Диссертация (1150437)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÄÎÐÎÄÅÍÊΠÀëåêñàíäð Àëåêñàíäðîâè÷ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ È ÁÈÔÓÐÊÀÖÈßÌÍÎÃÎ×ÀÑÒÎÒÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉÏÐÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ ÑÓÙÅÑÒÂÅÍÍÎÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀÑïåöèàëüíîñòü 01.01.02 äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ,äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòàôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê, ïðîôåññîð ÁÈÁÈÊΠÞðèéÑàíêò-Ïåòåðáóðã2015Íèêîëàåâè÷ÎÃËÀÂËÅÍÈÅÂâåäåíèå . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3à ë à â à 1. Âîçìóùåíèå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà . . . . . . . . . . . . . 16Ÿ 1. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Ÿ 2. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ 25Ÿ 3. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ èíâàðèàíòíîãî òîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ÿ 4. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèè. . . . . .

. . . . . . . . . .39à ë à â à 2. Èññëåäîâàíèå ñèñòåìûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ÿ 1. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ èíâàðèàíòíîãî òîðà â ñèñòåìå ñ êóáè÷åñêîé âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëîé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ÿ 2. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50Ÿ 3. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ èíâàðèàíòíîãî òîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Äîïîëíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902Ââåäåíèå 1892 ã. â îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå "Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòèäâèæåíèÿ"À. Ì. Ëÿïóíîâ èññëåäîâàë óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ìàëîå àâòîíîìíîå èëè ïåðèîäè÷åñêîåâîçìóùåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìîòðåë êðèòè÷åñêèå ñëó÷àè îäíîãî íóëåâîãî è îäíîé ïàðû÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ.Èññëåäîâàíèÿ Ëÿïóíîâà áûëè ïðîäîëæåíû ïîñëå äëèòåëüíîãî ïåðåðûâà.

 ÷àñòíîñòè, ïðè íàëè÷èè â âîçìóùåíèÿõ ìàëîãî ïàðàìåòðà áûëîâ àâòîíîìíîì ñëó÷àå îäíîé ïàðû ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë èçó÷åíî îòâåòâëåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ïðèïðîõîæäåíèè ïàðàìåòðà ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå. Ýòî ÿâëåíèå ïîëó÷èëîíàçâàíèå áèôóðêàöèè ÀíäðîíîâàÕîïôà [1]. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ âîçìóùåíèé îòâåòâëåíèå çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ïåðåõîäèò â îòâåòâëåíèå èíâàðèàíòíîãî äâóìåðíîãî òîðà è áûëî óñòàíîâëåíî Þ. Íåéìàðêîì [6] èÐ. Ñàêåðîì [12]. 1893 ã. â ðàáîòå [5] À. Ì.

Ëÿïóíîâ ïðîäîëæèë ðàáîòó 1892 ã., èññëåäîâàâ êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé îäíîé ïàðû íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåëñ íåïðîñòûì ýëåìåíòàðíûì äåëèòåëåì. Èìåííî ýòà ñèòóàöèÿ âîçíèêàåòïðè âîçìóùåíèÿõ îñöèëëÿòîðàẍ + x2n−1 = 0(1)äëÿ íàòóðàëüíûõ n > 1.À.Ì. Ëÿïóíîâ èçó÷àë óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàëûõ3âîçìóùåíèé â àâòîíîìíîì ñëó÷àå.

Îí ðàññìàòðèâàë óðàâíåíèåẍ + x2n−1 = X(x, ẋ),(2)ãäå X(x, y) àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ x, y â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò, ïðè÷åì ðàçëîæåíèå X ïî ñòåïåíÿì x, y íå ñîäåðæèò÷ëåíîâ ïîðÿäêà ìåíüøå 2n, åñëè ïåðåìåííîé x ïðèïèñûâàòü ïîðÿäîêåäèíèöà, à ïåðåìåííîé y ïîðÿäîê n.

Ïîäõîä Ëÿïóíîâà çàêëþ÷àåòñÿâ ñëåäóþùåì.  ñèñòåìåẋ = y,ẏ = −x2n−1 + X(x, y),(3)ýêâèâàëåíòíîé óðàâíåíþ (2), ââîäÿòñÿ êîîðäèíàòû r, ϕ ñîãëàñíî ôîðìóëàì x = rCs(ϕ), y = −rn Sn(ϕ), r > 0, ãäå (Cs(ϕ), Sn(ϕ)) ðåøåíèå ñèñòåìûdxdϕ= −y,dydϕ= x2n−1 ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè Cs(0) = 1, Sn(0) =0.

