Диссертация (1150422), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Однако, отметим также, что колебания в двух связанныхсистемах ФХН могут иметь место и в случае устойчивого положения равновесия[67, 122].Рассмотрим случай с достаточно большой силой связи ( > 1) и предположим, что изначально одна из систем находится в возбудимом режиме (1 > 1), авторая — в колебательном (2 < 1). Тогда можно раскрыть модуль в неравенстве(2.6):[ + (21 − 1)][ − (1 − 22 )] > 2 .24(2.7)Обозначим = (21 − 1) − (1 − 22 ) = 21 + 22 − 2, тогда неравенство (2.7) можнозаписать в виде[ + (1 − 22 )][ − (1 − 22 )] + [ − (1 − 22 )] > 2 ,(2.8)в котором первый член можно заменить на разность квадратов, затем подставитьв неравенство и получить следующее выражение21 + 22 > 2 + ,(2.9)где = (1 − 22 )2 /[ − (1 − 22 )] — малая величина, так как > 1, и значение2 близко к 1. Таким образом, неравенство (2.9) определяет значения пороговыхпараметров , при которых бифуркация Андронова-Хопфа невозможна при >1.С другой стороны неравенство (2.8) может быть представлено в виде(21 + 22 − 2)[ − (1 − 22 )] > (1 − 22 )2 .(2.10)Так как правая часть неотрицательна, и > 1, а 2 < 1, то условие 21 + 22 >2 является необходимым для выполнения неравенства (2.10).

Поэтому можнополучить следующую оценку для значений силы связи > (1 −22 )(1 − 22 )2+ 2, и > 1 при 21 + 22 > 2,21 + 2 − 2при которых бифуркация Андронова-Хопфа невозможна.2.2Анализ бифуркаций для неоднородной кольцевой сети систем ФитцХью-НагумоТеперь рассмотрим случай неоднородной кольцевой сети из систем ФХН.Уравнения сети можно записать в следующей форме3 ()− () + [(+1)˙ () = () −3˙ () = () + , = 1, . .

. , ,25mod (− ) − ()],(2.11)Единственным положением равновесия системы (2.11) является точка x* ≡* T(*1 , 1* , . . . , * , ) с координатами * = − , * = − + 3 /3 + ( −(+1) mod ), где = 1, . . . , . Линеаризуя систему (2.11) около положения равновесия x* и делая замену x() = [1 (), 1 (), 2 (), 2 ()] ≡ x* +x(), получим⎞⎛⎜1 −1 0 0 0 · · · 0 0 ⎟⎟⎜⎜ 0 0 0 0 ··· 0 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎜ 0 0 2 −1 0 · · · 0 0 ⎟⎟⎜⎟⎜0 0 0 0 ··· 0 0 ⎟1⎜⎟ x()+ ẋ() = ⎜⎟⎜⎜ 0 0 0 0 3 · · · 0 0 ⎟⎟⎜⎜ ..

.. .. .. .. . ..... ⎟. ..⎟⎜. . . . .⎟⎜⎟⎜⎜ 0 0 0 0 0 · · · −1⎟⎠⎝0 0 0 0 0 ··· 0⎛⎜0 0 0 0 ···⎜⎜0 0 0 0 0 ···⎜⎜⎜0 0 0 0 ···⎜⎜0 0 0 0 0 ···1⎜+ ⎜⎜⎜0 0 0 0 0 ···⎜⎜ .. .. .. .. .. . ..⎜. . . . .⎜⎜⎜ 0 0 0 0 · · ·⎝0 0 0 0 0 ···⎞0 0⎟⎟0 0⎟⎟⎟0 0⎟⎟⎟0 0⎟⎟ x( − ), (2.12)⎟0 0⎟⎟..

.. ⎟. .⎟⎟⎟0 0⎟⎠0 0где = 1 − 2 − , = 1, . . . , . Сделаем следующую заменуx() = et q,26где q – собственный вектор матрицы Якоби, и получим следующий характеристический многочлен линеаризованной системы (2.12)⃒⃒⃒⃒−⃒⃒1 − −1 e0···00⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −00···00⃒⃒⃒⃒⃒ 00 2 − −1 · · ·00 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 00− · · ·00 ⃒ = 0.⃒⃒⃒⃒ ...............⃒ ...... ⃒⃒⃒⃒⃒ −000 · · · − −1 ⃒⃒ e⃒⃒⃒⃒000 ···−⃒⃒ 0(2.13)Вычислим полученный определитель матрицы (2.13). Для этого разложим ее(2 − 1)ю строку на сумму двух строк⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 − −1 e−0···00⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −00···00⃒⃒⃒⃒⃒ 00 2 − −1 · · ·00 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 00− · · ·00 ⃒+⃒⃒⃒⃒ ...............⃒ ......

