Диссертация (1150422), страница 6
Текст из файла (страница 6)
время необходимое дляпередачи сигнала от одного нейрона к другому. Предположим, что задержка – дифференцируемая функция с ограниченной сверху производной ˙ 6 < 1(случай медленно-меняющихся задержек). Сформулируем задачу синхронизациидвух связанных систем ФХН. Для этого вычтем третье уравнение системы (3.16)из первого, а четвертое из второго, соответственно, предварительно сделав следующую замену1 = 1 − 2 ,2 = 1 − 2 ,(3.17)и получим˙1 () = (1 − )1 () − ()1 () − 1 ( − ()) − 2 () + (),˙2 () = 1 () − 2 (),(3.18)где = 1/3(21 + 1 2 + 22 ), () > 0 ∀ – неотрицательная функция. Тогда цельуправления можно представить следующим образом1 () → 0,2 () → 0,при → ∞.(3.19)Для достижения цели управления (3.19) выберем управление в следующейформе = −1 1 () + 2 1 ( − ()),45(3.20)где 1 > 0, 2 – параметры управления.
Подставим выбранное управление всистему (3.18) и получим уравнение замкнутой системы˙1 () = (1 − − 1 )1 () − ()1 () + (2 − )1 ( − ()) − 2 (),˙2 () = 1 () − 2 ().(3.21)Цель управления (3.19) может быть достигнута при выборе подходящих параметров управления 1 , 2 . Для их нахождения введем следующий функционалЛяпунова-Красовского (, z ) = 12 () + 22 () + 0∫︁ 12 ()d,− ()где z = (1 , 2 ), а 0 > 0 – некоторый положительный параметр.
Найдем егопроизводную в силу системы (3.21)˙ (, z ) = 2(1 − − 1 + 0.50 )12 () − 2()12 ()++ 2(2 − )1 ()1 ( − ()) − 22 () − 0 (1 − ˙ )12 ( − ()). (3.22)Нужно выбрать параметры управления таким образом, чтобы сделать производную функционала Ляпунова-Красовского отрицательной для всех 1 (),1 ( − ), 2 (), кроме нуля.
Член −2()12 () неположительный, следовательно его можно опустить и получить следующее неравенство2(1 − − 1 + 0.50 )12 () + 2(2 − )1 ()1 ( − ) − 0 (1 − ˙ )12 ( − ) − 22 () < 0,которое можно представить в форме⎡[︁]︁1 () 1 ( − ) 2 () где⎤ ()⎢ 1⎥⎢⎥⎢1 ( − )⎥ < 0,⎣⎦2 ()⎡⎤2(1 − − 1 + 0.50 )2 − 0⎢⎥⎢⎥ =⎢2 − −0 (1 − ˙ ) 0 ⎥ ≺ 0.⎣⎦00−46Задача сводится к разрешимости следующего линейного матричного неравенства⎤⎡2(1 − − 1 + 0.50 )2 − ⎦ ≺ 0.⎣2 − −0 (1 − ˙ )(3.23)Нужно подобрать параметры управления 0 , 1 , 2 , чтобы матрица (3.23) была отрицательно определена.
Для решения полученного матричного неравенстваиспользуем критерий Сильвестра. Так как 0 > 0 и ˙ 6 < 1, то нижний главный минор матрицы (3.23) отрицателен. Значит эта матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда ее определитель положителен, т.е. параметрыуправления должны удовлетворять следующему неравенству−2(1 − − 1 + 0.50 )0 (1 − ) − (2 − )2 > 0,которое можно привести к виду−(1 − )02 + 2(1 − )(1 + − 1)0 − (2 − )2 > 0.Это неравенство выполнено для некоторого положительного 0 , когда следующее квадратное уравнение имеет вещественные корни− (1 − )02 + 2(1 − )(1 + − 1)0 − (2 − )2 = 0,(3.24)и имеет место следующее неравенство по теореме Виета1 + − 1 > 0.(3.25)Таким образом, дискриминант уравнения (3.24) должен быть положительным4(1 − )2 (1 + − 1)2 − 4(1 − )(2 − )2 > 0.(3.26)Учитывая формулу (3.25), представим неравенство (3.26) в виде|2 − |1 > √− + 1.1−47(3.27)Если параметры управления 1 , 2 удовлетворяют полученному неравенству(3.27), то производная функционала Ляпунова-Красовского (3.22) неположительна, т.е.
