Диссертация (1150422), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(a) и (b):динамика активаторов и ингибиторов, соответственно; (c): разница междузначениями активаторов; (d): фазовая плоскость. Параметры системы: = 0.1,1 = 1.1, 2 = 0.7, = 0.1, = 0.1. Начальные условия: 1 (0) = 0, 1 (0) = 0,2 (0) = 0, 2 (0) = 0.34в возбудимом режиме, обе системы испускают спайки из-за наличия ненулевойсилы связи .Теперь рассмотрим работу алгоритма управления (3.5) для синхронизациидвух систем.
На рис. 3.2 приведены результаты моделирования. После переходного периода примерно в 20 единиц времени обе системы достигают желаемогосинхронного режима (см. динамику активаторов и ингибиторов на рис. 3.2(a) и(b), соответственно). Таким образом, данный алгоритм обеспечивает достижениецели управления (3.3). Отметим, что управление ограничено и имеет такой жепорядок амплитуды колебаний, как и активатор (см. рис.
3.2(f)). Также отметим,что аналитические оценки уровней точности ∆1 = 0.23, ∆2 = 4 по формулам(3.8) совпадают с экспериментальными (см. динамику разницы значений активаторов и ингибиторов, соответственно, на рис. 3.2(c) и (d)).3.1.2Адаптивный случайТеперь предположим, что параметры , 1 , 2 и системы (3.1) неизвестны.Также предположим, что сила связи может быть отрицательной. Коэффициентусиления в управлении, которое мы использовали в предыдущем разделе 3.1.1(3.5), зависит от неизвестного параметра . Для оценки этого неизвестного параметра можно использовать алгоритм скоростного градиента.Выберем управление в следующем виде() = −1 () + ()1 (),˙ = −0 2 (),()1(3.9)где > 0, 0 > 0 – коэффициенты усиления, а – настраиваемый параметр,используемый для оценки неизвестной силы связи . Подставим управление всистему (3.4)˙1 () = (1 − 2 − + ())1 () − 2 () − 1 ()(),˙2 () = 1 () − 2 () + 1 − 2 .35(3.10)Рис.
3.2: Синхронизация двух связанных систем ФХН (3.1) при помощивнешнего стимула (3.5) (неадаптивный случай). (a) и (b): динамика активаторови ингибиторов, соответственно; (c) и (d): разница между значениямиактиваторов и ингибиторов, соответственно; (e): фазовая плоскость; и (f):динамика управления. Параметры системы: = 10. Остальные параметры иначальные условия такие же, как и на рис. 3.1.36Для анализа устойчивости замкнутой системы (3.10) введем следующуюфункцию Ляпунова11 (z()) = 12 () + 22 () +(() − 2)2 ,2220где z = (1 , 2 ), найдем ее производную в силу системы и сделаем некоторыепреобразования, учитывая формулу (3.9)˙ (z()) = (1 − 2 − + ())12 () − ()12 () − 22 () + (1 − 2 )2 ()+˙+ 0−1 ()(()− 2) = (1 − )12 () + (() − 2)12 () − ()12 () − 22 ()++ (1 − 2 )2 () − 12 ()(() − 2) 6(︂)︂2√−(1 − 2 )21222 () − √6 −( − 1)1 () −.
(3.11)+42 Первый член в производной функции Ляпунова (3.11) неположителен при > 1.Отсюда получим следующие значения уровней точности|1 − 2 |∆1 = √︀,2 ( − 1)∆2 =|1 − 2 |.Отметим, что из-за неизвестных параметров 1 , 2 и аналитически вычислитьуровни точности ∆1 и ∆2 не получится. Таким образом, управление () в виде(3.5), где > 1, 0 > 0, а 1 и 2 выражаются формулами (3.2), обеспечиваетцель управления (3.3) с некоторыми уровнями точности.Имеет место следующая теоремаТеорема 3.2.
∀ 1 (0), 2 (0), 1 (0), 2 (0) системы (3.1) управление () в виде(3.9), где > 1, 0 > 0, а 1 и 2 выражаются формулами (3.2), обеспечиваетцель управления (3.3) с некоторыми уровнями точности.Рассмотрим работу предложенного адаптивного алгоритма управления (3.9).На рис. 3.3 представлены результаты моделирования.
