Диссертация (1150422), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Зафиксируем некоторое ℎ > 0, которое в дальнейшем будетиметь смысл максимальной величины запаздывания. Через обозначим сужение функции (·) на промежуток [ − ℎ, ]: () = ( + ), ∈ [−ℎ, 0].Рассмотрим нелинейную систему с запаздыванием()˙= (, ), > 0 ,(1.6)где ∈ R , : [0 , +∞) × [−ℎ, 0] → R . Начальные данные для (1.6) зададимфункцией (·):0 (·) = (·),(·) ∈ [0 − ℎ, 0 ].(1.7)Теорема 1.1 (Существования и единственности). Пусть для выполнены условия:13(i) ∀ > 0 ∃ () > 0 :‖‖ 6 ⇒ ‖ (, )‖ 6 ();(ii) Функционал непрерывен по обоим аргументам;(iii) Функционал удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу:∀ > 0 ∃() : если ‖′ ‖ 6 , ‖′′ ‖ 6 , то‖ (, ′ ) − (, ′′ )‖ 6 () ‖′ − ′′ ‖ .Тогда для некоторого > 0 на промежутке [0 − ℎ, 0 + ] существует единственное решение задачи Коши (1.6), (1.7).Доказательство можно найти в [61].Теорема 1.2 (о продолжимости решений).
Пусть для системы (1.6) выполненыусловия Теоремы 1.1. Предположим, что удовлетворяет неравенству‖ (, )‖ 6 (‖‖ ),где ∈ [0, +∞) неубывающая функция такая, что ∀0 > 0∫︁ dlim= +∞.→+∞ ()0Тогда на [0 , +∞) существует единственное решение задачи Коши (1.6), (1.7).Доказательство можно найти в [61].Далее будем предполагать, что (, 0) = 0, что гарантирует существованиенулевого решения () ≡ 0 у системы (1.6).Определение 1.1. Нулевое решение уравнения (1.6) равномерно асимптотическиустойчиво, если(i) для любого > 0 и любого 0 существует () > 0 такое, что если‖0 ‖ < (), то |()| < для > 0 ;14(ii) существует > 0 такое, что для любого > 0 существует ( , )такое, что если ‖0 ‖ < , то |()| < для > 0 + () и 0 ∈ R.Тривиальное решение называется глобально равномерно асимптотическиустойчивым, если в (ii) может быть произвольно большим конечным числом.Система называется равномерно асимптотически устойчивой, если её нулевоерешение равномерно асимптотически устойчиво.Для исследования устойчивости системы (1.6) можно использовать функционал Ляпунова-Красовского [3, 4, 18, 47, 48, 54] или функцию Ляпунова-Разумихина[10, 47, 48, 54].
С помощью этих методов можно получать условия, независимыеот задержки (т.е. ℎ-независимые).Функционалы Ляпунова-Красовского – это естественное обобщение прямогометода Ляпунова для систем, у которых состояние является функцией.
Пусть : R × → R непрерывный функционал и удовлетворяет (1.6). Тогда определим производную вдоль траектории :1˙ (, ) = lim [ ( + , + ) − (, )] .→0+ Теорема 1.3 (Ляпунова-Красовского). Пусть : R × → R отображает R×(ограниченные множества в ) в ограниченные множества в R ,, , : [0, +∞) → [0, +∞) непрерывные неубывающие положительные для > 0 функции и (0) = (0) = 0.
Нулевое решение уравнения (1.6) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывный функционал : R × → [0, +∞), который положительно определён(|(0)|) 6 (, ) 6 (‖‖ ),и производная которого вдоль траекторий (1.6) отрицательна˙ (, ) 6 −(|()|).Если к тому же lim→∞ () = ∞, то нулевое решение глобально равномерноасимптотически устойчиво.15Доказательство можно найти в [54].Такие функционалы можно использовать для исследования устойчивости систем с медленно-меняющейся задержкой [47, 48], т.е.
