Диссертация (1150422)
Текст из файла
Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиПлотников Сергей АлександровичУправление синхронизацией и бифуркации в системахФитцХью-Нагумо01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор технических наук,профессор Фрадков А.Л.Санкт-Петербург2016СодержаниеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1 Уравнения модели ФитцХью-Нагумо . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Алгоритм скоростного градиента . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 111.3 Устойчивость систем с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Устойчивость гибридных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Вспомогательные понятия из теории графов . . . . . . . . . . . . . 202 Бифуркации в кольцевых неоднородных сетях ФитцХью-Нагумо . . 212.1 Анализ бифуркаций для двух систем ФитцХью-Нагумо с различными пороговыми параметрами . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 212.2 Анализ бифуркаций для неоднородной кольцевой сети системФитцХью-Нагумо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Управление синхронизацией двух связанных систем ФитцХьюНагумо . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Синхронизация двух связанных систем ФитцХью-Нагумо с различными пороговыми параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1Неадаптивный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2Адаптивный случай . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3Синхронизация двух связанных систем ФитцХью-Нагумос помощью настройки силы связи . . . . . . . . . . . . . . . 3923.2 Анализ синхронизации двух связанных систем ФитцХью-Нагумос дискретными связями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 413.3 Управление синхронизацией двух связанных систем ФитцХьюНагумо с переменной задержкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1Случай с медленно-меняющейся задержкой . . . . . . . . . . 453.3.2Общий случай . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 484 Управление синхронизацией в сетях систем ФитцХью-Нагумо . . . . 564.1 Синхронизация в неоднородных сетях систем ФитцХью-Нагумо . . 564.2 Управление синхронизацией в неоднородных сетях системФитцХью-Нагумо . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Синхронизация кольца связанных систем ФитцХью-Нагумо с помощью настройки силы связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Список рисунков . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763ВведениеВ последнее время возрастает интерес к задачам исследования динамики систем из связанных осцилляторов [6, 64, 91, 110, 111]. Это связано с тем, что такиесистемы используются в различных областях науки, например, таких как нелинейные динамические системы, графы и сети, и статистическая физика, и имеютприложения в физике, биологии и технике [1, 30, 32, 80, 81, 83, 117, 129].Одной из центральных тем исследования динамики связанных осцилляторовявляется синхронизация, которую определяют как «совпадение или сближениепеременных состояний двух или нескольких систем, либо согласованное изменение некоторых количественных характеристик систем» [15].
Явление синхронизации возникает в различных областях науки [115]. Примерами синхронизациив области биологии являются работа генетических осцилляторов [52], исследование биологических колебаний (циркадных ритмов) [64, 83, 110, 119, 128], работа сердечных клеток, и разработка кардиостимуляторов [38, 82], а также синхронное излучение световых импульсов популяций светлячков [23, 107].
В компьютерных науках синхронизация используются, например, для анализа данныхв больших базах данных [71]. В теории автоматов и распределенных вычислениях синхронизация также играет важную роль [78]. Другими инженерными приложениями, где имеет место синхронизация, являются работа массивовсверхпроводников, соединенных джозефсоновским контактом [120,125,126], лазеров [49, 50, 77], энергетических сетей [27, 92] и ансамблей электрохимическихосцилляторов [62, 118].4Явление синхронизации имеет большое значение в работе головного мозга,где оно связано с несколькими когнитивными возможностями [44, 76]. Одной изтаких возможностей является обработка воспринимаемого визуального сигнала [36, 105, 106]. Согласно гипотезе связывания синхронизация нейронов нужнадля того, чтобы связать различные характеристики объекта, такие как форма,цвет, расстояние до объекта, и сформировать целостное представление об этомобъекте. Другие исследования указывают на то, что синхронизация нейронов играет определенную роль в предсказании событий и концентрации внимания наэтих событиях [72, 124].
Так как синхронизация имеет огромное значение в нормальном функционировании головного мозга, то неудивительно, что некоторыепатологические состояния мозга связаны с аномальной синхронизацией. Примерами таких аномальных состояний являются болезнь Паркинсона, эпилепсия,болезнь Альцгеймера, шизофрения и аутизм [37, 53, 76, 90, 121].
Разработка технологий подавления нежелательной синхронной мозговой активности являетсяважнейшей клинической задачей. Технически эта задача может быть решена, например, посредством вживления микроэлектродов в пораженную часть головного мозга с последующей стимуляцией через эти электроды [24, 25, 66], либо припомощи нейрообратной связи [12,26,97,108]. Математическое описание условийсинхронизации нейронов и управление ей могут помочь улучшить результатытакого лечения и в то же время уменьшить его побочные эффекты.На данный момент разработано большое количество моделей единичныхнейронов. Самой первой моделью нейрона считается модель, предложенная ЛуиЛапиком «integrate-and-fire» [19, 33].
Однако она имеет недостаток – отсутствиеучета биофизических механизмов генерации импульса. Данный недостаток снимает математическая модель, предложенная Ходжкиным и Хаксли [59, 60]. Особенностью модели является то, что она построена с учетом экспериментальных данных и позволяет с большой точностью описывать появление импульсов на нейроне. Также известны и другие модели нейронов, например, модельМорриса-Лекара [70] и модель Хиндмарш-Роуз [58].5Исследование синхронизации в сетях из различных моделей нейронов было в основном сфокусировано на сетях с одинаковыми узлами [21, 29, 55, 68, 75,101, 109, 131]. Однако в реальных сетях существует большое разнообразие нейронов, т.е. параметры различных узлов в сети различны.
Хорошо известно, чтонеоднородности в узлах мешают синхронизации, и, более того, в большинствеслучаев идеальная синхронизация – в том смысле, что состояние всех узлов водинаковые моменты времени одинаково – недостижима из-за наличия неоднородностей. Для того чтобы лучше понять сложные взаимодействия нейронов вбольших неоднородных сетях, нужно начать исследование с простейшей моделинейрона.
Одной из таких моделей является двумерная модель ФитцХью-Нагумо(ФХН) [40, 73].Целью диссертационной работы является исследование и управление синхронизацией в неоднородных сетях ФХН, а также анализ поведения сети. Длядостижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.1. Получить условия, характеризующие поведение связанных систем ФХН сразличными пороговыми параметрами.2. Синтезировать алгоритмы управления синхронизацией двух связанных систем ФХН с различными пороговыми параметрами с помощью внешнегостимула и с помощью настройки силы связи.3. Синтезировать алгоритмы управления синхронизацией двух связанных систем ФХН с переменной задержкой при помощи внешнего стимула.4.
Найти оценки шага дискретизации в зависимости от силы связи, необходимые для синхронизации двух систем ФХН, в случае дискретной связимежду двумя системами.5. Получить условие синхронизации неоднородной сети из систем ФХН иразработать алгоритм управления синхронизацией при помощи одинако-6вого для всех узлов внешнего стимула и алгоритмы управления синхронизацией при помощи настройки силы связи.В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.Во второй главе изучается поведение связанных систем ФХН.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
