Диссертация (1149691), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

,Проведя преобразования, аналогичные тем, что мы применили в предыду­щей задаче, рассматривая поступившее детерминированное свидетельство,сведем оценивание чувствительности в решению двух ЗЛП:ε={ −max=∑︀2=̂︀′−1(︃(︃=0′∑︀2−1̂︀ I >0,P I >0,Pev I >0Pc c c ̂︀ (Pc ,Pc )6δ,r⟨GInd([,),GInd(2(︃(︃=0r⟨GInd([ε (P∘c ) =′,),GInd(2′−1−[)︃⟩ ],Pc I Pevc,)−1−[)︃)︃⟩ ],Pev̂︀c I Pc,)==̂︀′∑︀2−1(︃(︃=0′∑︀2−1=0r⟨GInd([,),GInd(2(︃(︃r⟨GInd([′,),GInd(2−1−[[]′⟩ ],P∘c I Pevc,)−1−[)︃)︃⟩ ],Pev̂︀c I Pc,) , ,{ −)︃− }[])︃max̂︀ I >0,P∘ I >0,Pev I >0Pc c c ∘ ̂︀ c )6δ, (Pc ,P̂︀ ̂︀,̂︀ ̂︀,− } .[] ,)︃[]Теорема 3.7.2 ([77]). Оценка чувствительности первой задачи апосте­риорного вывода при поступлении стохастического свидетельства в101фрагмент знаний с скалярными оценками истинности к допустимойвариации оценок истинности элементов фрагмента знаний оценива­ется следующим образом:′⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev⎝̂︀) 6 δ (,r ][]⎠ I Pc [ ].=0 =0, ,,.Следуя подходу использованному в доказательстве Тео­ремы 1 оценим (,̂︀):Доказательство.(,̂︀) = |̂︀ − | = ⃒⃒̂︀⃒(︁)︁,′⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⟨ ′ Pevc⟩ − ⟨ ′ Pevc⟩(︁)︁⃒⃒⃒,)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev̂︁r],Pc I Pc[]==0, ,,′⃒⃒)︃)︃2 ∑︁−1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩⃒ev−r],Pc I Pc[]⃒⃒⃒⃒=0, ,,′⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ (︁⃒)︁ev̂︁=I Pc []⃒⃒⃒.r], Pc − Pc⃒=0По теореме 1ку:⃒(︁⃒⃒, ,,)︁⃒−1∑︀⃒̂︁r⟨ ; ⟩ ,P−Pcc ⃒ 6 δ 2 =0 r⟨ ; ⟩ [].

Тогда произведем подстанов­ ′⃒⃒ ⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒)︃)︃2 −1 (︃(︃ ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ (︁⃒)︁ev̂︁r], Pc − PcI Pc []⃒⃒⃒⃒=0, ,,′⎞2 ∑︁−1 ⎛2∑︁−1 ⟨GInd([ ) GInd(2 ′ −1−[ )⟩ev⎝6δr ][]⎠ I Pc [ ].=0 =0, ,,1023.7.2Фрагмент знаний над множеством пропозиций-квантовДетерминированное свидетельствоРассмотрим фрагмент знаний ⟨,Pq ⟩ над множеством пропозиций­квантов, описанным выше.

Предположим, что в данный ФЗ поступилодетерминированное свидетельство ⟨ , ⟩ и изучим чувствительность урав­нения для решения первой задачи апостериорного вывода к вариацииоценок вероятностей в ФЗ.Пусть вариация оценок вероятностей описывается двумя векторами̂︁— Pq и Pq , при этом на каждый из них накладываются ограничения непро­̂︁тиворечивости, определяющие допустимые значения: Pq > 0 и Pq > 0, а(︁)︁̂︁также (Pq , 1) = 1 и Pq , 1 = 1. Пара последних ограничений — ни чтоиное, как условие нормировки.

Тогда запишем для каждого из двух векто­ров соответствующее уравнение апостериорного вывода:(︁)︁(⟨ , ⟩) = s⟨ ; ⟩ ,Pq и ̂︀(︁)︁̂︁(⟨ , ⟩) = s⟨ ; ⟩ ,Pq . (3.41)Таким образом, чтобы провести анализ чувствительности данного выра­жения, нам потребуется 2 метрики — метрика , чьей областью действияявляется множество оценок вероятностей элементов ФЗ, и метрика , при­менимая к оценкам вероятностей элементов свидетельства. В качествеметрики для множества оценок вероятностей элементов ФЗ воспользуемсяметрикой Чебышева. Ниже приведем выбранные в рамках данной работыметрики для обоих множеств:(︁(︁(̂︁Pq ,Pq)︁)︁=⃒̂︁max −1 ⃒⃒Pq [] − Pq []⃒,⃒⃒=0(1)2) = ( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)) = | − ̂︀| ,̂︀ ,(3.42)̂︁где Pq [] и Pq [] — скалярные значения вероятностей пропозиций-квантов,приняв ради однозначности здесь и далее обозначение Pq [] за -й элементвектора Pq .

Формальная постановка задачи оценки чувствительности сво­дится к исследованию значения величины (,̂︀) к допустимой вариации(︁)︁̂︁вероятностей элементов ФЗ, а именно к величине Pq ,Pq [164]. Отме­тим, что требование допустимости в данном контексте обуславливается103накладываемыми моделью ограничениями непротиворечивости оценок, атакже совпадающей размерности рассматриваемых векторов. Говоря о чув­ствительности, будем одновременно рассматривать решение двух задач длякаждого вида свидетельств — чувствительность модели при варьировании̂︁обоих наборов оценок вероятностей (Pq и Pq ) и чувствительность при усло­вии фиксирования значений одного из наборов оценок (Pq = P∘q ).Теперь, основываясь на постановке задачи, предложенной выше, сфор­мулируем задачу линейного программирования для каждого из случаев. Впервом случае математическим языком задачу можно записать следующимобразом, где ε означает оценку чувствительности [97]:ε=(sup̂︀Pq)(3.43)̂︀ .

,>0,Pq >0,(Pq 1)=1 (P̂︀ q 1)=1,,(Pq,̂︀,Pq,)6δВо втором рассматриваемом случае к списку условий добавится условиефиксации значений одного из векторов Pq = P∘q . Ниже представлена фор­мулировка задачи для второго случая [97]:ε P∘q =(︁)︁sup(,̂︀).(3.44)̂︀ >0,P >0,Pqq(Pq ,1)=1,(P̂︀ q ,1)=1,̂︀Pq =P∘q , (P∘q ,Pq )6δТем не менее обе формулировки, представленные выше пока не яв­ляются ЗЛП из-за наличия нелинейных ограничений. Рассмотрим их поочереди и приведем все ограничения к линейному виду. Условия непротиво­речивости по определению представляются системой линейных уравнений,в то время как условие накладываемое на метрику можно, в соответствиис выбранной метрикой, расписать следующим образом [97]:(︁Pq ,Pq ) 6 δ ⇔̂︁)︁max −1 Pq [] − Pq [ ] 6=0(1)2⎧⎪⎪⎨δ⇔⎪⎪⎩⃒⃒⃒̂︁̂︁Pq [] − Pq [] 6 δ,⃒⃒ ⃒̂︁Pq [] − Pq [] > −δ,−1 .

= 0(1)2(3.45)Равенство векторов Pq и P∘q подразумевает покомпонентное их равенство, тоесть систему из равенств, где — мощность множества пропозиций-кван­тов. Кроме того, наличие модуля в целевой функции (,̂︀) подразумевает104решение ЗЛП для двух противоположных целевых функций (,̂︀) = − ̂︀и (,̂︀) = ̂︀ − . Тогда, учитывая все вышесказанное, представим нижеокончательную формулировку ЗЛП для обоих случае, описанных уравне­ниями 3.43 и 3.44ε={ −P >0 P >0̂︀max,q̂︀ ̂︀,,q− }иε(︁P∘q =)︁(Pq 1)=1 (P̂︀ q 1)=1,,(Pq̂︀,P,q{ −max∘q >0,Pq >0,̂︀ ̂︀,− } .(3.46)(Pq 1)=1 (P̂︀ q 1)=1,,,,,∘ ̂︀ q )6δ, (Pq ,P⟨ ; ⟩ ,P∘q ),⟨ , ⟩=(s⟨ ; ⟩ ,P̂︀̂︀⟨ , ⟩=(sq))6δ,⟨ ; ⟩ ,Pq ),⟨ , ⟩=(s⟨ ; ⟩ ,P̂︀̂︀⟨ , ⟩=(sq)̂︀P Сложность решения приведенных выше ЗЛП зависит от количестваатомов, входящих в фрагменты знаний, что, с учетом принципа дефраг­ментации данных в АБС на небольшие, тесно связанные между собойгруппы, не должно превышать 5–8 атомов.

Ранее было сказано, что од­ной из причин выполнения анализа чувствительности модели являетсяколичественный результат, характеризующий необходимый объем собран­ной информации для достижения заданной точности результата. Данныйпараметр можно получить решив предложенные выше ЗЛП, но порой тре­буется получить результат с минимальными затратами времени и ресурсов.Применим алгебраические преобразования к формуле 3.43 и выведем тео­рему, представленную ниже и снабженную доказательством.Теорема 3.7.3 ([97]). Оценка чувствительности первой задачи апосте­риорного вывода при поступлении детерминированного свидетель­ства в фрагмент знаний над пропозициями-квантами с скалярнымиоценкамиистинностикдопустимойвариацииоценокистинно­сти элементов фрагмента знаний меньше либо равна произведениюдопустимой вариации оценок истинности на сумму элементов век­тора-селектора для поступившего свидетельства2∑︁−1 ⟨ ; ⟩̂︀) 6 δ (,s [].=0 105Рассмотрим оценку чувствительности, предложеннуювыше в уравнении 3.43, при допустимой вариации исходных данных δ:Доказательство.( (⟨ , ⟩) ,̂︀ (⟨ , ⟩)) = (,̂︀) = |̂︀ − |⃒(︁)︁⃒)︁(︁⃒⟨ ; ⟩ ,P )︁⃒⃒⃒ = ⃒⃒⃒(︁s⟨ ; ⟩ ,P̂︁̂︁−P−s= ⃒⃒ s⟨ ; ⟩ ,Pqq ⃒qq =2−⃒⃒ 1⃒ ∑︁⃒⃒⃒=0 ⃒⃒)︁⃒ ⃒⃒⃒̂︁s⟨ ; ⟩ [] Pq [] − Pq [ ](︁ −−12∑︁ ⟨ ; ⟩⟨;⟩s [].s []δ = δ6=0=0Отметим, что в отличие от вектора-редистрибьютора r⟨ ; ⟩ , по построениюсодержащего как 0 и 1, так и −1, элементы вектора-селектора s⟨ ; ⟩ неотри­2⃒⃒ 1⃒ ∑︁⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ цательны, что дает возможность избавиться от модуля в формуле выше.Таким образом получим оценку чувствительности, постулируемую в теоре­ме.Стохастическое свидетельствоПредположим, что поступившее свидетельство представлено фрагмен­том знаний с скалярными оценками вероятностей элементов множествапропозиций-квантов.

Такое свидетельство может быть представлено фраг­ментом знаний ⟨ev ,Pevq ⟩, а вероятность свидетельства может быть полученапо формуле 3.14. В данном параграфе мы рассматриваем лишь вариациювероятностей элементов фрагмента знаний, куда поступает свидетельство,поэтому зафиксируем допустимый вектор вероятностей свидетельства и,аналогично случаю детерминированного свидетельства, рассмотрим чув­ствительность модели для решения первой задачи апостериорного выводак допустимой вариации вероятностей элементов фрагмента знаний. Сфор­мулируем задачу оценки чувствительности на математическом языке:()=̂︀ ,(︁(︁ev Pevq,)︁ev Pevq(︁̂︀,,)︁)︁= | − ̂︀| .(3.47)Воспользуемся метриками и , описанными в случае детерминированно­го свидетельства для оценки вариации оценок вероятностей и результата.Прежде чем сформулировать экстремальную задачу для поиска чувстви­тельности, отметим, что к условиям, сформированным ранее в задачах106(3.44) и (3.43), добавятся условия непротиворечивости оценок фрагмен­та знаний, над которым построено поступившее свидетельство: Pevq > 0,)︁(︁Pevq , 1 = 1.

Тогда задачу можно сформулировать следующим образом [79]:ε=sup (,̂︀).̂︀ >0 PP( ̂︀ q 1)=1q,,(3.48),Pq >0,(Pq ,1)=1,evPevq >0,(Pq ,1)=1(Pq P̂︀ q )6δ,Ниже представлена задача поиска супремума в случае когда только один извекторов оценок вероятностей рассматриваемого ФЗ варьируется, а второйостается неизменным [79]:ε P∘q =(︁)︁sup (,̂︀).̂︀ >0 PP( ̂︀ q 1)=1q,,(3.49),Pq >0,(Pq ,1)=1,evPevq >0,(Pq ,1)=1̂︀Pq =P∘q (Pq ,Pq )6δПрименим к условиям обеих задач преобразования, описанные в выражении(3.45) и получим 2 задачи линейного программирования, решение которыхдаст точную оценку чувствительности рассматриваемой модели.

Задачу(3.48) тогда можно переформулировать [79]ε=̂︀Pmax{ − ,̂︀ ̂︀ − }.̂︀q >0 (Pq 1)=1,,(3.50),Pq >0,(Pq ,1)=1,evPevq >0,(Pq ,1)=1′=∑︀2=̂︀−1(︃(︃=0∑︀2′s⟨GInd([(︃(︃−1=0(Pq P̂︀ q )6δ,,),GInd(2s⟨GInd([′,),GInd(2′,−1−[)︃⟩ ],Pq Pevq)︃,))︃−1−[⟩ ],Pev̂︀q Pq,)[] ,)︃[]В свою очередь ЗЛП для задачи с одной фиксированной границей векторавероятностей можно записать следующим образом [79]:ε P∘q =(︁)︁̂︀Pmax{ − ,̂︀ ̂︀ − }.̂︀q >0 (Pq 1)=1,,,Pq >0,(Pq ,1)=1,evPevq >0,(Pq ,1)=1=′∑︀2=̂︀−1(︃(︃=0∑︀2′−1=0s⟨GInd([(︃(︃(P∘q P̂︀ q )6δ,,),GInd(2s⟨GInd([′,),GInd(2′,−1−[)︃⟩ ],P∘q Pevq)︃,)−1−[)︃⟩ ],Pev̂︀q Pq,)[] ,)︃[](3.51)107Руководствуясь теми же доводами, что и в первом случае, попробуем найтинакрывающую оценку чувствительности для случая стохастического сви­детельства.Теорема 3.7.4 ([79]).

Характеристики

Список файлов диссертации