с дифференцируемойфункцией с ограниченной сверху производной (˙ 6 < 1). Для получения достаточных условий устойчивости систем с быстро-меняющейся задержкой можно использовать неравенство Халаная [56], которое расширяет подход ЛяпуноваРазумихина до экспоненциальной устойчивости.Для непрерывной функции : R × R → R определим1˙ (, ()) = lim [ ( + , ( + )) − (, ())] .→0+ (1.8)Лемма 1.1 (Неравенство Халаная). Пусть : [0 − ℎ, +∞] → R+ ограниченана [0 − ℎ, 0 ] и локально абсолютно непрерывна на [0 , ∞). Предположим, чтодля некоторых положительных констант 1 < 0 выполнено следующее неравенство:defHal = ˙ () + 20 () − 21 sup ( + ) 6 0,−ℎ660(1.9) > 0 .Тогда () 6 −2(−0 ) sup (0 + ),−ℎ660 > 0 ,где > 0 – единственное положительное решение уравнения = 0 − 1 2ℎ .Доказательство можно найти в [56].Выполнение неравенства Халаная Hal 6 0 для функции Ляпунова с производной (1.8) гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (1.6).1.4Устойчивость гибридных системРассмотрим следующую нелинейную систему()˙= () + () + (),T() = (),() = ((), ),16(1.10)где () ∈ R – вектор состояния, () ∈ R – вектор входных переменных, ∈ R× , ∈ R× – постоянные матрицы, ∈ R , ∈ R – постоянныевекторы.Предположим, что для всех > 0 график функции = ((), ) (где рассматривается как параметр, а – как аргумент функции) расположен в двуполостном секторе между прямыми 1 = 1 и 2 = 2 , где 1 < 2 – некоторыевещественные числа, т.е.
выполнено неравенство1 2 6 6 2 2 .Пусть задана последовательность моментов времени 0 = 0 < 1 < · · · < < . . .и кусочно-постоянная функция входа() = ( ), 6 < +1 ,где lim→∞ = ∞.Предположим, что для некоторого ℎ ∈ R (ℎ > 0) выполнены неравенства+1 − 6 ℎ ∀ > 0,тогда функцию входа можно представить в виде() = ( − ()),где ∈ R× , () = − , 6 < +1 .Таким образом, систему (1.10) можно представить в следующем виде()˙= () + () + ( − ()),T() = (), () = − , ∈ [ , +1 ),(1.11)() = ((), ).Для исследования устойчивости полученной системы (1.11) можно использовать метод, предложенный Сейфуллаевым Р.
Э. и Фрадковым А. Л. [11].17Пусть ∈ R× , 1 ∈ R× , 1 ∈ R× , 2 ∈ R× , 3 ∈ R× и ∈ R× –некоторые матрицы. Также рассмотрим следующие матрицы⎡⎤+ T +ℎ 2ℎ1 − ℎ⎦,Θ=⎣+ TT*−ℎ1 − ℎ1 + ℎ 2⎤⎡Φ ΦΦ13Φ14⎢ 11 12| ()=0⎥⎢⎥⎢ * Φ22| ()=0 Φ23| ()=0 Φ24 ⎥⎥,Ψ0 = ⎢⎢⎥⎢ **Φ33Φ34 ⎥⎣⎦***Φ44⎤⎡TΦ13Φ14 ℎ1 ⎥⎢Φ11 Φ12| ()=ℎ⎥⎢⎢ * Φ22| ()=ℎ Φ23| ()=ℎ Φ24 ℎ2T ⎥⎥⎢⎥⎢TΨ1 = ⎢ **Φ33Φ34 ℎ ⎥ ,⎥⎢⎥⎢TT⎢ ***Φ44 ℎ 3 ⎥⎦⎣****−ℎ18(1.12)где + TΦ11 () = 2 + 2 − 1 − 1 −− 0 1 2 T ,2 + TTTΦ12 () = − 2 + 3 − 2 + (ℎ − ()),2TTTΦ13 () = 1T + 2T − + − 1 ,1Φ14 () = 2T − 3 + 0 (1 + 2 ),2Φ22 () = −3 − 3T + (ℎ − ()),Φ23 () = 2T + 3T − (ℎ − ())( − 1 ),(1.13)Φ24 () = 3T , + T − 21 − 21T,Φ33 () = + −2TΦ34 () = 3 ,Φ44 () = −0 ,Φ11 () = T 2 + 2T − 1 − 1T − + T− 1 1 2 T ,21Φ14 () = 2T − 3 + 1 (1 + 2 ),2Φ44 () = −1 .Теорема 1.4.