Переходный период составляет примерно 20 единиц времени, после которого обе системы достигаютжелаемого синхронного режима (см. динамику активаторов и ингибиторов на37Рис. 3.3: Синхронизация двух связанных систем ФХН (3.1) при помощивнешнего стимула (3.9) (адаптивный случай). (a) и (b): динамика активаторов иингибиторов, соответственно; (c) и (d): разница между значениями активаторови ингибиторов, соответственно; (e): фазовая плоскость; и (f): динамикауправления. Параметры системы: = 10, 0 = 1, = −0.2. Остальныепараметры и начальные условия такие же, как и на рис. 3.1.38рис. 3.3(a) и (b), соответственно, а также динамику их разницы на рис. 3.3(c)и (d)). Таким образом, данный алгоритм также обеспечивает достижение целиуправления (3.3) и не использует данные о параметрах системы.
Отметим, чтоуправление также ограничено и имеет такой же порядок амплитуды колебаний,как и активатор (см. рис. 3.3(f)).3.1.3Синхронизация двух связанных систем ФитцХьюНагумо с помощью настройки силы связиУправлять синхронизацией можно также с помощью настройки силы связи .Настраивать коэффициент силы связи будем с помощью алгоритма скоростного градиента. Для этого положим ≡ 0 в системе (3.1) и введем следующуюцелевую функцию(z()) = (1 () + 1 − 2 )2 ,2где z = (1 , 2 ).
В целевую функцию входит только разность значений активаторов со сдвигом, так как сила связи входит только в первое уравнение системы(3.4). Сдвиг равный разности пороговых параметров используется по той причине, что целевая функция должна стремиться к нулю. Для построения АСГнайдем производную целевой функции в силу системы (3.4)˙(z())= (1 () + 1 − 2 )[(1 − 2)1 () − 1 ()() − 2 ()],тогда, вычислив градиент производной целевой функции по переменной , получим следующий закон управления˙()= 21 ()(1 () + 1 − 2 ),(3.12)где > 0 – коэффициент усиления. Подходящее значение коэффициента усиления можно определить с помощью моделирования.
Отметим, что похожий подход используется при настройке силы связи в сети систем Рёсслера [55].39Рис. 3.4: Синхронизация двух связанных систем ФХН (3.1) при помощинастройки силы связи по алгоритму (3.12). (a) и (b): динамика активаторов иингибиторов, соответственно; (c) и (d): разница между значениями активаторови ингибиторов, соответственно; (e): фазовая плоскость; и (f): динамика силысвязи. Параметры системы: = 3. Остальные параметры и начальные условиятакие же, как и на рис. 3.1.40Сейчас мы будем настраивать силу связи для синхронизации двух системФХН по алгоритму (3.12). Результаты моделирования можно увидеть на рис. 3.4.После переходного периода примерно в 15 единиц времени обе системы достигают желаемого синхронного состояния (см.
динамику активаторов и ингибиторов на рис. 3.4(a) и (b), соответственно, а также динамику их разницы нарис. 3.4(c) и (d)). Таким образом, этот алгоритм можно также применять дляуправления синхронизацией двух систем.3.2Анализ синхронизации двух связанных системФитцХью-Нагумо с дискретными связямиВ данном разделе будем рассматривать две связанные системы ФХН с дискретными связями.
Уравнения систем описываются следующим образом31 ()˙1 () = 1 () −− 1 () + [2 ( ) − 1 ()],3˙1 () = 1 () + − 1 (),32 ()˙2 () = 2 () −− 2 () + [1 ( ) − 2 ()],3˙2 () = 2 () + − 2 (),(3.13) 6 < +1 ,где – сила связи между нейронами. Параметры и примем равными 0.7и 0.8, соответственно, а параметр масштаба = 0.1. Такой выбор параметровиспользовался, например, в работах [41, 60, 63, 93].
Распространяющийся междунейронами сигнал задан кусочно-постоянной функцией с последовательностьюпромежутков времени 0 = 0 < 1 < · · · < < . . . , где lim→∞ = ∞.Причина рассмотрения дискретного сигнала заключается в том, что нейронвоздействует на своих соседей путем испускания спайков, т.е. импульсов, которые возникают между периодами восстановления. Предположим, что неравенства+1 − 6 ℎ ∀ > 0,41выполнены для некоторого ℎ > 0. Пользуясь идеей статьи [5], представим цифровой сигнал как сигнал с задержкой следующим образом ( ) = ( − ()), = 1, 2(3.14) () = − , 6 < +1 .Теперь сформулируем задачу синхронизации значений переменных двух систем ФХН.
Для этого вычтем третье уравнение системы (3.13) из первого, ачетвертое из второго, соответственно, произведя замену1 = 1 − 2 ,2 = 1 − 2 ,и получим˙1 () = (1 − − ())1 () − ( − ()) − 2 (),˙2 () = 1 () − 2 (), ∈ [ , +1 ),(3.15) () = − ,где = 1/3(21 + 1 2 + 22 ), () > 0, ∀. Нашей целью является изучить влияния шага дискретизации ℎ на устойчивость системы (3.15). Для этого будемиспользовать теорему 1.4. Для ее применения нужно определить сектор, в котором лежит нелинейность. Для этого введем следующую функцию Ляпунова[︃]︃∫︁ (︀)︀1 21 () + 22 () + 12 () + 22 () + (, z ) =(21 () + 22 ())d ,2− ()где z = (1 , 1 , 2 , 2 ). Найдем ее производную в силу системы (3.13)˙ (, z ) = −41 ()/3 + 21 () − 1 ()1 () + 1 ()2 ( − ()) − 21 ()−− 42 ()/3 + 22 () − 2 ()2 () + 2 ()1 ( − ()) − 22 ()++ 1 ()1 () + 1 () − 12 () + 2 ()2 () + 2 () − 22 ()++ 21 ()/2 + 22 ()/2 − 21 ( − ())/2 − 22 ( − ())/2 == −(1 ( − ()) − 2 ())2 /2 − (2 ( − ()) − 1 ())2 /2−− (21 () − 3/2)2 /3 − (22 () − 3/2)2 /3 − (1 () − /2)2 − (2 () − /2)2 ++ 3/2 + 2 /2,42откуда получим оценку√︂2 () 69 32 3++ ,222 = 1, 2,поэтому для рассматриваемых параметров системы = 0.8, = 0.7, = 0.1имеет место следующая оценка на нелинейность 0 6 () < 3.83.Таким образом, систему (3.15) можно преобразовать к виду()˙= () + () + ( − ()),() = T (),() = −1 ()(),где⎤⎡1 ()⎦,() = ⎣2 ()⎤⎤⎡⎡−/ 0(1 − )/ −1/⎦,⎦ , = ⎣=⎣001−⎡ ⎤⎡ ⎤1/−1 = ⎣ ⎦, = ⎣ ⎦.00Для всех > 0 нелинейная функция ((), ) лежит в секторе между двумяпрямыми линиями 1 = 0 и 2 = 3.83, поэтому выполнено неравенство0 6 6 3.83 2 .Мы свели систему (3.15) к форме (1.11) и можем применять к ней теорему 1.4для оценки шага дискретизации ℎ.Разрешимость линейных матричных неравенств была подтверждена с помощью моделирования в системе Matlab [69] с использованием пакета Yalmip(Sedumi solver) [65].
Результаты моделирования представлены на рис. 3.5 и отмечены зеленым цветом. Минимальная сила связи , необходимая для синхронизации, равна 0.48. Максимальное значение шага дискретизации ℎ, необходимоедля разрешимости линейных матричных неравенств, равно 1.26 и достигаетсяпри = 0.67. Также устойчивость системы (3.15) была проверена с помощьюмоделирования (см. красную область на рис.
3.5). Отметим, что для достаточно больших значений силы связи данный подход дает хорошую оценку шагадискретизации ℎ.43Рис. 3.5: Разрешимость линейных матричных неравенств по теореме 1.4 длясистемы (3.15) (зеленый цвет), и область синхронизации системы (3.15),полученная с помощью моделирования (красный цвет). Параметры системы: = 0.8, = 0.7, = 0.1.3.3Управление синхронизацией двух связанныхсистем ФитцХью-Нагумо с переменной задержкойВ данном разделе рассмотрим задачу управления синхронизацией в двух связанных системах ФХН с переменной задержкой. Необходимость управления возникает, например, в случае, если рассматривается система с дискретными связями,как в разделе 3.2, и шаг дискретизации настолько велик, что системы ведут себянесинхронизированно.443.3.1Случай с медленно-меняющейся задержкойРассмотрим две связанные системы ФХН31 ()˙1 () = 1 () −− 1 () + [2 ( − ()) − 1 ()] + (),3˙1 () = 1 () − 1 () + ,32 ()˙2 () = 2 () −− 2 () + [1 ( − ()) − 2 ()],3(3.16)˙2 () = 2 () − 2 () + ,где – сила связи между нейронами, () – внешний стимул, рассматриваемыйв качестве управления, – переменная задержка, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
