Автореферат (1150436)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиДороденков Александр АлександровичУСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИЯМНОГОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОЗМУЩЕНИЯХ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКАСпециальность 01.01.02 – дифференциальныеуравнения, динамические системыи оптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2015Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственномуниверситете.Научный руководитель: доктор физико-математическихнаук, профессор Бибиков Юрий Николаевич.Официальные оппоненты: доктор физико-математическихнаук, профессор Белан Евгений Петрович (КрымскийФедеральный университет имени В.И.Вернадского), профессоркафедрыдифференциальныхуравненийигеометрииТаврической академии;кандидат физико-математических наук, доцент Иванов БорисФилиппович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров), заведующийкафедрой высшей математики.Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственныйэлектротехнический университет "ЛЭТИ".Защита состоится " 23 " декабря 2015 г.

в 16 час. 00 мин. назаседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе СанктПетербургского государственного университета по адресу: 199004,Санкт-Петербург, 10-я линия, д. 33. Ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в НаучнойбиблиотекеимениМ. ГорькогоСанкт-Петербургскогогосударственногоуниверситетапоадресу:199034,Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайтеhttp : //spbu.ru/disser2/641/disser/dorodenkov diss.pdf.Автореферат разослан ""Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.232.49,доктор физико-математических наук2015 г.Ю. В. ЧуринАктуальность темыВ 1892 году А. М. Ляпунов в работе "Общая задача об устойчивости движения" заложил основы теории устойчивости движения.

В частности, он исследовал устойчивость постоянногои периодического движений в критическом случае одной парычисто мнимых корней характеристического уравнения. Именноэтот случай возникает при исследовании возмущения линейногоосциллятора ẍ + λ2 x = 0. Позднее А. А. Андронов и независимоот него Э. Хопф исследовали при наличии в автономном возмущении малого параметра ответвление от нулевого решенияпредельного цикла (так называемая бифуркация Андронова –Хопфа).

В 60-е годы аналогичная проблема для периодическихвозмущений была решена Ю. И. Неймарком и Р. Сакером. Ониустановили, что при периодическом возмущении имеет местобифуркация рождения двумерного инвариантного тора.В 1893 году А. М. Ляпунов исследовал устойчивость нулевогорешения системы, которая возникает при исследовании автономного возмущения осциллятора видаẍ + x2n−1 = 0,(1)где n — натуральное число, n ≥ 2. Он рассматривал уравнениеẍ + x2n−1 = X(x, ẋ),(2)где X(x, y) — аналитическая функция переменных x, y в окрестности начала координат, причем разложение X по степеням x, yне содержит членов порядка меньше 2n, если переменной x приписывать порядок единица, а переменной y — порядок n.

ПодходЛяпунова заключается в следующем. В системеẋ = y,ẏ = −x2n−1 + X(x, y),(3)эквивалентной уравнению (2), вводятся координаты r, ϕ согласно формулам x = rCs(ϕ), y = −rn Sn(ϕ), r > 0, где (Cs(ϕ), Sn(ϕ))3dxdy= −y,= x2n−1 с начальными даннымиdϕdϕCs(0) = 1, Sn(0) = 0. При n = 1 функции Cs(ϕ), Sn(ϕ) превращаются в cos(ϕ), sin(ϕ) соответственно. Основное тригонометрическое тождество соответствует тождеству nSn2 (ϕ) + Cs2n (ϕ) =1. Обозначим период функций Cs(ϕ), Sn(ϕ) через 2ω. В координатах r, ϕ система (3) имеет вид1 ṙ = − n−1 X(rCs, −rn Sn)Sn,r(4) ϕ̇ = rn−1 − 1 X(rCs, −rn Sn)Cs.rnИсключая в данной системе t, получим уравнениеdr= R2 (ϕ)r2 + R3 (ϕ)r3 + . . . ,dϕправая часть которого представляет собой сходящийся при достаточно малых r ряд с 2ω-периодическими коэффициентами.Тем самым вопрос об устойчивости при автономном возмущениинелинейного осциллятора решается аналогично случаю автономного возмущения линейного осциллятора.

Если возмущение зависит от малого параметра, то возникает задача о бифуркациирождения из положения равновесия предельного цикла при прохождении малого параметра через нулевое значение. Она решается аналогично задаче о бифуркации Андронова–Хопфа вслучае линейного осциллятора.Случай периодических возмущений осциллятора (1) при n =2, т. е. уравнение ẍ+x3 = X(t, x, ẋ, ε), 0 ≤ ε << 1, был исследованЮ.