⃒⃒⃒⃒⃒000 · · · − −1 ⃒⃒ 0⃒⃒⃒⃒000 ···−⃒⃒ 0⃒⃒⃒1 − −1 e−0⃒⃒⃒ −00⃒⃒⃒ 00 2 − −1⃒⃒+⃒ 00−⃒⃒ ........⃒ ....⃒⃒ −000⃒ e⃒⃒000⃒ 0··· 0··· 0··· 0···...0...··· 0··· ⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒ = 0. (2.14)⃒.. ⃒. ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒−⃒Обозначим через 1 первую матрицу в сумме (2.14), а через 2 – вторую, соответственно. Сначала вычислим значение определителя матрицы 1 . Разложим27ее первую строку на сумму двух следующих строк (1 − , −1, 0, 0, . . . , 0, 0)и (0, 0, e− , 0, .

. . , 0, 0). Определитель матрицы 1 равен сумме двух определителей, в которой значение первого равно произведению определителей двухблоков. Таким образом, определитель матрицы 1 можно представить в следующем видеdet 1 = (1 − 1 + 2 )×⃒⃒⃒2 − −1 e−0 ···⃒⃒⃒ −00 ···⃒⃒⃒ 00 3 − −1 · · ·⃒⃒×⃒ 00− · · ·⃒⃒ ...........⃒ ....⃒⃒000 · · · ⃒ 0⃒⃒000 ···⃒ 0⃒⃒⃒0 0e−0⃒⃒⃒ −00⃒⃒⃒0 0 2 − −1⃒⃒+ ⃒0 0−⃒⃒ ........⃒....⃒⃒00⃒0 0⃒⃒00⃒0 0⃒⃒00 ⃒⃒⃒00 ⃒⃒⃒00 ⃒⃒⃒00 ⃒+⃒....

⃒.. ⃒⃒⃒− −1 ⃒⃒⃒−⃒⃒⃒···00 ⃒⃒⃒···00 ⃒⃒⃒···00 ⃒⃒⃒···00 ⃒ . (2.15)⃒.... ⃒..... ⃒⃒⃒· · · − −1 ⃒⃒⃒···−⃒Очевидно, что значение второго определителя в сумме (2.15) равно 0. Повторяяэту же процедуру с первым определителем в (2.15) еще ( − 2) раз, получим∏︁det 1 = (1 − + 2 ).=128(2.16)Теперь перейдем к вычислению значения определителя матрицы 2 . Для этого разложим ее по (2 − 1)й строке и получим⃒⃒⃒ −1 e−00⃒⃒⃒−000⃒⃒⃒ 0 2 − −1 e−⃒− ⃒det 2 = e⃒ 0−0⃒⃒ ........⃒ ....⃒⃒000⃒ 0⃒⃒000⃒ 0··· 0··· 0··· 0···...0...··· 0··· ⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒0 ⃒.⃒..

⃒. ⃒⃒⃒0 ⃒⃒⃒−⃒Это определитель матрицы размера (2 − 1) × (2 − 1), которую можно разложить по последнему столбцу⃒⃒⃒ −1 e−00⃒⃒⃒−000⃒⃒⃒ 0 2 − −1 e−⃒− ⃒det 2 = −e⃒ 0−0⃒⃒ ........⃒ ....⃒⃒000⃒ 0⃒⃒000⃒ 0⃒⃒··· 00 ⃒⃒⃒··· 00 ⃒⃒⃒··· 00 ⃒⃒⃒··· 00 ⃒.⃒.... ⃒..... ⃒⃒− ⃒· · · −1 e ⃒⃒⃒· · · −0 ⃒Продолжим раскладывать полученную матрицу по последнему столбцу дотех пор, пока не получим следующее выражениеdet 2 = − e− N .(2.17)Используя полученные выражения (2.16) и (2.17), можно представить характеристический полином системы (2.12) в следующем виде∏︁(1 − + 2 ) − (e− )N = 0.=129(2.18)В дальнейшем будем считать, что ∼ 0, так как обычно значение выбирается малым, т.е.

≪ 1. Подставим = в уравнение (2.18) и получим∏︁(1 − ) = (e−i )N .(2.19)=1Возведя в квадрат уравнение (2.19), получим следующее выражение∏︁(1 + 2 2 ) = ()2 ,=1которое можно представить в виде(︃ )︃∏︁2 − 2 2 + P( 2 ) = 0,(2.20)=1где P( 2 ) – полином ( − 1)й степени с положительными коэффициентами.∏︀22уравнение (2.20), а, следовательно, и уравнение (2.19) неПри =1 > имеют решения для действительных значений . Таким образом, бифуркацияАндронова-Хопфа невозможна. Возьмем квадратный корень из этого неравенства и сделаем подстановку = 1 − 2 − ⃒⃒⃒∏︁⃒⃒2 ⃒⃒ (1 − − )⃒ > || .⃒⃒(2.21)=1Полученное неравенство определеяет значения параметров , , = 1, .