цель управления (3.19) достигается.Таким образом, можно сформулировать следующую теоремуТеорема 3.3. Пусть задержка – медленно-меняющаяся дифференцируемаяфункция в системе (3.16), т.е. ˙ 6 < 1. Тогда управление () в форме (3.20),где параметры 1 > 0 и 2 удовлетворяют неравенству (3.27), а 1 , 2 выражаются формулами (3.17), обеспечивает цель управления (3.19).Теперь проведем моделирование работы предложенного алгоритма. Для начала рассмотрим поведение двух систем (3.16) без управления (() = 0). Рассмотрим систему со следующими параметрами = 0.7, = 0.1, = 1, = 0.1, () = 3 + 1/2 cos().
На рис. 3.6 представлена динамика такой системы. Очевидно, что системы не синхронизированы (см. рис. 3.6(a) и (b), где представленадинамика активаторов и ингибиторов, соответственно, и рис. 3.6(c), где представлена динамика ошибки синхронизации активаторов, а также рис. 3.6(d) сизображением фазовой плоскости).Для того чтобы синхронизировать две системы ФХН (3.16) применим алгоритм управления в форме (3.20) с параметрами 1 = 5, 2 = 1. На рис. 3.7представлены результаты моделирования. После переходного периода примернов 20 единиц времени две системы достигают желаемого синхронного состояния(см. динамику активаторов и ингибиторов на рис. 3.7(a) и (b), соответственно, атакже динамику их разницы на рис.
3.7(c) и (d)). Таким образом, цель управления достигается. Отметим, что управление () ограничено и стремится к нулюпри → ∞ (см. рис. 3.7(f)).3.3.2Общий случайВ случае, если задержка не является медленно-меняющейся функцией, нужноприменять другой подход для управления синхронизацией.
Предположим те48Рис. 3.6: Поведение двух связанных систем ФХН с медленно-менющейсязадержкой (3.16) без управления. Зеленой линией обозначена первая система, акрасной – вторая. (a) и (b): динамика активаторов и ингибиторов,соответственно; (c): разница между значениями активаторов; и (d): фазоваяплоскость. Параметры системы: = 0.7, = 0.1, = 1, = 0.1, () = 3 + 1/2 cos(). Начальные условия: 1 () = cos(), 1 () = sin(),2 () = − cos(), 2 () = − sin() при ∈ [−, 0].49Рис. 3.7: Управление синхронизацией в двух связанных системах ФХН (3.16) спомощью алгоритма в форме (3.20). (a) и (b): динамика активаторов иингибиторов, соответственно; (c) и (d): разница между значениями активаторови ингибиторов, соотвественно; (e): фазовая плоскость; и (f): динамикауправления.
Параметры системы: 1 = 5, 2 = 1. Остальные параметры иначальные условия такие же, как и на рис. 3.6.50перь, что в системе (3.16) функция задержки () – произвольная. Выберем такой же закон управления (3.20), как и в предыдущем разделе 3.3.1, и рассмотримуравнения замкнутой системы (3.21). Для исследования устойчивости этой системы введем следующую функцию Ляпунова (z()) =)︀1 (︀ 21 () + 22 () ,2где z = (1 , 2 ).
Для получения независимых от задержки условий экспоненциальной устойчивости системы (3.21) используем неравенство Халаная (1.9)Hal 6 (1 − − 1 )12 () − ()12 () − 22 () + (2 − )1 ()1 ( − )++ (1 + )(12 () + 22 ()) − (12 ( − ) + 22 ( − )) 6 0,где > 0, а > 0 – некоторая малая величина. Разрешимость следующеголинейного матричного неравенства гарантирует для достаточно малого > 0выполнение неравенства Халаная Hal 6 0, а значит и экспоненциальную устойчивость системы (3.21)⎤⎡1 − − 1 + 0(2 − )/2 0⎥⎢⎥⎢⎢0−00⎥⎥ ≺ 0.⎢⎥⎢⎢ (2 − )/20−0⎥⎦⎣000−Это неравенство эквивалентно следующему⎡⎤1 − − 1 + 0(2 − )/2⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ≺ 0.0−0⎣⎦(2 − )/20−(3.28)Используя критерий Сильвестра, получим, что для разрешимости матричного неравенства (3.28) должны быть выполнены неравенства⎧⎪⎨ − < 0,⎪⎩−( − )(1 − − 1 + ) − (2 − )2 ( − )/4 < 0,51которые можно привести к виду⎧⎪⎨0 < < ,(3.29)⎪⎩−4(1 − − 1 + ) > (2 − )2 .Таким образом, имеет место следующая теоремаТеорема 3.4.
Пусть в системе (3.16) задержка () – произвольная функция.Алгоритм управления в форме (3.20) с параметрами, удовлетворяющими неравенствам (3.29) и 1 , 2 равными (3.17), обеспечивает цель управления (3.19).Если выполнено неравенство (1 − + ) < 0 для ∈ (0, ), то можноиспользовать управление в форме (3.20) с параметром 1 = 0, т.е. для кусочнопостоянной задержки () (3.14) алгоритм управления – дискретный.Следствие 3.2. Если выполнено неравенство Θ = −4(1 − + ) > 0 для ∈ (0, ) системы (3.13), то дискретный алгоритм управления в форме() = 2 (1 ( ) − 2 ( )), 6 < +1 ,(3.30)где (2 − )2 < Θ, обеспечивает синхронизацию систем (3.13).Отметим, что при = 0 линейное матричное неравенство (3.28) неразрешимо.Рассмотрим две связанные системы ФХН (3.13) с дискретной связью, где сила связи = 3, а шаг дискретизации +1 − = ℎ̄ = 5. Из рис.
3.5 видно, чтотеорема 1.4 не гарантирует синхронизацию систем для таких параметров. Нарис. 3.8 представлена динамика системы (3.13). Очевидно, что системы не синхронизированы (см. рис. 3.8(a) и (b), где представлена динамика активаторов иингибиторов, соответственно, и рис. 3.8(c), где представлена динамика ошибкисинхронизации активаторов, а также рис. 3.8(d) с изображением фазовой плоскости).Для того чтобы синхронизировать две системы ФХН (3.13) используем дискретный алгоритм управления в форме (3.30) с параметрами 2 = 1, = 0.5.52Рис. 3.8: Поведение двух связанных систем ФХН с дискретной связью (3.13)без управления. Зеленой линией обозначена первая система, а красной – вторая.(a) и (b): динамика активаторов и ингибиторов, соответственно; (c): разницамежду значениями активаторов; и (d): фазовая плоскость.
Параметры системы: = 0.7, = 0.8, = 3, = 0.1, +1 − = ℎ̄ = 5. Начальные условия:1 (0) = 1, 1 (0) = 1, 2 (0) = −1, 2 (0) = −1.53Рис. 3.9: Управление синхронизацией в двух связанных системах ФХН (3.13) спомощью дискретного алгоритма в форме (3.30). (a) и (b): динамикаактиваторов и ингибиторов, соответственно; (c) и (d): разница междузначениями активаторов и ингибиторов, соотвественно; (e): фазовая плоскость;и (f): динамика управления.
Параметры системы: = 0.5, 2 = 1. Остальныепараметры и начальные условия такие же, как и на рис. 3.8.54На рис. 3.9 приведены результаты моделирования. После переходного периодапримерно в 60 единиц времени две системы достигают желаемого синхронногосостояния (см. динамику активаторов и ингибиторов на рис. 3.9(a) и (b), соответственно, а также динамику их разницы на рис. 3.9(c) и (d)). Таким образом, цельуправления достигается. Отметим, что управление () ограничено и стремитсяк нулю при → ∞ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
