =1 - длина пробега иона до перезарядки; параметр 0 определен выше;̃︀ ) = ((√︀∞∫︁ ∫︁); ( ) =−∞∫︁ ∫︁√︀̃︀ ) = Φ( ); Φ( ) =Φ(∞−∞− (1) (→ ) ;−2 (0) (→ ) .Уравнение (П3.4.2) имеет решение удовлетворяющее нулевым условиямпри | | → ∞:∫︁ ∞√︀+ ( ) = 20 exp[−0 ( )][exp[−0 ()]Φ(−) +0∫︁ exp[0 ()]Φ(−)] при ≥ 0; (П3.4.3)0∫︁√︀− ( ) = 20 exp[0 ( )][∞exp[−0 ()]Φ(−) при < 0,| |∫︀ [︁где ( ) = 0 1 + (0 ())]︁ .

Напомним, что при вычислении Φ( ) следу­ет в качестве (0) брать решение , используя формулы (3.50) и (П3.4.2) дляслучая сильного поля.Учет зависимости сечения резонансной перезарядки от энергии относи­тельного движения иона и атома производится заменой параметра 0 на функ­цию 0 ( ) и заменой сечения на () под знаком интеграла ( ).Используя известную формулу для дрейфовой скорости ионов в собствен­ном газе при больших полях [91] и определение подвижности, можно из (П3.4.3)получить с учетом зависимости сечений перезарядки и упругого рассеяния ототносительной скорости сталкивающихся частиц:= ( )∫︁∞√︀exp[0 ()] ( 0 ())Φ(),(П3.4.4)0где - средняя безразмерная скорость ионов. При получении этого соотноше­ния мы учли, в том числе, и то, что при наличии упругих столкновений форму­106ла для дрейфовой скорости в сильном поле преобразуется соответственно тому,что увеличивается суммарное сечение столкновения ион с атомом.107Глава 4. PIC моделирование4.1Введение и постановка задачиМетоды Монте-Карло – это численные методы прямого статистическогомоделирование различных процессов и решения математических задач при по­мощи получения и преобразования случайных чисел.

По-видимому, первая ра­бота по применению данного метода была опубликована по результатам органи­зации стохастического процесса при экспериментальном определении числа путём бросания иглы на лист линованной бумаги [122]. Другой пример раннегоиспользования методов Монте-Карло - моделирование траекторий нейтроновв лаборатории Лос Аламоса в сороковых годах прошлого столетия. Одна изпервых работ, где этот вопрос излагался систематически, была опубликована в1949 году Уламом и Метрополисом [123]. Авторы применили метод Монте-Кар­ло для решения линейных интегральных уравнений.

В нашей стране одной изпервых можно привести работу Владимирова и Соболя [124].Общая схема метода Монте-Карло основана на классической Централь­ной предельной теореме теории вероятности [125], согласно которой случайнаявеличина =∑︁ ,(4.1)=1равная сумме большого количества случайных величин с одинаковымидисперсиями 2 и математическими ожиданиями , всегда распределена по нор­мальному закону с дисперсией 2 и математическим ожиданием . Пред­положим, что нам нужно найти результат какого либо процесса или решениеуравнения .

Если сконструировать случайную величину с плотностью веро­ятности () таким образом, чтобы математическое ожидание этой величиныравнялось искомому решению () = , то получаем оценку для решения исоответствующей погрешности:10831 ∑︁ ± √ . = () ≈=1(4.2)В соответствии с этой схемой строятся и алгоритмы, реализующие методМонте-Карло при описании ансамблей частиц, в которых частицы взаимодей­ствуют по типу "парных столкновений". При известном дифференциальномсечении единичного столкновения случайным образом разыгрывается одна извеличин, которая определяет угол рассеяния (а значит, и скорости рассеянныхчастиц). Часто этой величиной является прицельный параметр столкновения,однако мы будем использовать другую величину, на чем подробно остановимсяниже.При практической реализации данного метода для конкретного процессаодна из важнейших частей программного кода - так называемый "генераторслучайных чисел".

Далее все строится по стандартной схеме с учетом особен­ностей моделируемого процесса. Существует большое число программных ко­дов, в которых реализуется поведение ансамбля частиц, основанное на парныхстолкновениях. Все они имеют схожую архитектуру, поэтому мы не будем наэтом останавливаться, тем более, что все основные пакеты современных мате­матических программ (типа Maple, Mathcad, Mathlab, GNU Octave и др.) содер­жат встроенные генераторы случайных чисел достаточно высокого качества (тоесть, плотность вероятности которых с высокой точностью постоянна на всемпромежутке изменения случайной величины).Что касается особенностей моделируемого процесса, то в данном конкрет­ном случае физическая модель процесса должна учитывать следующие осо­бенности явления взаимодействия иона с атомом:– атомы имеют максвелловское распределение по скоростям с температу­рой ;– ион, имеющий равную массу с атомом, ускоряется в постоянном од­нородном электрическом поле и сталкивается с атомом, в результатечего возможна реализация следующих событий: обмен электроном сатомом и упругое рассеяние в поляризационном потенциале с зависи­мостью ∝ −4 (где - расстояние ион - атом), который соответствуетвзаимодействию точечного заряда с дипольным моментом атома;109– в результате вышеупомянутых процессов атомам передаются импульси энергия, которые много меньше суммарного импульса и энергии рас­пределенных по максвеллу атомов (в силу этого температура не ме­няется со временем).Как видно, одна из основных проблем при решении поставленной зада­чи - это выбор сечения дифференциального рассеяния при столкновении ионас собственным атомом, которое учитывало бы два процесса - резонансную пе­резарядку и рассеяние в поляризационном потенциале.

Характеристики

Список файлов диссертации