Диссертация (1150422), страница 2
Текст из файла (страница 2)
МодельФХН является образцом возбудимой системы с суперкритической бифуркациейАндронова-Хопфа [22, 35]. Основное свойство возбудимой системы заключается в том, что она остается в состоянии покоя до тех пор, пока воздействие нанее не превысит некоторый (определяемый параметрами системы) порог. Когдаэто происходит, возбудимая система генерирует отклик определенной формы идлительности уже вне зависимости от того, прекратился ли сигнал возбуждения, или же все еще длится [8].
Таким образом, в зависимости от параметровсистема ФХН может вести себя по-разному: либо находиться в колебатальномрежиме, т.е. в режиме, при котором траектории системы сходятся к устойчивомупредельному циклу, либо в возбудимом, когда траектории системы сходятся кпредельной точке. При рассмотрении нескольких связанных систем ФХН количество бифуркационных параметров возрастает: сила связи и задержка при передаче сигнала в этом случае также являются бифуркационными параметрами.Поэтому представляет интерес исследование поведения связанных систем ФХНв зависимости от параметров. Для нахождения возможных бифуркаций используется подход, предложенный в работах [34, 122], который был применен дляслучая двух связанных систем ФХН с одинаковыми параметрами.
Результатомэтой главы является нахождение условий бифуркации для случая двух связанных систем ФХН с различными параметрами, а также для случая неоднородногооднонаправленного кольца систем ФХН.В третьей главе исследуется задача управления синхронизацией простейшейсети – двух связанных систем ФХН с неоднородностями. В первой части главыв качестве неоднородности рассматриваются различные пороговые параметры7систем ФХН. В этом случае идеальная синхронизация, т.е. полное совпадениесостояний двух систем, невозможна. Поэтому ставится задача синхронизациисостояний систем со сдвигом в значениях, который зависит от разности пороговых параметров систем. Результатом первой части третьей главы является синтез алгоритмов управления синхронизацией и обоснование достижения целейуправления.
Первый алгоритм применим в случае известных параметров систем.Если же параметры систем неизвестны, что является адекватным требованием,так как нейроны различны, и их число велико, то необходимо применять адаптивный алгоритм управления. Также был предложен алгоритм синхронизациидвух систем с помощью настройки силы связи, основанный на методе скоростного градиента [13, 15].
Такой подход также находит применение в некоторыхслучаях [111, 112, 114, 130].Во второй части третьей главы рассматривается задача синхронизации двухсвязанных систем ФХН с дискретными связями. Дискретные связи рассматриваются по той причине, что нейроны передают сигнал друг другу при помощитак называемых спайков, т.е. импульсов, в некоторые моменты времени. Данная гибридная система сводится к системе с непрерывным временем методом,предложенным в работе [5].
Плюсом такого подхода является то, что при нем непроисходит потери данных, в отличие от стандартных методов дискретизации.Результатом этой части является нахождение оценок шага дискретизации в зависимости от силы связи, при котором имеет место синхронизация. Для этогоиспользуется метод, предложенный Сейфуллаевым Р. Э. и Фрадковым А. Л. [11],который является обобщением метода Фридман Э. [46] для нелинейных систем.В третьей части третьей главы рассматривается задача управления синхронизацией двух связанных систем ФХН с переменной задержкой.
Для построениярегуляторов и доказательств достижения целей управления используются функционал Ляпунова-Красовского [4, 57] и неравенство Халаная [56]. Результатомэтой части является синтез алгоритмов управления синхронизацией двух связанных систем ФХН для случаев с медленно-меняющейся задержкой и произволь8ной задержкой. Второй алгоритм управления можно применять для управлениясинхронизацией систем с дискретными связями, более того, при выполнениинекоторых условий алгоритм управления является дискретным.В четвертой главе исследуется задача синхронизации неоднородной сети систем ФХН. Главным результатом этой главы является получение достаточныхусловий синхронизации неоднородной сети, которые являются обобщением результатов работ [75, 109] для однородных сетей систем ФХН и базируются натеореме статьи [91].
На основе полученных условий предлагается алгоритмуправления синхронизацией в сети при помощи одинакового для всех узловвнешнего стимула. Отметим, что задачи синхронизации в сетях привлекаютбольшое внимание специалистов в различных областях науки и техники. В работах [2,9,16,94,102,103] приводятся различные алгоритмы управления синхронизацией в сетях. Однако, все они используют различные компоненты управлениядля каждого узла в сети.
Так как управлять каждым нейроном в отдельностизатруднительно в силу очевидных причин, то одинаковое значение управлениядля каждого узла является преимуществом предлагаемого алгоритма. Другимего преимуществом является то, что в отличие от алгоритма управления средним [98, 99], возможно задавать желаемое поведение сети, т.е. выбирать режимфункционирования: возбудимый или колебательный.
Также были разработаныалгоритмы синхронизации систем ФХН с помощью настройки силы связи дляслучая кольцевой сети. В качестве подтверждения работоспособности получаемых алгоритмов представлены результаты численного моделирования.В Заключении перечислены основные результаты работы.По теме диссертации опубликовано 10 работ [7,20,28,84–89,116], в том числе4 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, а именно в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основныерезультаты представлены на 6 всероссийских и международных конференциях.9Глава 1Предварительные сведения1.1Уравнения модели ФитцХью-НагумоВ этом разделе описываются уравнения модели ФХН [40, 73].
Эта двумернаянейроподобная модель является результатом упрощения четырехмерных моделей Ходжкина-Хаксли [59, 60] и сведения их к форме двумерного осцилляторас кубической нелинейностью, одной быстрой и одной медленной переменными. Модель ФХН хорошо подходит для описания динамики нейронов головного мозга, однако ее можно также использовать в контексте других систем,начиная с электронных схем [113] и заканчивая описанием сердечнососудистыхтканей [74, 127] и климатических систем [51].
Модель ФХН описывается уравнениями в следующей форме3 ()()˙= () −− (),3(1.1)()˙ = () − () + ,где и – переменные, качественно соответствующие трансмембранному напряжению и переменной активации ионного тока, соответственно (будем такженазывать их активатором и ингибитором, соответственно); – параметр соотношения временных масштабов, характеризующий относительную скорость активации (деактивации) ионного тока; , – постоянные параметры системы.10Рис. 1.1: Динамика системы ФХН (1.1).
Зеленой линией обозначен возбудимыйрежим, а красной линией – колебательный. (a): динамика активатора; (b):фазовая плоскость.В частном случае при = 0, параметр является пороговым параметромсистемы. Значениям || > 1 соответствует возбудимый режим, при которомтраектории системы стремятся к предельной точке, а значениям || < 1 – автоколебательная динамика (устойчивый предельный цикл на фазовой плоскости), возникающая через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа (см.рис.
1.1(b), где зеленой линией обозначен возбудимый режим, а красной линией– колебательный режим). Во втором случае нейрон испускает спайки, т.е. имеютместо колебания, тогда как в первом случае он находится в покое, т.е. колебанияотсутствуют (см. рис. 1.1(a)).1.2Алгоритм скоростного градиентаВ этом разделе описывается алгоритм скоростного градиента, предложенныйФрадковым А. Л. [13, 15]. Рассмотрим нелинейную динамическую систему˙ = (, , ),(1.2)где ∈ R – вектор состояния, ∈ R – вектор входных переменных.
Векторфункция : [0, ∞) × R × R → R предполагается кусочно-непрерывной по 11и непрерывно дифференцируемой по , . Алгоритм скоростного градиента используется для решения задач управления непрерывными по времени системами, в которых цель управления задана при помощи целевой функции. Опишемпостроение алгоритмов скоростного градиента для непрерывной нестационарной системы (1.2). Для этого определим цель управления(, ()) 6 ∆,при > * ,(1.3)где (, ) – гладкая скалярная целевая функция, а ∆ – желаемый уровень точности.Для построения алгоритма сначала вычисляется скорость изменения целевойфункции на траекториях системы (1.2)(, , ) =(, )+ [∇ (, )]T (, , ).Затем находится градиент функции (, , ) по входным переменным[︂ ]︂T [︂ ]︂T∇ (, , ) ==∇ (, ).И, наконец, задается алгоритм изменения () дифференциальным уравнением˙ = −Γ∇ (, , ),(1.4)где Γ = ΓT ≻ 0 – произвольная положительно определенная матрица, например Γ = diag{1 , .
. . , }, > 0. Здесь и далее знаки ≻ и ≺ будут использоваться для обозначения положительно и отрицательно определенных матриц,соответственно. Алгоритм (1.4) называется алгоритмом скоростного градиентав дифференциальной форме (АСГ), поскольку в нем изменение () происходитпропорционально градиенту скорости изменения целевой функции.Происхождение алгоритма (1.4) можно объяснить следующим образом. Длядостижения цели управления (1.3) желательно изменять управление в направлении уменьшения целевой функции (, ). Однако функция (, ) не зависитот , поэтому найти такое направление затруднительно. Вместо этого можно12˙ стремясь к выполнению неравенствапопытаться уменьшить ее производную ,˙ < 0, означающего, в свою очередь, уменьшение самой функции (, ). Функция ˙ = (, , ) уже явно зависит от , что и позволяет написать алгоритм(1.4).Аналогичным образом строится так называемый алгоритм скоростного градиента в конечной форме() = 0 − Γ∇ (, (), ()),(1.5)где 0 – некоторое начальное (опорное) значение управления (обычно берется0 = 0).Аналитические условия, гарантирующие достижение цели управления (1.3) всистеме (1.2) и (1.4) или (1.5) могут быть найдены, например, в работах [14,104].1.3Устойчивость систем с запаздываниемВ данном разделе опишем два подхода к исследованию устойчивости системс запаздыванием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