Н. Бибиковым [3] как в направлении исследования устойчивости нулевого решения при ε = 0, так и в направлении бифуркации рождения инвариантного тора при ε > 0. Заметим, чтоописанный выше подход Ляпунова неприменим в периодическомслучае, так как исключение t в системе (4) в этом случае непредставляется возможным. Кроме того, принципиальным является то, что в отличие от случая n = 1, исследованного ранее в— решение системы4работах Неймарка и Сакера, частота невозмущенных колебанийявляется бесконечно малой функцией амплитуды.Естественным продолжением этих исследований является случай, когда восстанавливающая сила (которая должна быть нечетной функцией) имеет вид x2 sgn x.

Эта задача, а также ееобобщение на случай многомерных систем являются объектамиисследований в диссертации.Цель работыЦелью работы является получение условий наличия асимптотической устойчивости или неустойчивости при ε = 0 и бифуркации рождения инвариантного тора и его асимптотическойустойчивости при ε > 0 для системẋ = y,иẏ = −x2 sgn x + Y (t, x, y, ε),ẋ = y + X(t, x, y, z, ε),ẏ = −x2 sgn x + Y (t, x, y, z, ε), z = (z1 , .

. . , zn ). ż = Az + Z(t, x, y, z, ε),(5)(6)Методы исследованийДля изучения устойчивости применяются методы Ляпунова,для бифуркации — теория инвариантных поверхностей, заложенная Крыловым и Боголюбовым, и получившая дальнейшееразвитие в работах многих математиков, в частности, в работахДж. Хейла, лемма которого [2] существенно используется в диссертации.Основные результаты работыПолучены достаточные условия наличия асимптотической устойчивости или неустойчивости при ε = 0 и существования инвариантного тора и его асимптотической устойчивости при ε > 0для систем (5), (6).5Научная новизна и апробацияОсновные результаты диссертации являются новыми.По содержанию диссертации сделана серия докладов на заседаниях Городского семинара по дифференциальным уравнениям(руководитель семинара член-корреспондент РАН В.

А. Плисс).Публикации результатовРезультаты исследований отражены в работах [3, 4, 5]. В статье [3] соискателю принадлежит § 2 о существовании инвариантного тора для соответствующей системы. Статьи [3, 4, 5] опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов и изданий.Теоретическая и практическая ценностьРабота имеет теоретический характер.

Ее результаты могутбыть использованы при исследовании многочастотных колебаний.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, двух глав, дополнения, заключения и списка литературы, включающего 14 наименований.Объем диссертации 91 страница.Содержание диссертацииВ первой главе в указанных двух направлениях изучаетсядифференциальное уравнение видаẍ + x2 sgn x = Y (t, x, ẋ, ε),(7)где Y — достаточно гладкая по x, ẋ, ε нелинейность.

Ее порядокмалости не ниже пятого, если полагать, что x имеет второйпорядок, ẋ — третий, ε — четвертый. Предполагается также,что функция Y непрерывна и периодична по t с периодом 2π, ивыполняется соотношение Y (t, 0, 0, ε) = 0.6Следуя Ляпунову, введем обобщенные полярные координаты.Для этого в эквивалентной уравнению (7) системе (6), гдеY (t, x, y, ε) = a1 (t)xy + a2 (t)y 2 + a3 (t)x3 + a4 (t)x2 y++ b1 (t)εx + b2 (t)εy + Y ∗ ,а порядок малости Y ∗ не ниже восьмого в указанном выше смысле, выполняется замена переменныхx = ρ2 C(ϕ),y = −ρ3 S(ϕ),(8)где ρ > 0, функции C(ϕ) и S(ϕ) — решение системыdx= −y,dϕdy= x2 sgn xdϕс начальными данными C(0) = 1, S(0) = 0. Очевидно, чтофункции C(ϕ), S(ϕ) — периодические, порядок их гладкостиравен 3 и 2 соответственно, и справедливо тождество3S 2 (ϕ) + 2C 3 (ϕ) sgn C(ϕ) = 2.В результате замены получим системуρ̇ = −SY (t, ρ2 C, −ρ3 S, ε),2ρ2ϕ̇ = ρ −CY (t, ρ2 C, −ρ3 S, ε),ρ3которую можно представить в видеρ̇ = P3 (t, ϕ)ρ3 + P4 (t, ϕ)ρ4 + P5 (t, ϕ)ρ5 +622 + Q1 (t, ϕ)ε + Q2 (t, ϕ)ερ + O(ρ + ερ + ε ),ϕ̇ = ρ + Φ2 (t, ϕ)ρ2 + Φ3 (t, ϕ)ρ3 + Φ4 (t, ϕ)ρ4 +µ¶2 + Θ (t, ϕ) ε + Θ (t, ϕ)ε + O ρ5 + ερ + ε .12ρρ(9)Здесь и в дальнейшем функции, зависящие от переменных t, ϕ,— периодические с периодами 2π, 2ω соответственно.В первом параграфе рассматривается вопрос об устойчивости нулевого решения при ε = 0.

