Автореферат (1150436), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть α∗ — положительный кореньуравнения L(α) = 0, что равносильно выполнению неравенстваb̄24< 0. Тогда M (α∗ ) = M ∗ = − b̄2 6= 0. Таким образом системаg5примет вид³ 5´3∗244 + εv + ε 4 vv̇=Mεv+Oε,√√3ϕ̇ = 4 εα + Ω2 (t, ϕ) ε + Ω3 (t, ϕ)ε 4 + Ω4 (t, ϕ)ε+³´ + O ε 54 + √4εv .L(α) = gα5 +И, наконец, сделав замены вида√√3ϕ = ψ + 4 εf1 (ψ) + εf2 (t, ψ) + ε 4 f3 (t, ψ) + εf4 (t, ψ),1v = ε 8 η,(16)(17)получим систему³ 9´∗ η̇ = M εη + O ε 8 ,³ 5´√33 ψ̇ = √4εα + d2 ε + d3 ε 4 + d4 ε + O ε 4 + ε 8 η ,где di — константы. Известно, что для данной системы существует инвариантный двумерный тор, задаваемый уравнением1η = ε 8 B(t, ψ, ε),(18)где функция B(t, ψ, ε) — непрерывна и периодична по t, ψ.Из формул (8), (10), (13)–(18) следует, что справедливаТеорема.

При достаточно малом ε и выполнении неравенb̄2ства< 0 существует инвариантный двумерный тор дляg10уравнения (7)´2x = ε α + ε A(t, ϕ, ε) C(ϕ),³´313∗44ẋ = −ε α + ε A(t, ϕ, ε) S(ϕ),12³∗14где функция A(t, ϕ, ε) непрерывна и периодична по t, ϕ с периодом 2π, 2ω. К тому же, при b̄2 > 0 тор асимптотическиустойчив.Таким образом, имеет место бифуркация рождения инвариантного тора из положения равновесия при прохождении малогопараметра через нулевое значение.Если рассматриваемая система автономна, то имеет местобифуркация рождения предельного цикла из положения равновесия, т. е. аналогично бифуркации Андронова–Хопфа. В этомслучае рассуждения существенно упрощаются. Эти результатыизложены в § 4.Во второй главе исследуется в двух указанных выше направлениях система (6).

Однако, сначала в § 1 рассматриваетсяслучай системы типа (6), где восстанавливающая сила x2 sgn xзаменена на более простую для исследования восстанавливающую силу x3 . Таким образом, § 1 можно рассматривать как эталонный по отношению к двум следующим.Пусть в системе (6) функции X, Y , Z — достаточно гладкиенелинейности по переменным x, y, zi и малому параметру ε внекоторой окрестности нуля, а порядок малости функции Y нениже пятого, если x приписывать второй порядок, y — третий,а zi и ε — четвертый. Положим также, что данные функции непрерывны и 2π-периодичны по t и выполняются равенстваX(t, 0, 0, 0, ε) = 0, Y (t, 0, 0, 0, ε) = 0, Z(t, 0, 0, 0, ε) = 0, матрица A— гиперболическая.11Таким образом, функции X, Y можно представить в видеX = α1 (t)x2 + α2 (t)xy + α3 (t)y 2 + α4 (t)x3 + β1 (t)εx++ β2 (t)εy + γ1 (t)zx + γ2 (t)zy + X ∗ ,Y = a1 (t)xy + a2 (t)y 2 + a3 (t)x3 + a4 (t)x2 y + b1 (t)εx++ b2 (t)εy + c1 (t)zx + c2 (t)zy + Y ∗ .Во втором параграфе в предположении, что вещественныечасти всех собственных чисел матрицы A отрицательны, исследуется на устойчивость положение равновесия системы приε = 0.

Сначала находится константа Ляпунова g (аналогичнотому, как это было сделано в первой главе), затем применяетсявторой метод Ляпунова.Теорема. Если g < 0, то нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво, а если g > 0, то оно неустойчиво.В третьем параграфе выводится бифуркационное уравнение,аналогичное бифуркационному уравнению из главы 1, и доказывается существование инвариантного двумерного тора при ε > 0для системы (6).β̄1 + b̄2Теорема.

Пусть выполняется неравенство< 0. Тогдаgпри достаточно малом ε для системы (6) существует инвариантный двумерный тор³´211x = ε 2 α∗ + ε 8 R(t, ϕ, ε) C(ϕ),³´331y = −ε 4 α∗ + ε 8 R(t, ϕ, ε) S(ϕ),1z = ε 8 D(t, ϕ, ε),где R, D — непрерывные, удовлетворяющие условию Липшицапо ϕ функции. К тому же, при β̄1 + b̄2 > 0 и отрицательностидействительных частей всех собственных чисел матрицы Aэтот тор асимтотически устойчив.12ЗаключениеДля системы вида (5) и его гиперболического линейного расширения (6) получены следующие результаты: 1) найдены достаточные условия наличия асимптотической устойчивости и неустойчивости (5) и (6) при ε = 0, 2) найдены достаточные условиясуществования инвариантного двумерного тора (бифуркация)для (5) и (6) при ε > 0, 3) найдены достаточные условия наличия асимптотической устойчивости инвариантных торов.Для исследования (5) и (6) применялся метод разделенияпеременных.Принципиальное отличие настоящей работы от предшествующих исследований состоит в том, что частота невозмущенныхколебаний является бесконечно малой функцией амплитуды.Список литературы1.

Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой // Мат. заметки. 1999. Т. 65. Вып. 3. С. 1864–1881.2. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential system// Ann. of Math. 1961. Vol. 73. № 3. P. 496–531.Публикации автора по теме диссертации3.

Бибиков Ю. Н., Букаты В. Р., Дороденков А. А.Регулярные и сингулярные периодические возмущенияосциллятора с кубической восстанавливающей силой// Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 2.С. 79–89.4. Дороденков А. А. Устойчивость и бифуркация рождения инвариантных торов из положения равновесия существенно нелинейного дифференциального уравнениявторого порядка // Вестник Санкт-Петербург. ун-та.Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 20–27.135. Дороденков А. А. Устойчивость и бифуркация положения равновесия одной существенно нелинейной системы // Вестник Санкт-Петербург.

ун-та. Сер.1. 2013.Вып. 1. С. 68–71.1415Отпечатано ИП Ятел Ю.О.199178, г. Санкт-Петербург, В.О. 14 линия, д. 37.Телефон (812) 323 86 43Заказ N 289 от 20.10.2015 г. Тир. 100 экз.16.

Характеристики

Список файлов диссертации