Диссертация (1150437), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ôóíêöèè Y, Z ïåðèîäè÷íû ïî θ ñ ïåðèîäîì ω , îãðàíè÷åííû â îáëàñòè Σ0,0 ïîñòîÿííîé M (ε), â îáëàñòè Σσ,µ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî θ, y, z ñ ïîñòîÿííîé Ëèïøèöà λ(ε, σ, µ), ïðè÷åì λ(ε, σ, µ) → 0ïðè ε, σ, µ → 0.3. A,C ãèïåðáîëè÷åñêèå ìàòðèöû.Ëåììà Õåéëà. Ñóùåñòâóåò ε1òàêîé, ÷òî ïðè 0 < ε < ε1 ñèñòåìà (18) èìååò èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå y = f (t, θ, ε), z = g(t, θ, ε),ãäå f, g ïåðèîäè÷íû ïî θ ñ ïåðèîäîì ω, óäîâëåòâîðÿåò ïî θ óñëîâèþËèïøèöà ñ ïîñòîÿííîé Ëèïøèöà ∆(ε), îãðàíè÷åíî ïîñòîÿííîé D(ε) èD(ε) → 0, ∆(ε) → 0 ïðè ε → 0.

Åñëè Θ, Y, Z ïåðèîäè÷íû ïî t, òî f, gòîæå ïåðèîäè÷íû ïî t, è â ýòîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèå y = f (t, θ, ε), z =11ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî òîðîì. Ïðè ýòîì, åñëè y(t), z(t),θ(t) ðåøåíèå ñèñòåìû (18), òîg(t, θ, ε)y(t) − f (t, θ, ε) →− 0,z(t) − f (t, θ, ε) →− 0ïðè t →− +∞, åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö A, C èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè, è ïðè t →− −∞, åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö A, C èìåþò ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü).Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (17), (16), (15), (13), (12), (11), (7), îêàçûâàåòñÿñïðàâåäëèâîéâàÒåîðåìà [13]. Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε è âûïîëíåíèè íåðàâåíñòb̄2g< 0ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé äâóìåðíûé òîð äëÿ óðàâíåíèÿ(5)2x = ε α + ε A(t, ϕ, ε) C(ϕ),313∗44ẋ = −ε α + ε A(t, ϕ, ε) S(ϕ),12∗14ãäå ôóíêöèÿ A(t, ϕ, ε) äèôôåðåíöèðóåìà ïî t, ïåðèîäè÷íà ïî t, ϕ è ëèïøèöåâà ïî ϕ.

Ê òîìó æå, ïðè b̄2 > 0 òîð àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâ.Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ èíâàðèàíòíîãîòîðà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ìàëîãî ïàðàìåòðà ÷åðåçíóëåâîå çíà÷åíèå.Åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà àâòîíîìíà, òî èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ïðåäåëüíîãî öèêëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ò.å.

áèôóðêàöèÿ ÀíäðîíîâàÕîïôà.  ýòîì ñëó÷àå ðàññóæäåíèÿ ñóùåñòâåííîóïðîùàþòñÿ.  ÷àñòíîñòè íåò íàäîáíîñòè â çàìåíå (15) è âìåñòî ëåììû12Õåéëà èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè. Ýòè ðåçóëüòàòû èçëîæåíû ⠟ 4 ãëàâû 1.Âî âòîðîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ â äâóõ âûøå óêàçàííûõ íàïðàâëåíèÿõñèñòåìàẋ = y + X(t, x, y, z, ε),ẏ = −x2 sgn x + Y (t, x, y, z, ε), , ż = Az + Z(t, x, y, z, ε),(19)ãäå z = (z1 , . . .

