Диссертация (1149691), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Оценка чувствительности первой задачи апосте­риорного вывода при поступлении стохастического свидетельства вфрагмент знаний над пропозициями-квантами с скалярными оценка­ми истинности к допустимой вариации оценок истинности элемен­тов фрагмента знаний меньше либо равна произведению допустимойвариации оценок истинности на линейную комбинацию элементоввектора вероятностей свидетельства с суммой элементов вектора­селектора в качестве коэффициента:′⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev⎝̂︀) 6 δ (,s ][]⎠ Pq [ ].=0 =0, ,,(3.52)Доказательство.(,̂︀) = |̂︀ − | = ⃒⃒̂︀⃒(︁′⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⟨ev Pevq⟩ − ⟨ev Pevq⟩)︁,(︁,)︁⃒⃒⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev̂︁=s],Pq Pq[]=0, ,,′⃒⃒)︃)︃2 ∑︁−1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩⃒ev−s],Pq Pq[]⃒⃒⃒⃒=0, ,,′⃒⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ (︁⃒)︁ev̂︁Pq []⃒⃒⃒.=s], Pq − Pq⃒=0, ,,⃒̂︁По теореме 3.7.3 ⃒⃒ s⟨ ; ⟩ ,Pq − Pq ⃒ 6 δ 2 =0 s⟨ ; ⟩ [].

Тогда произведем под­становку в формуле выше. В данном случае запись с использованием′нотации ⟨GInd(,),GInd(2 − 1 − ,)⟩ и ⟨; ⟩ идентична, так как втораяиспользуется для трансформации локальных индексов элементов свиде­тельства в глобальные индексы накрывающей АБС, которой принадлежитрассматриваемый ФЗ. Также, аналогично первому случаю, можно опуститьиспользование модуля в записи благодаря неотрицательности элементоввектора-селектора⃒(︁)︁⃒ ∑︀−1 108′⃒⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ (︁⃒)︁ev̂︁s], Pq − PqPq []⃒⃒⃒⃒=0, ,′,⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev⎝6δs ][]⎠ Pq [ ].=0 =0, ,3.7.3,Фрагмент знаний над идеалом дизъюнктовДетерминированное свидетельствоАналогично предыдущим подразделам, в случае ФЗ над идеаломдизъюнктов воспользуемся следующими метриками: , действующая на(︁(︁′ ̂︁ ′ )︁)︁векторах вероятностей истинности элементов ФЗ Pd ,Pd и , дей­ствующая на оценках вероятности поступления свидетельства ⟨ , ⟩— ( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)).

Для множества векторов оценок вероятно­(︁(︁′ ̂︁ ′ )︁)︁стей элементов идеала дизъюнктов выберем метрику Pd ,P=d⃒⃒′′′′⃒⃒̂︁̂︁max =0(1)2 −1 ⃒Pd [] − Pd []⃒, где Pd [] и Pd [] –– скалярные величины. Намножестве оценок вероятностей свидетельства рассмотрим следующуюметрику:̂︀ (⟨ , ⟩)) = (,̂︀) = | − ̂︀| . ( (⟨ , ⟩) ,Тогда исследование чувствительности сведется к рассмотрениюзависимости величины ( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)) от допустимой вариациивероятностей истинности элементов ФЗ при поступлении допустимогосвидетельства ⟨; ⟩ (термин «допустимый» в данном контексте подразу­мевает, что индексы и не превосходят наибольший индекс конъюнктав рассматриваемом ФЗ).Перейдем к формулировке экстремальных задач и постановке ЗЛП.Первой задачей является поиск супремума разницы оценок вероятностейпоступившего свидетельства по метрике ( (,̂︀)) при вариации допусти­(︁′ ̂︁ ′ )︁мых вероятностей элементов идеалов конъюнктов δ : Pd ,Pd 6 δ, где109′′̂︁допустимость Pd и Pd описывается условиями непротиворечивости.

Второйзадачей, решаемой параллельно с данной будет задача определения указан­ного супремума при условии зафиксированного набора исходных оценок′∘′Pd = Pd . Две указанные задачи можно формализовать следующим об­разом [92]:,ε=sup′̂︀ >0,L Pd′LP>0,(︁′ ̂︀d ′ )︁(,̂︀) и ε =sup),(̂︀ . ,′̂︀ >0,L P′d∘L P >0,(︁ ′ d∘ ̂︀ ′ )︁Pd ,Pd 6δ,Pd ,Pd 6δОднако, отметим, что указанные выше задачи не являются по умолча­нию ЗЛП. Для приведения данной задачи к ЗЛП необходимо привести всеограничения к линейному виду. Данное требование автоматически выпол­′′̂︁няется для условий непротиворечивости оценок ФЗ (L Pd > 0 и L Pd > 0),(︁′ ̂︁ ′ )︁а условие Pd ,Pd ) 6 δ можно, в соответствии с выбранной метрикой ,расписать как⃒′ ⃒⃒′̂︁max =0(1)2 −1 ⃒⃒Pd [] − Pd []⃒ 6 δ что, в свою очередь, преобразуется в систе­му линейных неравенств⎧⎪⎪⎨̂︁Pd [] − Pd [] 6 δ,′′= 0(1)2 −1 .

Кроме тогоPd [] − Pd [] > −δ,наличие модуля в целевой функции (,̂︀) = | − ̂︀| подразумевает од­новременное решение ЗЛП для двух целевых функций (,̂︀) = − ̂︀ и̂︀) = ̂︀ − . Суммируя все вышесказанное сформулированные выше за­ (,дачи по оценке чувствительности сводится к двум ЗЛП [92]:ε=L′ max ′̂︀ >0 L P >0P⟨̂︀⟨(︁d,′′ )︁,d̂︀Pd ,Pd 6δ, ,⟩= d⟨ ; ⟩ ,P′d ,(︁)︁⟨ ; ⟩ ̂︀ ′ ,(︁)︁ ⟩=d Pd,{ −⎪⎪⎩̂︀ ̂︀,′̂︁− }иε′(︂′ ,∘ )︂Pd=′{ −max ′∘̂︀ >0,L P , >0,L P(︁d)︁ d,̂︀ P,P6δ,(︁d′ .)︁⟨ ⟩= d⟨ ; ⟩ Pd∘(︁)︁̂︀⟨⟩= d⟨ ; ⟩ P̂︀ ′d ,− }′∘ ′d ,̂︀ ̂︀, ,,,,Приведенный выше подход является корректным с математическойточки зрения, однако требует больших затрат на вычисление и решениеЗЛП.

Приведем ниже утверждение, позволяющее с помощью алгебраиче­ских преобразований получить верхнюю оценку чувствительности.Теорема 3.7.5 ([92]). Оценка чувствительности первой задачи апосте­риорного вывода при поступлении детерминированного свидетель­ства в фрагмент знаний с скалярными оценками истинности к110допустимой вариации оценок истинности элементов фрагмента зна­ний меньше либо равна произведению допустимой вариации оценокистинности на сумму элементов вектора для поступившего свиде­тельства2∑︁−1 ⟨ ; ⟩̂︀) 6 δ (,d [].=0 ОценимДоказательство.(():̂︀ ,⃒(︁⃒(︁′′ )︁⃒⃒′ )︁ (︁ ⟨ ; ⟩ ′ )︁⃒⃒⃒⟨ ; ⟩ ,P̂︁̂︁⃒ = ⃒ d−P−d,P) = |̂︀ − | = ⃒⃒ d⟨ ; ⟩ ,Pdd ⃒dd ̂︀ ,=2−⃒⃒ 1⃒ ∑︁⃒⃒⃒=0 ⃒⃒)︁⃒ ⃒⃒⃒d⟨ ; ⟩ [] Pd [] − Pd [ ] 6(︁ ′̂︁′2−⃒⃒ 1⃒ ∑︁⃒⃒⃒=0⃒⃒⃒⃒⃒⃒d⟨ ; ⟩ []δ = δ −2⃒⃒ 1⃒ ∑︁⃒⃒⃒=0⃒⃒⃒ ⃒⃒ .⃒d⟨ ; ⟩ [ ] Что и требовалось доказать.Построив график зависимости разницы δ от вариации оценок веро­ятности истинности элементов ФЗ можно заметить, что кривая стремитсяк 1, что дает нам уверенность утверждать, что модель устойчива и ее ис­пользование корректно.Стохастическое свидетельствоНаконец рассмотрим случай пропагации стохастического свидетель­ства ⟨ev ,Pevd ⟩ в фрагмент знаний над идеалом дизъюнктов.

Аналогичнопредыдущим двум моделям фрагментов знаний, здесь мы будет рассмат­ривать стохастическое свидетельство как пропагацию серии детермини­рованных свидетельств. Зафиксируем вектор допустимых вероятностейфрагмента знаний, над которым сформировано свидетельство, так чтобымы могли анализировать чувствительность лишь относительно вариацииоценок вероятностей элементов фрагмента знаний, куда свидетельствопоступает. Используемые ниже метрики и позаимствуем из случая де­терменированного свидетельства.(︁)︁(⟨ , ⟩) = s⟨ ; ⟩ ,Pq и ̂︀(︁)︁̂︁(⟨ , ⟩) = s⟨ ; ⟩ ,Pq . (3.53)111Принимая во внимание все вышесказанное, сформулируем ЗЛП, решениекоторой дает оценки чувствительности рассматриваемой модели [92]:ε=sup()(3.54)̂︀ . ,′̂︀ >0,L Pd′L Pd >0ev ′L Pd >0(︁′ ̂︀ ′ )︁,Pd ,Pd 6δОтметим, что в данном уравнении, в сравнении с ЗЛП для детермини­рованного свидетельства, добавилось условие непротиворечивости оценоквероятностей элементов свидетельства.

Ниже представлена задача поискасупремума в случае когда только один из векторов оценок вероятностейрассматриваемого ФЗ варьируется, а второй остается неизменным [92]:′ ,∘ )︂(︂ε Pd=sup()(3.55)̂︀ . ,′̂︀ >0,L Pd′L Pd >0,ev ′L P(︁d >0, )︁′∘′ ̂︀ ′,′P d =P d,Pd ,Pd 6δКак и в случае с идеалом конъюкнтов, преобразуем поставленные вышезадачи к серии ЗЛП, приведенных ниже [92]:ε=L==̂︀(︂′ ,∘ )︂ε Pd′∑︀2′max′′−1(︃(︃−1d⟨GInd([(︃(︃=0=′−1(︃(︃=0′′,),GInd(2′)︃⟩ ],P′ L Pev ′dd−1−[,)−1−[)︃,))︃,′ev ′⟩ ],P̂︀d L Pd)︃ ,[]{ −,̂︀ ̂︀,− } .,Pd ,Pd 6δ,d⟨GInd([,),GInd(2(︃(︃− } ,,̂︀ ̂︀,[],max′′̂︀=∑︀2=0−1̂︀′>0∘ ,L Pev ′ >0L Pd >0,(︁L Pd >0d′ ∘ ̂︀ ′ )︁∑︀2′{ −̂︀Pd ,Pd 6δ,,),GInd(2d⟨GInd([=′ev,dL Pd >0,L Pd >0,(︁)︁ =0∑︀2̂︀P′−1−[d⟨GInd([,),GInd(2⟩ ],P,)′−1−[′∘)︃,dL Pev,d)︃′′ev ′⟩ ],P̂︀d L Pd,),)︃[] ,)︃[]Поставленные ЗЛП дают точные оценки чувствительности, однакотребуют больших объемов вычислений.

Рассмотрим ниже альтернативныйспособ вычисления накрывающей оценки чувствительности рассматрива­емой модели.112Теорема 3.7.6 ([92]). Оценка чувствительности первой задачи апосте­риорного вывода при поступлении стохастического свидетельства вфрагмент знаний с скалярными оценками истинности к допустимойвариации оценок истинности элементов фрагмента знаний оценива­ется следующим образом:′⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev ′⎝̂︀) 6 δ (,d ][]⎠ L Pd [ ].=0 =0, ,,,Следуя подходу использованному в доказательстве тео­ремы 3.7.5 оценим (,̂︀):Доказательство.)=|(̂︀,′̂︀− |=⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒ (︂⃒⃒ ̂︀⃒⟨ ,Pevd ′ ⟩′,)︂−⟨ ,Pevd ′ ⟩(︂′)︂⃒⃒⃒⃒,)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩′′ev̂︁d],Pd L Pd[]==0, ,,,′⃒⃒)︃)︃2 ∑︁−1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩⃒′′ev−d],Pd L Pd[]⃒⃒⃒⃒=0, ,,,′⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ (︁ ′⃒′′ )︁ev̂︁=d], Pd − PdL Pd []⃒⃒⃒.⃒=0, ,,,(︁′ )︁⃒⃒′∑︀̂︁2 −1−PПо теореме 3.7.5 ⃒⃒ d,Pd ⃒ 6 δ =0 d[].

Тогда произведем подстановку:d⃒′⃒⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩⃒′′′ev̂︁d],(Pd − PdL Pd )[]⃒⃒⃒⃒=0, ,,,′⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev ′⎝d ][]⎠ L Pd [ ].6δ=0 =0, ,,,3.8Способ обработки виртуального свидетельстваПредложенные ранее матрично-векторные уравнения в апостериор­ном выводе [93—95; 165] оказались удобны как для работы с математиче­ским аппаратом [87; 92; 113], так и в программной реализации [35; 111].113Данный раздел главы направлен на распространение матрично-векторно­го подхода, апробированного в локальном ЛВВ на глобальный вывод. Вконтексте главы рассматривается связанная непротиворечивая АБС, сфор­мированная над множеством идеалов конъюкнтов.Рассмотрим ациклическую АБС, удовлетворяющую условиям, при­веденным выше.

Характеристики

Список файлов диссертации