Диссертация (1150437), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ñóùåñòâóåò(32)çàìåíà âèäà33s = p + ε 4 ĥ(ϕ) + εh̃(t, ϕ) + ε 4 pĤ(ϕ) + εpH̃(t, ϕ),(33)êîòîðàÿ ïåðåâîäèò ñèñòåìó (29) â ñèñòåìó 532444ṗ = L(α)ε + M (α)εp + O ε + εp + ε p , 5 √ √√344ϕ̇ = εα + G2 ε + G3 ε + G4 ε + O ε 4 + 4 εp ,√  v̇ = Av + O 4 ε ,ãäåL = S̄1 ,M = S̄2 ,G3 = α3 Ψ3 +(34)G2 = α2 Ψ2 ,Θ1+ F̂0 ,α(35)G4 = α4 Ψ4 + Θ2 − Θ1 h2 + F̃0 + 2αΨ2 F̂0 + ĥ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì çàìåíó (33) ïî t.

Ïîëó÷èìðàâåíñòâî54234S1 ε + S2 εp + O ε + εp + ε p434= ṗ 1 + ε Ĥ + εH̃ +!√√√ 3 dĥ∂ h̃ ∂ h̃ √4+ ε4εα + 4 εp + O( ε) + ε+O( 4 ε) +dϕ∂t ∂ϕ√√√ 3 dĤ4+ ε4 pεα + O( ε + 4 εp) + εpdϕ77!∂ H̃ ∂ H̃ √+O( 4 ε) ,∂t∂ϕâ êîòîðîì, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ ε, εp, ïîëó÷èì ñèñòåìóL+∂ h̃dĥα+= S1 ,dϕ∂tM+dĥ dĤ∂ H̃+α+= S2 .dϕ dϕ∂t(36)Ïðåäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü ïåðâîãî óðàâíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû â âèäå(1.1.14), ïîëó÷èì óðàâíåíèåL+dĥ∂hα+= S̄1 + Ŝ1 + S̃1 ,dϕ∂tâ êà÷åñòâå ðåøåíèÿ êîòîðîãî âîçüìåì ôóíêöèè L = S̄1 , ĥ =h̃ =R1αRŜ1 dϕ,S̃1 dt. Ïðåäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (36)â âèäå (1.1.14), ïîëó÷èì óðàâíåíèåM+ãäå H1 = S2 −Ĥ =1αRdĥdϕ .dĤ∂ H̃α+= H̄1 + Ĥ1 + H̃1 ,dϕ∂t êà÷åñòâå ðåøåíèÿ âîçüìåì ôóíêöèè M = H̄1 = S̄2 ,Ĥ1 dϕ, H̃ =RH̃dt. Çàìå÷àíèå 4. Ãëàäêîñòü ôóíêöèé G2 , G3 , G4 ïî ϕ íå íèæå 3, 2, 1ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî ñëåäóåò èç ôîðìóë (35), (17), (15), (7).Íàéäåì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé (31), (32).

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâo(4) è ôîðìóëû (1.1.7), (2.2.20), ïîëó÷èì ðàâåíñòâàα 1L = gα5 + β̄12 2ωZ2ωα 1C 3 sgn Cdϕ + b̄22 2ω0= gα5 +S 2 dϕ =(37)0β̄1 + b̄2α,5α 1M = 5gα4 + β̄12 2ωZ2ωα 1C 3 sgn Cdϕ + b̄22 2ω0= 5gα4 +Z2ωZ2ω0β̄1 + b̄2.578S 2 dϕ =(38)+b̄2 ñèñòåìå (34) ïðèìåì α4 = − β̄15g, ïîëàãàÿ ïðè ýòîì âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâàβ̄1 +b̄2g< 0. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà (37), (38), ñèñòåìà (34)ïðèìåò âèä 532444ṗ = M εp + O ε + εp + ε p , 5 √ √√344ϕ̇ = εα + G2 ε + G3 ε + G4 ε + O ε 4 + 4 εp ,√  v̇ = Av + O 4 ε ,ãäå M = − 54 (β̄1 + b̄2 ).Ëåììà 5.

Ñóùåñòâóåò(39)çàìåíà âèäà√√3ϕ = ψ + f1 (ψ) 4 ε + f2 (t, ψ) ε + f3 (t, ψ)ε 4 + f4 (t, ψ)ε,(40)ïðèâîäÿùàÿ ñèñòåìó (39), ê ñèñòåìå 532444ṗ = M εp + O ε + εp + ε p , 5 √ √√344ψ̇ = εα + d2 ε + d3 ε + d4 ε + O ε 4 + 4 εp ,√  v̇ = Av + O 4 ε ,(41)ãäå d2, d3, d4 êîíñòàíòû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì çàìåíó (40) ïî t. Ïîëó÷èìðàâåíñòâî√4√3∂G2εα + G2 ε +f1 + G3 ε 4 +∂ψ 2 5 √ 1 ∂ G2 2 ∂G2∂G3+f1 +f2 +f1 + G4 ε + O ε 4 + 4 εp =22 ∂ψ∂ψ∂ψ√ 5 √ √344=εα + d2 ε + d3 ε + d4 ε + O ε 4 + 4 εp ×√√ ∂f23 ∂f33 ∂f3df1 √ ∂f2∂f4∂f44× 1+ ε+ ε+ ε4+ε+ ε+ ε4+ε.dψ∂ψ∂ψ∂ψ∂t∂t∂t79Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ√3ε, ε 4 , ε, ïîëó÷èì ñèñòåìóóðàâíåíèédf1∂f2d2 +α+= G2 ,dψ∂tdf2∂f3α+= G3 + d3 +dψ∂tdf3∂f4d4 +α+= G4 +dψ∂tdf1∂f2− d3 . − d2∂ψdψ∂G2df1f1 − d2 ,∂ψdψ21 ∂ G2 2 ∂G2∂G3f+f+f1 −22 ∂ψ 2 1∂ψ∂ψ(42)Äàííàÿ ñèñòåìà èìååò âèä ñèñòåìû (1.3.38), ñëåäîâàòåëüíî äëÿ íååñóùåñòâóåò ðåøåíèå, íåïðåðûâíîå è ïåðèîäè÷åñêîå ïî t è ãëàäêîå è ïåðèîäè÷åñêîå ïî ϕ.Ñäåëàåì â ñèñòåìå (41) çàìåíó ïåðåìåííûõ1p = ε 8 η.(43)Ïîëó÷èì ñèñòåìó 9η̇ = M εη + O ε 8 , 5348(44)ψ̇ = γ(ε) + O ε + ε η ,√  v̇ = Av + O 4 ε ,√√3ãäå γ(ε) = 4 εα + d2 ε + d3 ε 4 + d4 ε.

Äëÿ äàííîé ñèñòåìû âûïîëíÿþò-ñÿ âñå óñëîâèÿ ëåììû Õåéëà, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûéäâóìåðíûé òîð11η = ε 8 I(t, ψ, ε),v = ε 8 V (t, ψ, ε)è ñïðàâåäëèâà80Òåîðåìà. Ïóñòü â ñèñòåìå (1) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîβ̄1 +b̄2g<0(ñòð. 78). Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûéäâóìåðíûé òîð2x = ε α + ε R(t, ϕ, ε) C(ϕ),31348y = −ε α + ε R(t, ϕ, ε) S(ϕ),12181z = ε 8 D(t, ϕ, ε),ãäå ôóíêöèè R, D äèôôåðåíöèðóåìû ïî t, ïåðèîäè÷íû ïî t, ϕ è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ϕ.

Ê òîìó æå, ïðè β̄1 +b̄2 > 0 è îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöûA ýòîò òîð àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâ.81ÄÎÏÎËÍÅÍÈÅÑâîéñòâî 1. Ôóíêöèÿ C(ϕ) ÷åòíàÿ, à S(ϕ) íå÷åòíàÿ .Äåéñòâèòåëüíî, ñèñòåìà (1.1.3) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåí ϕíà −ϕ, x(ϕ) íà x(−ϕ), y(ϕ) íà −y(−ϕ).Ñâîéñòâî 2. Ãëàäêîñòü ôóíêöèé C(ϕ), S(ϕ) ðàâíà ñîîòâåòñòâåí-íî 3 è 2.Ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóë (1.1.6).Ñâîéñòâî 3'.

Ôóíêöèÿ C(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò íà ïðîìå-æóòêå [0, ϕω ] è ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå [ϕω , 2ω],ãäå ϕω ïåðâîå çíà÷åíèå, êîãäà C(ϕω ) = −1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ ω2 ïåðâîå çíà÷åíèå, êîãäà C(ϕ ω2 ) = 0.Èç âòîðîãî ðàâåíñòâà ôîðìóë (1.1.6) ñëåäóåò, ÷òî íà ïðîìåæóòêå [0, ϕ ω2 ]ôóíêöèÿ S(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, ïðè÷åì S(ϕ ) =ω2q23,à èçïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ C(ϕ) íà äàííîì ïðîìåæóòêåñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (ϕ ω2 , ϕω ] ôóíêöèÿ C(ϕ) < 0.Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå ò.å., ÷òî ñóùåñòâóåò ϕ0 ∈ (ϕ ω2 ,ϕω ) : C(ϕ0 ) = 0 è C(ϕ) < 0 ïðè ϕ ∈ (ϕ ω2 , ϕ0 ). Ïîñêîëüêó, íà äàííîì èíòåðâàëå S(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò, ÷òî ñëåäóåò èç ôîðìóë (1.1.6),òî S(ϕ0 ) = −q23.Èç íåïðåðûâíîñòè S(ϕ) íà èíòåðâàëå [ϕ ω2 , ϕ0 ], ñëåäóåòñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ϕ1 ∈ (ϕ ω2 , ϕ0 ) : S(ϕ1 ) = 0, à ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó(1.1.7), ïîëó÷èì C(ϕ1 ) = −1.

Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ñâîéñòâà 30 .Cëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ S(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò, íî S(ϕ) ≥ 0,82ïðè÷åì S(ϕω ) = 0. Ïîýòîìó èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ôîðìóë (1.1.6), âûòåêàåò, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (ϕ ω2 , ϕω ] ôóíêöèÿ C(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò.Íà ïðîìåæóòêå (ϕω , ϕ 3ω ], ãäå ϕ 3ω ïåðâîå çíà÷åíèå, êîãäà22C(ϕ 3ω2 ) = 0, ôóíêöèÿ S(ϕ) < 0 è ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò, ïðè÷åìqS(ϕ 3ω2 ) = − 23 . Ïîýòîìó íà äàííîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ C(ϕ) ñòðîãîìîíîòîííî âîçðàñòàåò.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (ϕ 3ω , 2ω] ôóíêöèÿ C(ϕ) > 0,2ñëåäîâàòåëüíî S(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, íî S(ϕ) ≤ 0, ïðè÷åìS(ϕ2ω ) = 0. Ïîýòîìó, êàê ñëåäóåò èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ôîðìóë (6),ôóíêöèÿ C(ϕ) ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà äàííîì ïðîìåæóòêå.Ñâîéñòâî 3' äîêàçàíî.Ñâîéñòâî 3. Äëÿëþáîãî çíà÷åíèÿ ϕ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàC(ϕ + ω) = −C(ϕ),S(ϕ + ω) = −S(ϕ).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x = C(ϕ) íà ïðîìåæóòêå(0, ϕω ), ãäå ϕω ïåðâîå çíà÷åíèå, êîãäà C(ϕω ) = −1. Òàê êàê äàííàÿôóíêöèÿ îïðåäåëåíà, ïî ñâîéñòâó 30 ñòðîãî ìîíîòîííà è èìååò ïðîèçâîäíóþ íà äàííîì èíòåðâàëå, òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ϕ = C −1 (x) òàêæåîïðåäåëåíà, ñòðîãî ìîíîòîííà è èìååò ïðîèçâîäíóþ íà èíòåðâàëå (−1, 1),ïðè÷åì ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîϕ0 = (C −1 (x))0 = − q83123−2 33 x sgn x.(1)Èç äàííîé ôîðìóëû ñëåäóåò ôîðìóëàC(ϕ)Z−qϕ=1dx23.(2)2 33 x sgn x− ôîðìóëå (2) âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ x = cos t, ãäå0 < t ≤ θ < π . Ïîëó÷èì ôîðìóëóC −1 (cos θ) =Zθsin tdtq023−.233 (cos t sgn cos t)Íà èíòåðâàëå (ϕω , 2ω) àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (2) áóäåì èìåòü ôîðìóëóϕ0 = (C −1 (x))0 = q123−,(3)2 33 x sgn xèç êîòîðîé ñëåäóåò ôîðìóëàC(ϕ)Zϕ − ϕω =−q−1dx23−.2 33 x sgn xÄåëàÿ â äàííîé ôîðìóëå çàìåíó ïåðåìåííûõ x = cos t, ãäåπ < t ≤ θ < 2π , ïîëó÷àåì ôîðìóëóC −1 (cos θ) − ϕω =Zθ−qπsin tdt23−.(4)233 (cos t sgn cos t)Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òîZπ| sin t|dtq023−Z2π=233 (cos t sgn cos t)| sin t|dtqπ23−,233 (cos t sgn cos t)èç ÷åãî ïîëó÷àåì, ÷òî ϕω = ω .Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x = C(ϕ) íà ïðîìåæóòêàõ(nω, (n + 1)ω), ãäå n = 2, 3, ...

è, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (1), (3),84ïîëó÷èì ðàâåíñòâàC(ϕ)Zϕ − nω =dxq−123−C(ϕ)Zϕ − nω =−q1,2 33 x sgn x(5)dx23,2 33 x sgn x−êîãäà n íå÷åòíîå, ÷åòíîå ñîîòâåòñòâåííî. Ñäåëàåì â ðàâåíñòâàõ (5)çàìåíó ïåðåìåííûõ x = cos t, ãäå nπ < t ≤ θ < (n + 1)π ,cos θ = C(ϕ).(6)Ïîëó÷èì ðàâåíñòâîC −1 (cos θ) − nω =Zθ| sin t|dtqπn23−.(7)233 (cos t sgn cos t)Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåω = C −1 (cos(θ + π)) − C −1 (cos θ),(8)ãäå θ ëþáîå ÷èñëî.Äëÿ ïðîìåæóòêà π(n+1) < θ+π < π(n+2), n = 0, 1, 2, ..., èñïîëüçóÿôîðìóëó (7), ïîëó÷èì ôîðìóëóZθ+πC −1 (cos(θ + π)) − ω(n + 1) =| sin t|dtqπ(n+1)23−,(9)233 (cos t sgn cos t)ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîé ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ t = ψ + π ,πn < ψ < θ, åñòü ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (7). Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (8), ò.

å. ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî C(ϕ + ω) =cos(θ +85π), èç êîòîðîãî è ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì ôîðìóëó C(ϕ + ω) = −C(ϕ).Äèôôåðåíöèðóÿ äàííóþ ôîðìóëó, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî S(ϕ+ω) = −S(ϕ).Ñâîéñòâî 3 äîêàçàíî.Åñëè â ôóíêöèè âèäà C pS q , ãäå p è q öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë íå÷åòíî, òî ñðåäíåå çíà÷åíèåýòîé ôóíêöèè åñòü íîëü.Ñâîéñòâî 4.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZ2ωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ =0ZωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ +0Z2ωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ.0Ñäåëàåì âî âòîðîì èíòåãðàëå ïðàâîé ÷àñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ ϕ = θ+ω ,0 ≤ θ ≤ ω . Ïîëó÷èì ôîðìóëóZ2ωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ =0ZωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ + (−1)p+qZω0C p (θ)S q (θ)dθ,(10)0èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî åñëè îäíî èç ÷èñåë íå÷åòíî, à äðóãîå ÷åòíî,òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè âèäà C p S p åñòü íîëü.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â ðàâåíñòâå (10) îáà ÷èñëà p è q íå÷åòíû.Òîãäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâîZ2ωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ = 20ZωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ.0Çàïèøåì èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (11) â âèäåZω0ωC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ =Z2C p (ϕ)S q (ϕ)dϕ +Zωω2086C p (ϕ)S q (ϕ)dϕ,(11)è ñäåëàåì âî âòîðîì èíòåãðàëå ïðàâîé ÷àñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ ϕ == ω − ϑ,Zω0ω2≤ ϑ ≤ 0.

Ïîëó÷èì ðàâåíñòâîC p (ϕ)S q (ϕ)dϕ =ωωZ2Z2C p (ϕ)S q (ϕ)dϕ + (−1)p00îòêóäà è âûòåêàåò óòâåðæäåíèå ñâîéñòâà 4. 87C p (ϑ)S q (ϑ)dϑ,ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ äèññåðòàöèè ðàññìàòðèâàëîñü óðàâíåíèå âèäàẍ + x2 sgn x = Y1 (t, x, ẋ),(1)à òàêæå åå ãèïåðáîëè÷åñêîå ëèíåéíîå ðàñøèðåíèåẋ = y + X(t, x, y, z, ε),ẏ = −x2 sgn x + Y2 (t, x, y, z, ε), , ż = Az + Z(t, x, y, z, ε),(2)ãäå z = (z1 , . . . , zn )T , X , Y1 , Y2 , Z íåëèíåéíîñòè äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ïîïåðåìåííûì x, ẋ, y , z , ε â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ, íåïðåðûâíûå è ïåðèîäè÷åñêèå ïî t ñ ïåðèîäîì 2π . Ïîëàãàëîñü òàêæå, ÷òî ïîðÿäîê ìàëîñòèY1 , Y2 ïî ïåðåìåííûì x, ẋ, y , z , ε íå íèæå ïÿòîãî, åñëè x ïðèïèñûâàòü âòîðîé ïîðÿäîê, ẋ è y òðåòèé, à zi è ε ÷åòâåðòûé è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî X(t, 0, 0, 0, ε) = Y1 (t, 0, 0, 0, ε) = Y2 (t, 0, 0, 0, ε) = Z(t, 0, 0, 0, ε) = 0.Ìàòðèöà A ãèïåðáîëè÷åñêàÿ.Áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:1.

Характеристики

Список файлов диссертации