, zn ). Îäíàêî, ñíà÷àëà ⠟ 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ñèñòåìû òèïà (19), ãäå âîññòàíàâëèâàþùàÿ ñèëà x2 sgn x çàìåíåíà íà áîëååïðîñòóþ äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîññòàíàâëèâàþùóþ ñèëó x3 . Òàêèì îáðàçîì,Ÿ 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýòàëîííûé ïî îòíîøåíèþ ê äâóì ñëåäóþùèì.Ïóñòü â ñèñòåìå (19) ôóíêöèè X , Y , Z äîñòàòî÷íî ãëàäêèå íåëèíåéíîñòè ïî ïåðåìåííûì x, y , zi è ìàëîìó ïàðàìåòðó ε â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè íóëÿ, à ïîðÿäîê ìàëîñòè ôóíêöèè Y íå íèæå ïÿòîãî, åñëè xïðèïèñûâàòü âòîðîé ïîðÿäîê, y òðåòèé, à zi è ε ÷åòâåðòûé. Ïîëîæèìòàêæå, ÷òî äàííûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû è 2π - ïåðèîäè÷íû ïî t è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà X(t, 0, 0, 0, ε) = 0, Y (t, 0, 0, 0, ε) = 0, Z(t, 0, 0, 0, ε) = 0.Ìàòðèöà A ãèïåðáîëè÷åñêàÿ.13Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèè X , Y ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåX = α1 (t)x2 + α2 (t)xy + α3 (t)y 2 + α4 (t)x3 + β1 (t)εx++ β2 (t)εy + γ1 (t)zx + γ2 (t)zy + X ∗ ,Y = a1 (t)xy + a2 (t)y 2 + a3 (t)x3 + a4 (t)x2 y + b1 (t)εx++ b2 (t)εy + c1 (t)zx + c2 (t)zy + Y ∗ .Âî âòîðîì ïàðàãðàôå â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòèâñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A îòðèöàòåëüíû, èññëåäóåòñÿ íà óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ïðè ε = 0.

Ñíà÷àëà íàõîäèòñÿêîíñòàíòà Ëÿïóíîâà g (àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â 1 ãëàâå),çàòåì ïðèìåíÿåòñÿ âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà.Åñëè g < 0, òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìûàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, à åñëè g > 0, òî îíî íåóñòîé÷èâî.Òåîðåìà [14].(19) òðåòüåì ïàðàãðàôå âûâîäèòñÿ áèôóðêàöèîííîå óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèþ (11) è äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîãîäâóìåðíîãî òîðà ïðè ε > 0 äëÿ ñèñòåìû (19).Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî β̄ +g b̄ < 0. Òîãäàïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε äëÿ ñèñòåìû (19) ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíûé äâóìåðíûé òîðÒåîðåìà [14].122x = ε α + ε R(t, ϕ, ε) C(ϕ),331∗48y = −ε α + ε R(t, ϕ, ε) S(ϕ),12∗181z = ε 8 D(t, ϕ, ε),ãäå R, D äèôôåðåíöèðóåìûå ïî t, ïåðèîäè÷åñêèå ïî t, ϕ è óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ϕ ôóíêöèè. Ê òîìó æå, ïðè β̄1 + b̄2 > 014è îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåëìàòðèöû A ýòîò òîð àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâ.Ìåòîäû äîêàçàòåëüñòâ àíàëîãè÷íû ìåòîäàì, îïèñàííûì â ïåðâîéãëàâå, êîòîðûå áûëè çàëîæåíû â òðóäàõ Í.Ì.

Êðûëîâà è Í.Í. Áîãîëþáîâà, ïîñâÿùåííûì òåîðèè èíâàðèàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé.  äàëüíåéøåìäàííîé òåîðèåé çàíèìàëèñü, êðîìå óïîìÿíóòûõ âûøå àâòîðîâ, À.Ì. Ñàìîéëåíêî [8], Â.À. Ïëèññ [7], Ñ. Äèëèáåðòî [10], À. Êåëëè [11] è äð.Âñå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è îïóáëèêîâàíû âñòàòüÿõ [4],[13],[14].Ðàáîòà èìååò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Åå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòüèñïîëüçîâàíû ïðè èññëåäîâàíèè ìíîãî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé.15ÃËÀÂÀ 1ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÎÑÖÈËËßÒÎÐÀŸ 1. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿÐàññìîòðèì óðàâíåíèåẍ + x2 sgn x = Y (t, x, ẋ),(1)ãäå Y (t, x, ẋ) äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ íåëèíåéíîñòü ïî ïåðåìåííûì x, ẋ,ïðè |x| < x∗ , |ẋ| < x∗ è íåïðåðûâíàÿ, 2π - ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî t.

Áóäåìòàêæå ïîëàãàòü, ÷òî ïîðÿäîê ìàëîñòè íåëèíåéíîñòè ïî ïåðåìåííûì x, ẋíå íèæå ïÿòîãî, åñëè x ïðèïèñûâàòü âòîðîé ïîðÿäîê, à ẋ òðåòèé.Ñ ïîìîùüþ çàìåíû y = ẋ â óðàâíåíèè (1) ïåðåéäåì ê ñèñòåìå ẋ = y,(2) ẏ = −x2 sgn x + Y (t, x, y),ãäå Y (t, x, y) = a1 (t)xy + a2 (t)y 2 + a3 (t)x3 + a4 (t)x2 y + Y ∗ , à ôóíêöèÿ Y ∗èìååò ïîðÿäîê ìàëîñòè â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå íå íèæå âîñüìîãî.Ðàññìîòðèì ñèñòåìódx= −y,dϕdy= x2 sgn x,dϕ(3)äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåx = C(ϕ), y = S(ϕ)16(4)ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèC(0) = 1,S(0) = 0.(5)Èç ôîðìóë (3), (4) âûòåêàþò ðàâåíñòâàdC(ϕ)= −S(ϕ),dϕdS(ϕ)= C 2 (ϕ) sgn C(ϕ),dϕ(6)èç êîòîðûõ è ðàâåíñòâ (5) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå3S 2 (ϕ) + 2C 3 (ϕ) sgn C(ϕ) = 2.(7)Èç äàííîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè C(ϕ), S(ϕ) ïåðèîäè÷åñêèå ñíåêîòîðûì íàèìåíüøèì ïåðèîäîì 2ω.Ñâîéñòâî 1.

Ôóíêöèÿ C(ϕ) ÷åòíàÿ, à S(ϕ) íå÷åòíàÿ .Ñâîéñòâî 2. Ãëàäêîñòü ôóíêöèé C(ϕ), S(ϕ) ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî 3 è 2.Ñâîéñòâî 3. Äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ϕ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàC(ϕ + ω) = −C(ϕ),S(ϕ + ω) = −S(ϕ).(8)Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè âèäà C pS q , ãäå p è q ÷èñëà 0, 1, 2..., òîëüêî òîãäà íå ðàâíî íóëþ, êîãäà p è q ÷åòíûå.Ñâîéñòâî 4. ñèñòåìå (2), ñëåäóÿ À. Ì. Ëÿïóíîâó, ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõx = ρ2 C(ϕ),y = −ρ3 S(ϕ),(9)â êîòîðîé ïîëîæèì ρ > 0.

Ïîëó÷èì ñèñòåìóS23 ρ̇ = − 2 Y (t, ρ C, −ρ S),2ρC ϕ̇ = ρ − 3 Y (t, ρ2 C, −ρ3 S),ρ17(10)ãäå Y (t, ρ2 C, −ρ3 S) = −a1 (t)CSρ5 + a2 (t)S 2 ρ6 + a3 (t)C 3 ρ6 − a4 (t)C 2 Sρ7 +O(ρ8 ). Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ çàìåíó (9) â ñèñòåìó (2), ïîëó÷èì ñèñòåìó 2ρρ̇C − ρ2 S ϕ̇ = −ρ3 S,(11) 3ρ2 ρ̇S − ρ3 C 2 sgn C ϕ̇ = −ρ4 C 2 sgn C + Y.Óìíîæèìòåïåðüïåðâîåóðàâíåíèåäàííîéñèñòåìûíà−ρC 2 sgn C , âòîðîå íà S . Ïîëó÷èì ñèñòåìó − 2ρ2 ρ̇C 3 sgn C + ρ3 SC 2 sgn C ϕ̇ = ρ4 SC 2 sgn C, 3ρ2 ρ̇S 2 − ρ3 SC 2 sgn C ϕ̇ = −ρ4 SC 2 sgn C + SY.Ñêëàäûâàÿ äàííûå óðàâíåíèÿ è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷èì ïåðâîåóðàâíåíèå ñèñòåìû (10).

Äàëåå óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (11)íà 3ρS , âòîðîå íà 2C . Ïîëó÷èì ñèñòåìó 6ρ2 ρ̇CS − 3ρ3 S 2 ϕ̇ = −3ρ4 S 2 , − 6ρ2 ρ̇SC − 2ρ3 C 3 sgn C ϕ̇ = −2ρ4 C 3 sgn C + 2CY.Ñêëàäûâàÿ äàííûå óðàâíåíèÿ è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷èì âòîðîåóðàâíåíèå ñèñòåìû (10).Çàïèøåì ñèñòåìó (10) â âèäå ρ̇ = P3 ρ3 + P4 ρ4 + P5 ρ5 + O(ρ6 ),(12) ϕ̇ = ρ + Φ2 ρ2 + Φ3 ρ3 + O(ρ4 ),ãäåa1 CS 2P3 =,22Φ2 = a1 C S,a2 S 3 + a3 C 3 SP4 = −,22Φ3 = −a2 CS .18a4 C 2 S 2P5 =,2(13) äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ íàì ïîíàäîáèòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïåðèîäè÷åñêóþ è íåïðåðûâíóþ ïî t, ϕ ôóíêöèþ χ(t, ϕ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäåχ(t, ϕ) = χ̄ + χ̂(ϕ) + χ̃(t, ϕ),(14)ãäå χ̄ ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè χ(t, ϕ), χ̂(ϕ) ñðåäíåå çíà÷åíèå ïî tôóíêöèè χ(t, ϕ) − χ̄.Ëåììà 1. Ñóùåñòâóåòçàìåíà ïåðåìåííûõ âèäàρ = r + h2 (ϕ)r2 + h3 (t, ϕ)r3 + h4 (t, ϕ)r4 + h5 (t, ϕ)r5 ,(15)êîòîðàÿ ïåðåâîäèò ñèñòåìó (12) â ñèñòåìó ṙ = gr5 + O(r6 ),(16) ϕ̇ = r + Ψ2 r2 + Ψ3 r3 + O(r4 ),ãäå g = const,Ψ2 = Φ2 + h2 ,Ψ3 = h3 + 2h2 Φ2 + Φ3 .(17)Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì çàìåíó (15) ïî t è ïðèâåäåìïîäîáíûå ñëàãàåìûå. Ïîëó÷èì ðàâåíñòâîdh2 ∂h3 3+r +ṙ 1 + 2h2 r + 3h3 r + 4h4 r + 5h5 r +dϕ∂tdh2∂h3 ∂h4 4 dh2∂h3+Ψ2 ++r +Ψ3 r5 +Ψ3 r5 +dϕ∂t∂tdϕ∂ϕ∂h4 5 ∂h5 5+r +r + O r6 = P3 r3 + (3h2 P3 + P4 )r4 +∂ϕ∂t234+ (3P3 h3 + 3P3 h2 2 + 4h2 P4 + P5 )r5 + O(r6 ).19Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ r3 , r4 , r5 , ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèédh2 ∂h3+= P3 ,dϕ∂tdh∂h∂h 2 Ψ2 + 3 + 4 = 3h2 P3 + P4 ,dϕ∂ϕ∂t∂h3∂h4 ∂h5dh2Ψ+Ψ++= 3P3 h3 + 3P3 h2 2 +g+32dϕ∂ϕ∂ϕ∂t + 4h2 P4 + P5 .(18)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (14), çàïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå äàííîé ñèñòåìû ââèäådh2 ∂h3ā1 CS 2 (a1 − ā1 )CS 2+=+.dϕ∂t22 êà÷åñòâå ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî âçÿòü ôóíêöèèā1h2 =2ZCS 2 dϕ,h3 = h̃3 (t, ϕ) + ĥ3 (ϕ),ãäå ĥ3 (ϕ) ôóíêöèÿ, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ, h̃3 =CS 22(19)R(a1 − ā1 )dt.Çàìå÷àíèå 1.

Ãëàäêîñòü ôóíêöèé h2 , h̃3 ïî ϕ íå ìåíåå òðåõ.Çàïèøåì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (18), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (19),â âèäådĥ3 ∂h4+= P4 + G4 ,dϕ∂t(20)ãäåG4 = 3h2 P3 −∂ h̃3dh2Ψ2 −.dϕ∂ϕ(21)Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (14), çàïèøåì óðàâíåíèå (20) â âèäådĥ3 ∂h4+= P̄4 + Ḡ4 + P̂4 + Ĝ4 + P̃4 + G̃4 .dϕ∂t20(22)Ïîêàæåì, ÷òî P̄4 + Ḡ4 = 0. Èç ôîðìóë (13) è ñâîéñòâà 4 ñëåäóåò, ÷òîP̄4 = 0. Ïîêàæåì, ÷òî Ḡ4 = 0. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè(21), (19), (17), (13) ïîëó÷èì ðàâåíñòâîZZ311 2 2223 3CS dϕ − a1 ā1 C S − ā1 CSCS 2 dϕ−G4 = a1 ā1 CS424Z− S − 2S 3(a1 − ā1 )dt,èëèZ23d1G4 = a1 ā1CS 2 dϕ − a1 ā1 C 3 S 3 −8dϕ2ZZ2ā21 d23−CS dϕ + 2S − S(a1 − ā1 )dt.8 dϕ(23)Èç ðàâåíñòâà (23) è ñâîéñòâà 4 ñëåäóåò, ÷òî Ḡ4 = 0.

Òàêèì îáðàçîìóðàâíåíèå (22) ïðèìåò âèädĥ3 ∂h4+= P̂4 + Ĝ4 + P̃4 + G̃4 .dϕ∂t êà÷åñòâå ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ äîñòàòî÷íî âçÿòü ôóíêöèèĥ3 =Z P̂4 + Ĝ4 dϕ,h4 = h̃4 (t, ϕ) + ĥ4 (ϕ),ãäå ĥ4 (ϕ) ôóíêöèÿ, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ, h̃4 =R(24)(P̃4 + G̃4 )dt, ϕ ïàðàìåòð.Çàìå÷àíèå 2. Ãëàäêîñòü ïî ϕ ôóíêöèé ĥ3 , h̃4 íå ìåíåå 2, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ 1 è ôîðìóë (24), (21), (17), (13).Çàïèøåì òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (18) â âèäåg+dĥ4 ∂h5+= P5 + G5 ,dϕ∂t(25)ãäåG5 = 3P3 h3 + 3P3 h2 2 + 4h2 P4 −21dh2∂h3∂ h̃4Ψ3 −Ψ2 −.dϕ∂ϕ∂ϕ(26)Ïðåäñòàâëÿÿ ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (25) â âèäå (14), ïîëó÷èì óðàâíåíèåg+dĥ4 ∂h5+= P̄5 + Ḡ5 + P̂5 + Ĝ5 + P̃5 + G̃5 .dϕ∂t êà÷åñòâå ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ äîñòàòî÷íî âçÿòü ôóíêöèèg = P̄5 + Ḡ5 ,ĥ4 =Z P̂5 + Ĝ5 dϕ,h5 =Z P̃5 + G̃5 dt.(27)Çàìå÷àíèå 3.

Ãëàäêîñòü ïî ϕ ôóíêöèé ĥ4 , h5 íå ìåíåå 1, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèé 2, 1 è ôîðìóë (27), (26), (17), (13). Çàìå÷àíèå 4. Âûðàæåíèå P̄5 + Ḡ5 ñîäåðæèò12ωR2ωC 2 S 2 dϕ 6= 0. Ñëå-0äîâàòåëüíî, ïî ïðèíöèïó îáùåãî ïîëîæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî g = P̄5 + Ḡ5 6= 0.Åñëè â ñèñòåìå (16) g < 0, òî íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè g > 0, òî îíî íåóñòîé÷èâî.Òåîðåìà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (16) è åå íåêîòîðîå ðåøåíèå(r(t, t0 , r0 ), ϕ(t, t0 , ϕ0 ))T .(28)Ïîäñòàâèì âòîðóþ êîìïîíåíòó âåêòîð-ôóíêöèè (28) â ïåðâîå óðàâíåíèåñèñòåìû (16) è ðàññìîòðèì óðàâíåíèåṙ = gr5 + O(r6 ).(29)Çäåñü êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ r åñòü íåïðåðûâíûå ïî t ôóíêöèè,êàê ñóïåðïîçèöèè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.

Î÷åâèäíî, ÷òî êîìïîíåíòàr(t, t0 , r0 ) ðåøåíèÿ (28) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (29). Èññëåäóåì íàóñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29).22Ïóñòü g < 0. Èç ðàâåíñòâà (29) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâîṙ ≤ (g + M r)r5 ,(30)ãäå M ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Èç äàííîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òîåñëè íà÷àëüíîå äàííîå r0 = r(t0 ) âçÿòü èç äîñòàòî÷íî ìàëîé ïîëóîêðåñòíîñòè íóëÿ, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29) áóäåò ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùèì íà âñåì èíòåðâàëå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì t1 ïåðâàÿ òî÷êà, â ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè êîòîðîé ôóíêöèÿ(g + M r) íåóáûâàþùàÿ.

Характеристики

Список файлов диссертации