Доказывается, что существует7замена переменных видаρ = r + h2 (ϕ)r2 + h3 (t, ϕ)r3 + h4 (t, ϕ)r4 + h5 (t, ϕ)r5 ,в результате которой получим систему(ṙ = g r5 + O(r6 ),ϕ̇ = r + Ψ2 (t, ϕ)r2 + Ψ3 (t, ϕ)r3 + O(r4 ),(10)(11)где g — так называемая константа Ляпунова, которая, вообщеговоря, отлична от нуля и равна среднему значению от выраженияµ¶µZa4 2 23a1ā1ā222C S +CS − CS−S 3 dϕ−2222µZ¶2Z2 ZCSā21ā332C Sdϕ +(a1 − ā1 )dϕ +CS dϕ −−224¶¶2µZZā2133 3222−C S dϕ + a1 ā1 CSCS dϕ −28ZZā21ā13 322 43− a1 C SCS dϕ + a2 C S − ā1 a2 SCS 2 dϕ−22µ Z¶³Zā1ā23222− S3 −− ā1 a3 C S CS dϕ −CS dϕ + a1 C S22Z22ā3āā− C 3 S + 1 CS 2 CS 2 dϕ − 1 C 3 S 3 +222¶¶µ¶Z3∂ h̃4S3(a1 − ā1 )dϕ−+ SC sgn C −.2∂ϕЗдесь и далее черта над символом означает среднее значение,под неопределенным интегралом будем понимать первообразную, среднее значение которой равно нулю. Заметим, что первоеслагаемое имеет ненулевое среднее значение, если ā4 6= 0.Теорема. Если g < 0, то нулевое решение уравнения (7)асимптотически устойчиво, если g > 0, то оно неустойчиво.Во втором параграфе рассматривается случай когда ε > 0.C помощью нескольких замен система (9) приводится к виду,8гарантирующему существование инвариантного тора.

Сначалазаменой (10) приходим к системеṙ = gr5 + Q1 (t, ϕ)ε + Q2 (t, ϕ)εr + O(r6 + εr2 + ε2 ),ϕ̇ = r + Ψ2 (t, ϕ)r2 + Ψ3 (t, ϕ)r3 + Ψ4 (t, ϕ)r4 +2 + Θ1 (t, ϕ) ε + Θ2 (t, ϕ)ε + O(r5 + εr + ε ).rrЗатем заменой√r = 4 ε(α + z),(12)где |z| < α, α > 0 избавляемся от особенностей правой части.Получим систему³ 5´3244ż = Q1 (t, ϕ)ε + Z1 (t, ϕ)ε + Z2 (t, ϕ)εz + O ε + εz ,√√3ϕ̇ = 4 εα + E2 (t, ϕ) ε + E3 (t, ϕ)ε 4 + E4 (t, ϕ)ε+³ 5√√ ´3 +√4εz + E5 (t, ϕ) εz + O ε 4 + ε 4 z + εz 2 .Далее заменой вида√√3z = u + εF̂0 (ϕ) + ε 4 F̃0 (t, ϕ) + εuF1 (ϕ)+√√+ εu2 F2 (ϕ) + εu3 F3 (ϕ)(13)3избавляемся от члена Q1 (t, ϕ)ε 4 . Получим систему³ 5´3244 + εu + ε 4 uu̇=U(t,ϕ)ε+U(t,ϕ)εu+Oε,12√√3ϕ̇ = 4 εα + G2 (t, ϕ) ε + G3 (t, ϕ)ε 4 + G4 (t, ϕ)ε+³ 5√√ ´3 +√4εu + G5 (t, ϕ) εu + O ε 4 + ε 4 u + εu2 ,Заменой вида33u = v + ε 4 Ĥ(ϕ) + εH̃(t, ϕ) + ε 4 v ĥ(ϕ) + εv h̃(t, ϕ)приходим к системе´³ 53244 + εv + ε 4 v,v̇=L(α)ε+M(α)εv+Oε√√3ϕ̇ = 4 εα + H2 (t, ϕ) ε + H3 (t, ϕ)ε 4 + H4 (t, ε)ε+³ 5√ ´√3 +√4εv + H5 (t, ϕ) εv + O ε 4 + ε 4 v + εv 2 ,9(14)гдеb̄2b̄2α, M (α) = 5gα4 + .(15)55Уравнение L(α) = 0 называется бифуркационным уравнением,так как каждому его положительному решению соответствуетинвариантный тор (это будет показано в дальнейшем), определяемый уравнением (12).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации