Диссертация (1149691), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поэтому сразу перейдем к наиболее сложному свычислительной и с точки зрения построения задачи случаю — пропагациинеточного свидетельства в ФЗ с интервальными оценками вероятностей.Теорема 3.6.7.Для решения первой задачи апостериорного выводав случае поступления неточного свидетельства в ФЗ с интервальными оценками вероятностей потребуется решитьвключающих в себя2 (3 (2 ) + 1)2( +1)ЗЛП,ограничений, вытекающих из аксиоматики теории вероятностей и предметной области, гдеколичество атомов, входящих в алфавит свидетельства, а—— мощность алфавита, над которым построен ФЗ.Задачи линейного программирования, решение которых дает интервал, накрывающий вероятность поступившего свидетельства сформирована в уравнении 3.32. Отметим, что объемлющую ЗЛПможно разбить на 2 задачи — поиск минимума(максимума) скалярногопроизведения вектора s⟨ ; ⟩ и Pq , при условиях ∪ ℰ и затем поиск минимума(максимума) линейной комбинации минимума, полученного в первойзадаче, и элементов вектора вероятностей фрагмента знаний.Начнем рассмотрение с первой задачи.
Как было показано ранее втеореме 3.6.5 множество условий ∪ ℰ добавляет в ЗЛП 3 (2 ) + 1 ограничений. Сама же ЗЛП состоит из 2 уравнений, представленных скалярнымДоказательство. 96произведением двух векторов — по одному для каждого пропагируемогодетерминированного свидетельства.Перейдем ко второй ЗЛП, решаемой в рамках данной задачи. Здесь+1ограничение на вектор вероятностей свидетельства Pevq добавляют 2ограничений — по 2 для каждого элемента вектора, а ЗЛП представленалинейной комбинацией элементов вектора вероятностей свидетельства и минимумов вероятностей соответствующих детерминированных свидетельств.С другой стороны, можно заметить, что минимум данного выражения будет достигнут при минимальных оценках вероятностей элементов вектораPevq , а максимальные, соответственно при максимальных. Данное замечание позволит нам не строить вторую ЗЛП, а лишь посчитать результатсоответствующей линейной комбинации.3.7Оценки чувствительности уравненийВ предыдущих параграфах были предложены матрично-векторныеуравнения для первой и второй задач апостериорного вывода, что не только добавило ясности и прозрачности в алгоритмы апостериорного вывода,но и открыло возможности для оценки чувствительности уравнений апостериорного вывода к вариации входных данных.
Целью данного параграфаявляется оценка чувствительности уравнений для решения первой задачиапостериорного вывода к вариации вероятностей элементов идеала конъюнктов свидетельства и фрагмента знаний, куда данное свидетельствопоступает. Для достижения поставленной цели строятся задачи линейного программирования, решение которых дает искомую оценку, а такжепроводятся алгебраические преобразования, результатом которых является точная оценка чувствительности.Анализ чувствительности является одним из критериев оценки математической модели [14; 16; 46]. Характеризуя степень колебания результатав зависимости от изменения входных данных, чувствительность имеет практическое предназначение и позволяют определить степень претенциозности97к точности входных данных, что сказывается на количестве входных данных необходимых на вход соответствующему алгоритму для получениярезультата заданной точности.В данном разделе будем придерживаться той же структуры изложения, что и в разделах 3.3 и 3.4 и сгруппируем излагаемый материал потипам фрагментов знаний и видам оценок вероятностей в поступающихсвидетельствах.3.7.1Фрагмент знаний над идеалом конъюкнтовДетерминированное свидетельствоПусть задан фрагмент знаний (ФЗ) со скалярными оценками вероятностей истинности элементов идеала конъюнктов ⟨,Pc ⟩.
Рассмотрим поступившее в данный ФЗ детерминированное свидетельство ⟨ , ⟩. Отметим,̂︁что на вектора Pc и Pc накладывается условие непротиворечивости [156;̂︁166] I Pc > 0 и Pc I > 0. Воспользовавшись введенной выше формулойдля решения первой задачи апостериорного вывода запишем решения длядвух рассматриваемых фрагментов знаний:(︁)︁(⟨ , ⟩) = r⟨ ; ⟩ ,Pc и ̂︀(︁)︁̂︁(⟨ , ⟩) = r⟨ ; ⟩ ,Pc . Для анализа чувствительности данного выражения мы воспользуемся двумя метриками — метрика , действующая на векторах вероятностей(︁(︁)︁)︁̂︁истинности элементов ФЗ Pc ,Pc и метрика , действующая на оценкахвероятности поступления свидетельства ⟨ , ⟩ — ( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)).Немаловажным является выбор метрик и , так как он непосредственновлияет на дальнейшие преобразования и конечный результат, поэтому в наших интересах сделать процесс вычислений и анализа проще и сводимымк ранее полученным результатам.
Для множества векторов вероятностей⃒⃒(︁(︁)︁)︁⃒⃒̂︁̂︁̂︁−1⃒выберем метрику Pc ,P=maxP[]−P[]ccc ⃒, где Pc [] и Pc [] —=0(1)2скаляры, а для оценок вероятности свидетельства ( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)) =98( ) = | − ̂︀|. Тогда постановка задачи сведется к исследованию чувствительности величины ( (⟨ , ⟩) , (⟨ , ⟩)) к допустимой вариациивероятностей истинности элементов ФЗ при поступлении допустимого свидетельства ⟨; ⟩ (термин «допустимого» в данном контексте подразумевает,что индексы и не превосходят наибольший индекс конъюнкта в рассматриваемом ФЗ).Перейдем к формулировке экстремальных задач и постановке задачлинейного программирования.
Первой задачей является поиск супремума̂︀) при вариации допустимых вероятностей элементов идеалов конъюнк (,(︁)︁̂︁̂︁тов δ : Pc ,Pc 6 δ, где допустимость Pc и Pc описывается условияминепротиворечивости. Формальная запись данной задачи будет выглядетьследующим образом [77]:̂︀ ,ε=(sup)̂︀ . ,̂︀ I >0,P I >0,Pc c ̂︀ (Pc ,Pc )6δВторой задачей, решаемой параллельно с данной будет задача определенияуказанного супремума при условии зафиксированного набора исходных оценок Pc = P∘c .
Данную задачу можно записать следующим образом [77]:ε=sup̂︀P∘c I >0,Pc I >0,∘̂︀ (Pc ,Pc )6δ()̂︀ . ,Для преобразования данной задачи в задачу линейного программированиянеобходимо привести все ограничения к линейному виду. Данное требование автоматически выполняется для условий непротиворечивости оценок(︁)︁̂︁̂︁ФЗ (I Pc > 0 и PI>0),аусловиеP,Pв соответcc c 6 δ можно,⃒⃒⃒̂︁ствии с выбранной метрикой, расписать как max =0(1)2 −1 ⃒⃒Pc [] − P[]c ⃒ 6δчто, в свою очередь, преобразуется в систему линейных неравенств⎧⎪̂︁⎪⎨P [] − P [] 6 δ,cc−1 . Кроме того наличие модуля в целевой = 0 (1) 2⎪⎪̂︁⎩P [] − P [] > −δ,ccфункции (,̂︀) = | − ̂︀| подразумевает решение ЗЛП для двух целевыхфункций (,̂︀) = − ̂︀ и (,̂︀) = ̂︀ − .
Суммируя все вышесказанное99задача оценивания чувствительности сводится к двум ЗЛП:ε=̂︀P⟨̂︀⟨{ −maxI >0,Pc I >0,̂︀ (Pc ,Pc )6δ,c ,̂︀ ̂︀,− } и ε (P∘c ) =⟩=(r⟨ ; ⟩ Pc )⟩=(r⟨ ; ⟩ P̂︀ c ) , ,,max∘c I >0,Pc I >0,∘̂︀ (Pc ,Pc )6δ,⟨ ; ⟩ ,P∘c ),⟨ , ⟩=(r⟨ ; ⟩ ,P̂︀̂︀⟨ , ⟩=(rc)̂︀P,{ −̂︀ ̂︀,− } . Однако зачастую необходим простой подход, не требующий большогочисла вычислений и позволяющий дать некоторую оценку чувствительности, что в частности позволит в дальнейшем, при постановке экспериментовили опросе экспертов планировать затраты на сбор информации.
Воспользуемся алгебраическими операциями для получения верхней оценкичувствительности.Теорема 3.7.1 ([77]). Оценка чувствительности первой задачи апостериорного вывода при поступлении детерминированного свидетельства в фрагмент знаний с скалярными оценками истинности кдопустимой вариации оценок истинности элементов фрагмента знаний меньше либо равна произведению допустимой вариации оценокистинности на сумму элементов вектора-редистрибьютора для поступившего свидетельства2∑︁−1 ⟨ ; ⟩̂︀) 6 δ (,r [].=0 Оценим (,̂︀):⃒(︁)︁(︁)︁⃒)︁⃒⃒⃒⃒̂︁̂︁⟨;⟩⟨;⟩̂︀) = |̂︀ − | =⃒⃒ (,r⟨ ; ⟩ ,P−r,P=r,P−Pc )︁⃒ ⃒cc⃒c ⃒⃒⃒⃒(︁⃒∑︀2 −1⃒⃒∑︀2 −1⃒⃒∑︀2 −1⃒̂︁⟨;⟩⟨;⟩⟨;⟩⃒⃒⃒⃒⃒==0 r [] Pc [] − Pc [] 6=0 r []δ = δ =0 r []⃒Что и требовалось доказать.Доказательство.⃒(︁⃒⃒ Стохастическое свидетельствоТеперь рассмотрим аналогичную задачу при поступлении стоха′стического свидетельства, заданного над фрагментом знаний ⟨ ,Pevc ⟩, всформированный ранее фрагмент знаний.
Уравнение для решения первойзадачи в случае стохастического свидетельства предложено выше.100Рассмотрим допустимый вектор вероятностей истинности элементовФЗ, лежащего в основе поступившего свидетельства и зафиксируем его.Таким образом мы сведем количество переменных в уравнении первойзадачи апостериорного вывода к 1 — вектору вероятностей элементовФЗ.
Используя метрики и обозначения из предыдущего подраздела сформулируем задачу как оценить чувствительность первой задачи апостериорного вывода к допустимой вариации вероятностей элементов ФЗ припоступлении стохастического свидетельства. Данную формулировку можно записать следующим образом с использованием формального языка:(︁ (︁′ ev )︁ (︁ ′ ev )︁)︁̂︀ ,P, ,Pcc = (,̂︀) = | − ̂︀| Аналогично предыдущему случаюперед нами встают 2 задачи —- поиск супремума (,̂︀) и поиск супремума̂︀) при условии зафиксированного набора исходных оценок P (,c = P∘c .Кроме того, необходимо добавить ограничение допустимости, накладываемое на вектор вероятностей элементов ФЗ свидетельства — I Pevc 6 0.Формальная запись первой и второй задач представлена ниже:ε=sup̂︀Pc() и ε (P∘c ) =sup̂︀ ,evcI >0,Pc I >0,P I >0̂︀ (Pc ,Pc )6δ̂︀P∘evc I >0,Pc I >0,Pc I >0∘̂︀ (Pc ,Pc )6δ()̂︀ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