Ïðè n = 1 ôóíêöèè Cs(ϕ), Sn(ϕ) ïðåâðàùàþòñÿ â cos(ϕ), sin(ϕ) ñîîòâåòñòâåííî. Îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî ñîîòâåòñòâóåò òîæäåñòâó nSn2 (ϕ) + Cs2n (ϕ) = 1. Îáîçíà÷èì ïåðèîä ôóíêöèé Cs(ϕ), Sn(ϕ)÷åðåç 2ω .  êîîðäèíàòàõ r, ϕ ñèñòåìà (3) èìååò âèä1 ṙ = − n−1 X(rCs, −rn Sn)Sn,r ϕ̇ = rn−1 − 1 X(rCs, −rn Sn)Cs.rn(4)Èñêëþ÷àÿ â äàííîé ñèñòåìå t, ïîëó÷èì óðàâíåíèådr= R2 (ϕ)r2 + R3 (ϕ)r3 + . . . ,dϕïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñõîäÿùèéñÿ ïðè äîñòàòî÷íîìàëûõ r ðÿä ñ 2ω ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Òåì ñàìûì âîïðîñ4îá óñòîé÷èâîñòè ïðè àâòîíîìíîì âîçìóùåíèè íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ àâòîíîìíîãî âîçìóùåíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Åñëè âîçìóùåíèå çàâèñèò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà, òî âîçíèêàåòçàäà÷à î áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðåäåëüíîãîöèêëà ïðè ïðîõîæäåíèè ìàëîãî ïàðàìåòðà ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå.

Îíàðåøàåòñÿ àíàëîãè÷íî çàäà÷å î áèôóðêàöèè ÀíäðîíîâàÕîïôà â ñëó÷àåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà.Ñëó÷àé ïåðèîäè÷åñêèõ âîçìóùåíèé îñöèëëÿòîðà (1) ïðè n = 2, ò.å.óðàâíåíèå ẍ + x3 = X(t, x, ẋ, ε), 0 ≤ ε << 1, áûëî èññëåäîâàíî Þ.Í.Áèáèêîâûì [3] êàê â íàïðàâëåíèè èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãîðåøåíèÿ ïðè ε = 0, òàê è â íàïðàâëåíèè áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ èíâàðèàíòíîãî òîðà ïðè ε > 0. Çàìåòèì, ÷òî îïèñàííûé âûøå ïîäõîä Ëÿïóíîâàíåïðèìåíèì â ïåðèîäè÷åñêîì ñëó÷àå, òàê êàê èñêëþ÷åíèå t â ñèñòåìå(4) â ýòîì ñëó÷àå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Êðîìå òîãî ïðèíöèïèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ n = 1, èññëåäîâàííîãîðàíåå â ðàáîòàõ Íåéìàðêà è Ñàêåðà, ÷àñòîòà íåâîçìóùåííûõ êîëåáàíèéÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèåé àìïëèòóäû.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ãëàâ.

 ïåðâîé ãëàâå â óêàçàííûõ äâóõíàïðàâëåíèÿõ èçó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäàẍ + x2 sgn x = Y (t, x, ẋ, ε),(5)ãäå Y äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ïî x, ẋ, ε íåëèíåéíîñòü. Åå ïîðÿäîê ìàëîñòèíå íèæå ïÿòîãî, åñëè ïîëàãàòü, ÷òî x èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, ẋ òðåòèé, ε ÷åòâåðòûé. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ Y íåïðåðûâíà è ïå5ðèîäè÷íà ïî t ñ ïåðèîäîì 2π , è âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå Y (t, 0, 0, ε) = 0.Òàêèì îáðàçîì, Y ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåY (t, x, y, ε) = a1 (t)xy + a2 (t)y 2 + a3 (t)x3 + a4 (t)x2 y++ b1 (t)εx + b2 (t)εy + Y ∗ ,ãäå ïîðÿäîê ìàëîñòè Y ∗ íå íèæå âîñüìîãî â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå.Ñëåäóÿ Ëÿïóíîâó [5], ââåäåì îáîáùåííûå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû.Äëÿ ýòîãî â ýêâèâàëåíòíîé óðàâíåíèþ (5) ñèñòåìåẋ = y,ẏ = −x2 sgn x + Y (t, x, y, ε),(6)âûïîëíÿåòñÿ çàìåíà ïåðåìåííûõx = ρ2 C(ϕ),y = −ρ3 S(ϕ),(7)ãäå ρ > 0, (C(ϕ), S(ϕ)) ðåøåíèå ñèñòåìûdx= −y,dϕdy= x2 sgn xdϕñ íà÷àëüíûìè äàííûìè C(0) = 1, S(0) = 0.

Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèèC(ϕ), S(ϕ) ïåðèîäè÷åñêèå, ïîðÿäîê èõ ãëàäêîñòè ðàâåí 3 è 2 ñîîòâåòñòâåííî è ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî3S 2 (ϕ) + 2C 3 (ϕ) sgn C(ϕ) = 2. ðåçóëüòàòå çàìåíû ïîëó÷èì ñèñòåìóρ̇ = −SY (t, ρ2 C, −ρ3 S, ε),22ρϕ̇ = ρ −6CY (t, ρ2 C, −ρ3 S, ε),3ρèëèρ̇ = P3 (t, ϕ)ρ3 + P4 (t, ϕ)ρ4 + P5 (t, ϕ)ρ5 + + Q1 (t, ϕ)ε + Q2 (t, ϕ)ερ + O(ρ6 + ερ2 + ε2 ),ϕ̇ = ρ + Φ2 (t, ϕ)ρ2 + Φ3 (t, ϕ)ρ3 + Φ4 (t, ϕ)ρ4 +2εε5. + Θ1 (t, ϕ) + Θ2 (t, ϕ)ε + O ρ + ερ +ρρ(8)Çäåñü è â äàëüíåéøåì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ïåðåìåííûõ t, ϕ, ïåðèîäè÷åñêèå ñ ïåðèîäàìè 2π , 2ω ñîîòâåòñòâåííî. ïåðâîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïðè ε = 0.

Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò çàìåíà ïåðåìåííûõ âèäàρ = r + h2 (ϕ)r2 + h3 (t, ϕ)r3 + h4 (t, ϕ)r4 + h5 (t, ϕ)r5 ,(9)â ðåçóëüòàòå êîòîðîé ïîëó÷èì ñèñòåìóṙ = gr5 + O(r6 ),ϕ̇ = r + Ψ2 (t, ϕ)r2 + Ψ3 (t, ϕ)r3 + O(r4 ),ãäå g òàê íàçûâàåìàÿ êîíñòàíòà Ëÿïóíîâà.g = P̄5 + Ḡ5 ,ãäåZ3a1āāa4 2 212CS 2 − CS 2−S 3 dϕ−P5 + G5 = C S +22222ZZZ22ā3CSā−C 3 Sdϕ +(a1 − ā1 )dϕ + 1CS 2 dϕ −2242ZZā213 2 23 32−C S dϕ + a1 ā1 CSCS dϕ −287(10)ZZāā211− a1 C 3 S 3 CS 2 dϕ + a2 C 2 S 4 − ā1 a2 S 3 CS 2 dϕ−22 ZZāā21− ā1 a3 C 3 S CS 2 dϕ −CS 2 dϕ + a1 C 2 S− S3 −22Z22āāā3− C 3 S + 1 CS 2 CS 2 dϕ − 1 C 3 S 3 +2223 ZS∂ h̃43+ SC sgn C −(a1 − ā1 )dϕ −.2∂ϕÇäåñü è äàëåå ÷åðòà íàä ñèìâîëîì îçíà÷àåò ñðåäíåå çíà÷åíèå, ïîäíåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì áóäåì ïîíèìàòü ïåðâîîáðàçíóþ, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîé íîëü.

Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå èìååò íåíóëåâîåñðåäíåå çíà÷åíèå, åñëè ā4 6= 0.Òåîðåìà [13]. Åñëè g < 0, òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) àñèìï-òîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè g > 0, òî îíî íåóñòîé÷èâî.Âî âòîðîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé êîãäà ε > 0. C ïîìîùüþ íåñêîëüêèõ çàìåí ñèñòåìà (8) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó, ãàðàíòèðóþùåìó ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîãî òîðà. Ñíà÷àëà çàìåíîé (9) ïðèõîäèì êñèñòåìåṙ = gr5 + Q1 (t, ϕ)ε + Q2 (t, ϕ)εr + O(r6 + εr2 + ε2 ),ϕ̇ = r + Ψ2 (t, ϕ)r2 + Ψ3 (t, ϕ)r3 + Ψ4 (t, ϕ)r4 +εε2 + Θ1 (t, ϕ) + Θ2 (t, ϕ)ε + O(r5 + εr + ).rrÇàòåì çàìåíîér=√4ε(α + z),8(11)ãäå |z| < α, èçáàâëÿåìñÿ îò îñîáåííîñòåé ïðàâîé ÷àñòè.