. . , ,при которых бифуркация Андронова-Хопфа невозможна. Таким образом, имеетместо следующая теоремаТеорема 2.2. Если выполнено неравенство (2.21) то бифуркация АндроноваХопфа невозможна, т.е. положение равновесия линеаризованной системы (2.12)асимптотически устойчиво.Полученное неравенство является обобщением неравенства (2.6) для случаяоднонаправленного кольца систем ФХН.30Глава 3Управление синхронизациейдвух связанных системФитцХью-Нагумо3.1СинхронизациядвухсвязанныхсистемФитцХью-Нагумо с различными пороговыми параметрамиРассмотрим две связанные системы ФХН с различными пороговыми параметрами˙1 () = 1 () −31 ()− 1 () + [2 () − 1 ()] + (),3˙1 () = 1 () − 1 () + 1 ,32 ()˙2 () = 2 () −− 2 () + [1 () − 2 ()],3(3.1)˙2 () = 2 () − 2 () + 2 ,где – сила связи между нейронами, а () – внешний стимул, используемыйв качестве управления.

Так как рассматриваются системы с различными параметрами, то полная синхронизация (равенство векторов состояний двух систем)31невозможна. Поэтому будем ставить задачу синхронизации векторов состоянийс некоторым сдвигом. Введем следующие обозначения1 = 1 − 2 ,2 = 1 − 2 .(3.2)Тогда цель управления можно определить как|1 ()| 6 ∆1 ,|2 ()| 6 ∆2 ,при > * ,(3.3)где ∆1 , ∆2 – уровни точности, которые определим позднее. Вычтем третье уравнение из первого системы (3.1) и четвертое из второго, соответственно, имея ввиду обозначения (3.2), и получим˙1 () = (1 − 2)1 () − 2 () − 1 ()() + (),˙2 () = 1 () − 2 () + 1 − 2 ,(3.4)где = (21 + 1 2 + 22 )/3 и () > 0 для любого .3.1.1Неадаптивный случайПредположим, что все параметры системы (3.4) известны. Выберем управлениев следующем виде() = −1 (),(3.5)где > 0 – коэффициент усиления, и подставим его в систему (3.4)˙1 () = (1 − 2 − )1 () − 2 () − 1 ()(),˙2 () = 1 () − 2 () + 1 − 2 .(3.6)Для анализа устойчивости замкнутой системы (3.6) введем следующуюфункцию Ляпунова1 (z()) = 12 () + 22 (),2232где z = (1 , 2 ), и найдем ее производную в силу системы˙ (z()) = (1 − 2 − )12 () − 1 ()2 () − ()12 () + 1 ()2 () − 22 ()++ (1 − 2 )2 () = (1 − 2 − )12 () − ()12 () − 22 () + (1 − 2 )2 () 6(︂)︂2√−(1 − 2 )212+6 −(2 + − 1)12 () −2 () − √.

(3.7)42 Первый член в производной функции Ляпунова (3.7) неположителен при >1 − 2. Отсюда получим следующие значения уровней точности|1 − 2 |,∆1 = √︀2 (2 + − 1)∆2 =|1 − 2 |.(3.8)Таким образом, управление () в виде (3.5), где > 1−2, а 1 и 2 выражаются формулами (3.2), обеспечивает цель управления (3.3) с уровнями точности(3.8).Имеет место следующая теоремаТеорема 3.1. ∀ 1 (0), 2 (0), 1 (0), 2 (0) системы (3.1) управление () в виде(3.5), где > 1 − 2, а 1 и 2 выражаются формулами (3.2), обеспечивает цельуправления (3.3) с уровнями точности (3.8).Следствие 3.1.

Если выполнено неравенство > 0.5, то система (3.1) синхронизируется без управления, т.е. () = 0.Перейдем к моделированию работы полученного алгоритма управления в системе Matlab [69]. Сначала рассмотрим поведение системы (3.1) без управления(() = 0). Пусть параметры системы заданы следующим образом: 1 = 1.1,2 = 0.7, = 0.1, = 0.1, = 0.1.

Результаты моделирования динамики свободной системы (3.1) представлены на рис. 3.1. Можно заметить, что две системыне синхронизированы (см. рис. 3.1(a) и (b), где представлена динамика активаторов и ингибиторов, соответственно, и рис. 3.1(c), где представлена динамикаошибки синхронизации активаторов, а также рис. 3.1(d) с изображением фазовой плоскости). Отметим, что при том, что первая система без связей находится33Рис. 3.1: Поведение двух связанных систем ФХН (3.1) без управления () = 0.Зеленой линией обозначена первая система, а красной – вторая.

Характеристики

Список файлов диссертации