Пусть существуют матрицы ∈ R× ( ≻ 0), ∈ R× ( ≻0), 2 ∈ R× , 3 ∈ R× , ∈ R× , 1 ∈ R× , ∈ R× , 1 ∈ R× , 2 ∈ R×и 3 ∈ R× , а также положительные вещественные числа 0 , 1 такие, чтосистема матричных неравенствΘ ≻ 0,Ψ0 ≺ 0,Ψ1 ≺ 0разрешима, где эти матрицы описываются уравнениями (1.12), (1.13). Тогдасистема (1.11) экспоненциально устойчива в целом.Доказательство можно найти в [11].191.5Вспомогательные понятия из теории графовОриентированным графом называется упорядоченная пара Γ = (, ) из двухконечных множеств V (множества узлов, или вершин) и ⊆ × (множестводуг, или ребер графа). Узел соединен с узлом в графе Γ, если (, ) ∈ .Конечная последовательность узлов 1 , . .
. , , в которой любой ее член соединен со следующим (( , +1 ) ∈ при < ), называется путем из 1 в .Граф называется связным, если между любой парой его вершин существуеткак минимум один путь. Зеркальным графом для графа Γ = (, ) называетˆ получаемый добавлением всех дуг, обратных к дугам Γ, т.е.ся граф Γ̂ = (, ),ˆ = ∪ {(, ) : (, ) ∈ }. Неориентированным графом называется граф,совпадающий со своим зеркальным графом (в этом случае пару противонаправленных ребер между двумя вершинами обычно считают одним неориентированным ребром). Матрица смежности ( (Γ)) графа Γ определяется соотношениями (Γ) := 1 при (, ) ∈ и (Γ) := 0 в противном случае.
Лапласианомграфа Γ называется матрица следующего вида⎡∑︀−12⎢ =1 1∑︀⎢⎢ −21=1 2(Γ) := ⎢⎢....⎢..⎣− 1− 2...−1−2...∑︀...=1 ......⎤⎥⎥⎥⎥.⎥⎥⎦Для неориентированного графа Γ матрица Лапласа является симметричной, т.е.(Γ) = (Γ)T , и наименьшее собственное число этой матрицы 1 () равно 0,в частности (Γ) ⪰ 0 [17, 79]. Второе собственное число лапласиана 2 (Γ) называется алгебраической связностью Γ [39]. Алгебраическая связность графа2 (Γ) больше нуля в том и только в том случае, когда неориентированный графΓ связен [17, 78, 96].20Глава 2Бифуркации в кольцевыхнеоднородных сетяхФитцХью-Нагумо2.1Анализ бифуркаций для двух систем ФитцХьюНагумо с различными пороговыми параметрамиСначала рассмотрим самый простой случай сети – две связанные системы ФХН.Анализ бифуркаций для такой системы основан на подходе, предложенном в работах [34,122].
Отличием же является то, что здесь рассматриваются две связанные системы ФХН с различными пороговыми параметрами . Уравнения этих21систем выглядят следующим образом31 ()˙1 () = 1 () −− 1 () + [2 ( − ) − 1 ()],3˙1 () = 1 () + 1 ,2 ()3˙2 () = 2 () −− 2 () + [1 ( − ) − 2 ()],3(2.1)˙2 () = 2 () + 2 ,где – сила связи между нейронами, – постоянная задержка, т.е. время, необходимое сигналу для достижения соседнего нейрона.Единственным положением равновесия системы (2.1) является точка x* ≡(*1 , 1* , *2 , 2* )T с координатами *1 = −1 , *2 = −2 , 1* = −1 + 31 /3 + (1 − 2 )и 2* = −2 + 32 /3 + (2 − 1 ).