Ïîëó÷èì ñèñòåìó 53244ż = Q1 (t, ϕ)ε + Z1 (t, ϕ, α)ε + Z2 (t, ϕ, α)εz + O ε + εz ,√√344 + E (t, ϕ, α)ε+ϕ̇=εα+E(t,ϕ,α)ε+E(t,ϕ,α)ε234√√√ 53 + 4 εz + E5 (t, ϕ, α) εz + O ε 4 + ε 4 |z| + εz 2 .Äàëåå çàìåíîé âèäà√√3z = u + εF̂0 (ϕ) + ε 4 F̃0 (t, ϕ) + εuF1 (ϕ)+√√+ εu2 F2 (ϕ) + εu3 F3 (ϕ)(12)3èçáàâëÿåìñÿ îò ÷ëåíà Q1 (t, ϕ)ε 4 . Ïîëó÷èì ñèñòåìó 5324u̇ = U1 (t, ϕ, α)ε + U2 (t, ϕ, α)εu + O ε 4 + εu + ε 4 u ,√√344 + G (t, ϕ, α)ε+ϕ̇=εα+G(t,ϕ,α)ε+G(t,ϕ,α)ε234√√√ 2534 + εu + G (t, ϕ, α) εu + O ε 4 + ε 4 |u| + εu ,5Çàìåíîé âèäà33u = v + ε 4 Ĥ(ϕ) + εH̃(t, ϕ) + ε 4 v ĥ(ϕ) + εv h̃(t, ϕ)(13)ïðèõîäèì ê ñèñòåìå 5324v̇ = L(α)ε + M (α)εv + O ε 4 + εv + ε 4 v ,√√344 + H (t, ε, α)ε+εα+H(t,ϕ,α)ε+H(t,ϕ,α)εϕ̇=234√√√ 35 + 4 εv + H5 (t, ϕ, α) εv + O ε 4 + ε 4 |v| + εv 2 ,ãäåL(α) = gα5 +b̄2α,5M (α) = 5gα4 +b̄2.5(14)Óðàâíåíèå L(α) = 0 íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííûì óðàâíåíèåì, òàê êàêêàæäîìó åãî ïîëîæèòåëüíîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò èíâàðèàíòíûé òîð9(ýòî áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì), îïðåäåëÿåìûé óðàâíåíèåì (11).

Ïóñòüα∗ ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ L(α) = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ íåðàâåíñòâàb̄2g< 0. Òîãäà M (α∗ ) = M ∗ = − 45 b̄2 6= 0. Òàêèìîáðàçîì ñèñòåìà ïðèìåò âèä 53∗2444v̇ = M εv + O ε + εv + ε v ,√√344 + Ω (t, ϕ)ε+ϕ̇=εα+Ω(t,ϕ)ε+Ω(t,ϕ)ε234√5 + O ε 4 + 4 ε|v| .È, íàêîíåö, ñäåëàâ çàìåíû âèäàϕ=ψ+√4εf1 (ψ) +√3εf2 (t, ψ) + ε 4 f3 (t, ψ) + εf4 (t, ψ),1v = ε 8 η,(15)(16)ïîëó÷èì ñèñòåìó 9∗ η̇ = M εη + O ε 8 , 5√334 ψ̇ = √εα + d2 ε + d3 ε 4 + d4 ε + O ε 4 + ε 8 |η| ,ãäå di êîíñòàíòû. Äëÿ äàííîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé äâóìåðíûé òîð, çàäàâàåìûé óðàâíåíèåì1η = ε 8 B(t, ψ, ε),(17)ãäå ôóíêöèÿ B(t, ψ, ε)äèôôåðåíöèðóåìà ïî t, ïåèîäè÷íà ïî t, ψ è ëèïøèöåâà ïî ψ .

Ýòî ñëåäóåò èç Ëåììû Õåéëà [9]. Ïðèâåäåì åå ôîðìóëèðîâêó.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó10Θ̇ = d(ε) + Θ(t, θ, y, z, ε),ẏ = Ay + Y (t, θ, y, z, ε), ż = εCz + εZ(t, θ, y, z, ε),(18)ãäå ε ìàëûé ïàðàìåòð, 0 < ε < ε0 , à θ, y, z k, m, n-âåêòîðû ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà ρ1 , ρ2òàêèå, ÷òî Θ, Y, Z îïðåäåëåíû ïðè (t, θ, y, z, ε) ∈ Σρ1 ,ρ2 = R × Rk ×0Sm(0, ρ1 ) × Sn0 (0, ρ2 ) × (0, ε0 ) è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì ïðèσ < ρ1 , µ < ρ2 , ω = (ω1 , ..., ωk ):1. Θ ïåðèîäè÷íà ïî θ c ïåðèîäîì ω , â îáëàñòè Σ00 îãðàíè÷åíà ïîñòîÿííîé M (ε), â îáëàñòè Σσ,µ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî θ, y, z ñïîñòîÿííîé Ëèïøèöà η(ε, σ, µ), ïðè÷åì M (ε) → 0 ïðè ε → 0, η(ε, σ, µ) →0 ïðè ε, σ, µ → 0 è η(ε, 0, 0) = o(ε).2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации