Диссертация (1150422), страница 7
Текст из файла (страница 7)
рис. 3.9(f)).55Глава 4Управление синхронизациейв сетях системФитцХью-Нагумо4.1Синхронизация в неоднородных сетях системФитцХью-НагумоВ этом разделе исследуются условия синхронизации неоднородной сети системФХН. Будет показано, что сила связи является ключевым параметром для синхронизируемости сети. Сфокусируемся на случае с нулевой задержкой () ≡ 0,чтобы упростить решение поставленной задачи. Рассмотрим сеть неоднородныхсистем ФХН, описываемую уравнениями∑︁3 ()˙ () = () −− () + [ () − ()],3=1(4.1)˙ () = () − () + ,где – сила связи между узлами, G = ( ) – матрица смежности, = 1, . . . , .Предположим, что значения пороговых параметров лежат в некотором отрезке, т.е. | − | 6 , ∀, = 1, .
. . , .56Предположим, что граф связей Γ сети (4.1) связный и неориентированный,т.е. его матрица смежности G = ( ) симметричная. Сложим все первые и вторые уравнения системы (4.1), соответственно, и разделим на , тогда получимсреднюю траекторию, описываемую уравнениями¯˙ () = ¯() − (1 (), . . . , ()) − ¯(),(4.2)¯˙ () = ¯() − ¯ () + ¯,где1 ∑︁¯ = , =11 ∑︁¯ = , =11 ∑︁¯= , =11 ∑︁ 3(1 , . . . , ) =.3 =1 (4.3)Если сеть (4.1) синхронизирована, то = ¯3 /3.Вычтем первое уравнение системы (4.2) из первого уравнения системы (4.1),а второе из второго, соответственно, и получим[˙ () − ¯˙ ()] = () − ¯() −+∑︁3 ()+ () − () + ¯()+3 [ () − ()],(4.4)=1˙ () − ¯˙ () = () − ¯() − [ () − ¯()] + − ¯.Так как рассматривается неоднородная сеть, то цель управления можно определить как| () − ¯()| 6 ∆1 ,| () − ¯()| 6 ∆2 ,при > * , = 1, .
. . , ,(4.5)где ∆1 , ∆2 – уровни точности, которые определим позднее.Для анализа устойчивости системы (4.4) введем следующую функцию Ляпунова)︀1 ∑︁ (︀ (z()) =[ () − ¯()]2 + [ () − ¯()]2 ,2 =157где z = (1 , 1 , . . . , , ). Найдем ее производную в силу системы (4.4) исделаем некоторые преобразования, учитывая формулы (4.3)˙ (z()) = {︂∑︁=1[︂3 ()[ () − ¯()] () − ¯() − + () − () + ¯()+3]︂∑︁+ [ () − ()] +=1}︂+ [ () − ¯()] ( () − ¯() − [ () − ¯()] + − ¯)=−∑︁[ () −¯()][3 ()/3− ()] +∑︁=1=[ () − ¯()]2 +=1+∑︁[ () − ¯()]=1∑︁ [ () − ()]−=1−∑︁(︀)︀[ () − ¯()]2 − [ − ¯][ () − ¯()] .
(4.6)=1Используя обозначения (4.3), получим следующее выражение∑︁[ () − ¯()] = 0.(4.7)=1Рассмотрим первую сумму в выражении (4.6). Используя полученное выражение∑︀(4.7), добавим слагаемое ¯3 ()/3 ¯()] = 0 в уравнение (4.6), тогда=1 [ () − первую сумму в этом уравнении можно представить как−∑︁[ ()−¯()][3 ()/3−()]=1∑︁1+3∑︁1 ∑︁= ()[ ()−¯()]−[ ()−¯()]3 ()+3 =1=11 ∑︁[ () − ¯()]¯ () = −[ () − ¯()]2 [2 () + ()¯() + ¯2 ()] 6 0.3 =1=13Она неположительна и равна нулю при () = ¯(), ∀ = 1, . . . , , следовательно, ее можно опустить.58Сумму второго и третьего членов в уравнении (4.6) можно представить вследующем виде∑︁2[ () − ¯()] + =1∑︁[ () − ¯()]=1=∑︁=12 ()∑︁ [ () − ()] ==1∑︁∑︁1 ∑︁2− () () − () + () () = ,=1=1,=1⎞⎛]︂ ⎜ 1 () ⎟(︁)︁ [︂ 1⎟⎜= 1 () · · · ()(Γ0 ) − (Γ) ⎜ ...
⎟ ,⎠⎝ ()где – степень й вершины графа,⎛ − 1 −1⎜⎜⎜ −1 − 1(Γ0 ) = ⎜⎜ ....⎜ ..⎝−1−1···−1⎞⎟⎟· · · −1 ⎟⎟.. ⎟ ,.... ⎟⎠··· − 1(Γ0 ) – матрица Лапласа полного графа Γ0 , который, очевидно, является связным и неориентированным, и⎛−12⎜ 1⎜⎜ −212(Γ) = ⎜⎜ ....⎜ ..⎝− 1 − 2· · · −1⎞⎟⎟· · · −2 ⎟⎟.. ⎟ ,.... ⎟⎠· · · (Γ) – матрица Лапласа графа связей Γ, который тоже является связным и неориентированным по предположению.Четвертая сумма в уравнении (4.6) отрицательна при | () − ¯()| > | − ¯|/для всех = 1, . . .
, . Имеет место неравенство | − ¯| 6 по предположению.Значит уровень точности ∆2 равен /. Из второго уравнения системы (4.4),получим, что второй уровень точности ∆1 равен 2.59Таким образом, мы свели задачу синхронизируемости сети (4.1) к разрешимости линейного матричного неравенства[︂]︂1(Γ0 ) − (Γ) ⪯ 0.(4.8)Минимальное собственное число матрицы Лапласа равно 0 (см. раздел 1.5).Все остальные собственные числа матрицы Лапласа полного графа (Γ0 ) равны [31]. Таким образом, имеют место неравенства(Γ0 ) ⪯ ,(Γ) ⪰ 2 (Γ) ,где 2 (Γ) – алгебраическая связность графа Γ, а⎡⎤0 0 ... 0⎢⎥⎢⎥⎢0 1 .
. . 0⎥⎥ = ⎢⎢ .. .. . . .. ⎥ .. .⎥⎢. .⎣⎦0 0 ... 1Значит, если выполнено неравенство ⪯ 2 (Γ) ,то будет выполнено и неравенство (4.8). В свою очередь, полученное матричноенеравенство разрешимо, если > 1/2 (Γ).Таким образом, если выполнено неравенство > 1/2 (Γ), то линейное матричное неравенство (4.8) разрешимо, а, значит, цель управления (4.5) достигается.Имеет место следующая теоремаТеорема 4.1. Пусть граф связей Γ неоднородной сети систем ФХН (4.1) неориентированный и связный. Также пусть значения пороговых параметров лежат в некотором отрезке, т.е. | − | 6 , ∀, = 1, . .
. , . Если выполненонеравенство > 1/2 (Γ), где 2 (Γ) – алгебраическая связность графа связей Γ,то цель управления (4.5) достигается с уровнями точности ∆1 = 2, ∆2 = /.60Данный результат является обобщением теоремы 3.1 для сети из узлов сосвязным неориентированным графом.Имеет место следующее неравенство 2 (Γ) 6 (Γ) [39], где (Γ) – минимальная степень вершины графа связей Γ.Следствие 4.1. Пусть значения пороговых параметров системы (4.1) лежатв некотором отрезке, т.е. | − | 6 , ∀, = 1, .
. . , , и граф связей сети(4.1) – неориентированный и связный. Если выполнено неравенство > 1/(Γ),где (Γ) – минимальная степень вершины графа связей Γ, то цель управления(4.5) достигается с уровнями точности ∆1 = 2, ∆2 = /.4.2Управление синхронизацией в неоднородныхсетях систем ФитцХью-НагумоЕсли для рассматриваемой сети систем ФХН неравенство > 1/(Γ) не выполнено, то можно добавить дополнительные связи ко всем узлам, чтобы обеспечить его выполнение. Это можно сделать с помощью добавления одинаковогодля всех узлов внешнего стимула ().
Для этой цели можно использовать ал∑︀горитм управления средним, т.е. добавить член () = 1 =1 () к каждомуузлу, что было сделано, например, в работах [98, 99]. Однако такой закон требует наличия обратных связей, поэтому вместо него мы можем использоватьуправление в форме() = (),(4.9)где – коэффициент усиления, а – значение активатора системы мастера,которая описывается следующими уравнениями()˙= () −3 ()− (),3()˙ = () − () + .61(4.10)С помощью выбора параметров , можно регулировать поведение сети. Например, если сеть находилась в возбудимом режиме, то путем добавления внешнего стимула, описываемого уравнениями (4.9), (4.10) с колебательным режимом,можно перевести всю сеть в колебательный режим.Для применения предложенного алгоритма управления рассмотрим неоднородное кольцо систем ФХН∑︁ ()3˙ () = () −− () + [ () − ()] + (),3=1˙ () = () − () + ,(4.11) = 1, .
. . , ,где матрица смежности G = ( ) имеет вид⎛⎜0 1 0 · · ·⎜⎜1 0 1 · · ·⎜⎜G = ⎜ ... ... ... . . .⎜⎜⎜0 0 0 · · ·⎝1 0 0 ···⎞1⎟⎟0⎟⎟.. ⎟ ..⎟⎟⎟1⎟⎠0(4.12)Для моделирования рассмотрим сеть из = 500 узлов. Пусть = 0.1, = 0.1, = 0.01, – пороговые параметры, имеющие нормальное распределение сосредним = 1 и стандартным отклонением = 0.1 и принадлежащие отрезку = ± . Без управления сеть не синхронизируется, что можно увидеть нарис. 4.1. Очевидно, что нет синхронизации между значениями активаторов иингибиторов.Для синхронизации сети используем алгоритм управления в форме (4.9),(4.10).
Результат показан на рис. 4.1: цель управления досигнута, и синхронизация имеет место как для активаторов (см. рис. 4.1(a)), так и для ингибиторов(см. рис. 4.1(b)).62Рис. 4.1: Поведение кольцевой сети из 500 систем ФХН (4.11), (4.12) безуправления (() = 0). (a) и (b): динамика активаторов и ингибиторов всехузлов, соответственно. Параметры системы: = 500, = 0.1, = 0.1, = 0.01. Пороговые параметры имеют нормальное распределение сосредним = 1 и стандартным отклонением = 0.1 и принадлежат отрезку = ± .
Начальные условия: (0) = 0, (0) = 0, = 1, . . . , .63Рис. 4.2: Управление синхронизацией в кольцевой сети из 500 системФХН (4.11), (4.12) с помощью внешнего стимула () (4.9), (4.10). (a) и (b):динамика активаторов и ингибиторов всех узлов, соответственно. Параметрысистемы: = 0.3, = 0.9, = 0. Остальные параметры и начальные условиятакие же как на рис. 4.1.644.3СинхронизациякольцасвязанныхсистемФитцХью-Нагумо с помощью настройки силысвязиЗдесь рассматривается обобщение алгоритма, предложенного в разделе 3.1.3на случай однонаправленного кольца из систем ФХН. Рассмотрим сеть системФХН из узлов (4.1), где матрица смежности G имеет следующую форму⎞⎛⎜0 1 0 · · · 0 ⎟⎟⎜⎜0 0 1 · · · 0 ⎟⎟⎜⎜ ..
.. . . . . .. ⎟(4.13)G = ⎜. ... .⎟ .⎟⎜⎟⎜⎜0 0 . . . . . . 1 ⎟⎠⎝1 0 0 ··· 0Подход основан на том, чтобы синхронизировать два узла в кольце; в этомслучае другие узлы также синхронизируются. Такая же идея используется дляуправления движением волны в цепи маятников [43]. Однако, есть ограничениедля использования этого подхода, установленное в ходе моделирования: узлы ссамым большим и с самым маленьким пороговым параметром в сети должныбыть соседними.Предположим, что – узел с самым большим пороговым параметром, а – ссамым маленьким, т.е. = max , = min ,=1,...,=1,...,и они являются соседними, т.е. = ( + 1) mod или = ( − 1) mod .Используем закон управления из раздела 3.1.3 (3.12) для синхронизации этихдвух узлов.
Тогда он будет выглядеть следующим образом˙()= [ () − () + − ] [ () − ()] ,(4.14)где – коэффициент усиления. Заметим, что закон изменения силы связи будетодинаковым между каждыми соединенными узлами в кольце. Как и в разде65ле 3.1.3, управление (4.14) обеспечивает приближенную синхронизацию () − () ≈ − + , () − () ≈ ,при > * , где – константы, и , = 1, . . . , .На рис. 4.3 представлены результаты моделирования поведения десяти систем ФХН, где настройка силы связи производится по закону (4.14). Можнозаметить, что после переходного периода примерно в 80 единиц времени узлысинхронизируются в колебательном режиме (см.
рис. 4.3(a) и (b), где показана динамика активаторов и ингибиторов, соответственно). Таким образом, цельуправления достигается.Мы рассмотрели случай, когда узлы с самым большим и самым маленькимпороговым параметром являются соседями. Если для рассматриваемой системыэто неверно, то закон управления (4.14) не даст результата.
Однако, если управлять каждой силой связи отдельно, то можно достичь цели управления. Тогдакольцевую сеть систем ФХН можно описать уравнениями3 ()˙ () = () −− () + ()[(+1) mod () − ()],3˙ () = () − () + ,(4.15) = 1, . . . , ,где () – сила связи с узлом . Далее, как и для случая двух узлов 3.1.3, применяя алгоритм скоростного градиента к системе (4.15) с целевой функцией]︀2 ∑︁ [︀(z()) = () − (+1) mod () + − (+1) mod ,2 =1где z = (1 , . . . , ) можно получить следующий закон управления[︀]︀ [︀ () = () − (+1) mod () × 2 () − (−1) mod ()−]︀− (+1) mod () + 2 − (−1) mod () − (+1) mod () , = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