Линеаризуя систему (2.1) около положенияравновесия x* и производя замену x() = [1 (), 1 (), 2 (), 2 ()] ≡ x* + x(),получим следующее⎛⎜ 1⎜1⎜ ẋ() = ⎜⎜⎜0⎝0уравнение−1 00000⎛⎞0 0⎜⎟⎜⎟⎜0 00 0⎟1⎟ x() + ⎜⎟⎜⎜ 02 −1⎟⎠⎝ 00 0 0⎞⎟⎟0 0⎟⎟ x( − ),⎟0 0⎟⎠0 0(2.2)где = 1 − 2 − , = 1, 2. Для получения характеристического уравнениялинеаризованной системы (2.2) сделаем следующую заменуx() = et q,где q – собственный вектор матрицы Якоби. Тогда характеристический многочлен системы (2.2) можно представить в следующем виде(1 − 1 + 2 )(1 − 2 + 2 ) − (e− )2 = 0.(2.3)Необходимым условием для бифуркации Андронова-Хопфа является наличиемнимых собственных чисел . Поэтому подставим = , ∈ R в уравнение(2.3) и найдем значения параметров 1 , 2 , при которых уравнение (2.3) не имеет22мнимых корней. Разделим уравнение (2.3) на мнимую и вещественную части иполучим(1 − 2 )2 − 1 2 2 = − 2 2 cos(2 ),222(2.4)(1 − )(1 + 2 ) = − sin(2 ).Так как ≪ 1, то членами порядка можно пренебречь, т.е.
будем считать вдальнейшем, что ∼ 0. Возводя в квадрат и суммируя уравнения (2.4), получимследующее выражение 2 (1 + 2 )2 + (1 − 1 2 2 )2 = 4 4 ,которое преобразуется к виду(12 22 − 4 ) 4 + (12 + 22 ) 2 + 1 = 0.(2.5)Уравнение (2.5) является биквадратным. Поэтому можно использовать формулы Виета для того, чтобы определить, имеет ли оно действительные корни.Согласно формулам Виета получаем12 + 221 + 2 = − 2 2,1 2 − 41 2 =1,12 22 − 4где 1 = 12 , 2 = 22 – корни квадратного уравнения (2.5). Если выполнено неравенство 12 22 > 4 , то корни квадратного уравнения отрицательны, т.е.
1 < 0 и2 < 0, а значит, уравнение (2.5) не имеет вещественных корней, т.е. бифуркацияАндронова-Хопфа в данном случае невозможна. Возьмем квадратный корень изэтого неравенства, подставим = 1 − 2 − и получим следующее неравенство|(1 − − 21 )(1 − − 22 )| > 2 ,(2.6)которое гарантирует невозможность бифуркации Андронова-Хопфа для линеаризованной системы (2.2).Таким образом, имеет место следующая теоремаТеорема 2.1. Если выполнено неравенство (2.6), то бифуркация АндроноваХопфа невозможна, т.е. положение равновесия линеаризованной системы (2.2)асимптотически устойчиво.23Рис.
2.1: Бифуркация Андронова-Хопфа двух связанных линеаризованныхсистем ФХН (2.2); (a): малая сила связи ( = 0.3); (b): большая сила связи( = 5). Красным цветом обозначены области параметров, для которыхнеравенство (2.6) выполнено, т.е. бифуркация Андронова-Хопфа невозможна, иположение равновесия устойчиво.На рис. 2.1 области параметров, для которых выполнено неравенство (2.6),выделены красным цветом (на рис. 2.1(a) для малой силы связи, а на рис. 2.1(b)– для большой). Этот результат является обощением условий, полученных длядвух однородных систем ФХН [34, 122]. Как и ожидалось, при 1 > 1, 2 > 1бифуркация Андронова-Хопфа невозможна, так как обе системы находятся ввозбудимом режиме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
