Диссертация (1149691), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Вслучае ФЗ и свидетельства над идеалом квантов ситуация упрощается ещеи тем, что элементы вектора вероятностей не требуется конвертировать какэлементы вектора вероятностей идеала конъюнктов, домножая на I .Пользуясь аналогичным алгоритмом, что и в случае ФЗ над идеаломконъюнктов, посчитаем решение первой и второй задач апостериорного вывода как линейное произведение решений задач о пропагации отдельныхэлементов вектора Pevq .
Вероятность поступления свидетельства, описываемого ФЗ ⟨,Pevq ⟩ можно вычислить следующим образом:(︁⟨′ Pevq⟩)︁,′2 ∑︁−1 (︃ ⟨GInd( ) GInd(2 ′ −1− )⟩ )︃ evs,Pq Pq [].==0, ,,(3.14)Алгоритм решения второй задачи в свою очередь единообразен предложенному выше для ФЗ над идеалом конъюнктов:′′2 ∑︁−1 s⟨GInd( ) GInd(2 −1− )⟩ ∘ Pq ev(︂)︂ PP⟨q ; ⟩ =′q [].⟨GInd()GInd(2−1−)⟩=0 s,Pq, ,, , ,,(3.15)С технологической точки зрения, применение вектора-селектора облегчает формализацию задачи в системах, ориентированных на работу свекторами и матрицами, например, в системе Matlab и системе R.743.3.3Фрагмент знаний над идеалом дизъюнктовНаконец рассмотрим фрагмент знаний над идеалом дизъюнктов.Теорема 3.3.3 ([76; 90]).(⟨ , ⟩) = d, Pd′(︁где d+ = ⎜⎝1⎟⎜d− = ⎜⎝⎜⎟⎠,−1̃︀d0⎟d0 = ⎜⎝⎜⎟⎠,1⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⟨; ⟩ d+ ,есливходит в ,= ⎪d− ,⎪есливходит в ,⎪⎪⎪⎪⎩d0 ,⎞⎛⎞⎛⎞⎛ (3.16),̃︀ ⟨ ; ⟩̃︀ ⟨ ; ⟩̃︀ ⟨ ; ⟩d⟨ ; ⟩ = d−1 ⊗ d −2 ⊗ · · · ⊗ d 0 , )︁1⎟⎟⎠0иначе,Pd = 1 − Pd .′иВыполним ряд преобразований.
Вероятность свидетельства, поступившего в ФЗ над идеалом конъюнктов равна [109; 165](︁)︁ (⟨ , ⟩) =r⟨ ; ⟩ ,Pc . Подставим вместо Pc выражение 3.3 для векторавероятностей элементов идеала дизъюнктов Pd :Доказательство. (︁)︁(︁(︁′ )︁′ )︁(⟨ , ⟩) = r⟨ ; ⟩ ,Pc = r⟨ ; ⟩ ,K Pd = KT r⟨ ; ⟩ ,Pd =(︂(︁KT [ ]⊗ ==0 −1r⟨ ; ⟩)︁ (︂̃︀ )︂′)︂Pd =,(︂⊗ ==0 −1(KTr⟨ ; ⟩) P′d̃︀ )︂,⟨; ⟩Вектор r̃︀принимает лишь 3 возможных значения.
В свою очередь транспонированная матрица K — лишь одно значение, соответственно возможны⟨; ⟩̃︀ ⟨ ; ⟩лишь 3 значения вектора d= KT r̃︀ . Рассмотрим их: ⎛d+ = Kr+ = ⎜⎝⎜⎞⎛11⎟ ⎜0⎟⎟⎜⎠⎝−10⎛d− = Kr− = ⎜⎝⎜1⎜Тогда, зная, что d⟨ ; ⟩ =(︁′ )︁d⟨ ; ⟩ ,Pd . 1⎟⎜⎠⎝⎟⎠−1 −1⎞⎛1⎞1⎟ ⎜1⎟⎟⎜⎠⎝−10⎟⎠0⊗ ==0 −1d⟨ ; ⟩̃︀ ⎞⎜1⎟⎞1⎟ ⎜ 1⎟0⎛=⎜⎝⎟⎠⎞⎛⎛d∘ = Kr∘ = ⎜⎝⎞⎟⎠,−1⎛⎞⎜0⎟=⎜⎝1⎛⎞⎜1⎟=⎜⎝(3.17)⎟⎠,⎟⎠.0получаем, что(⟨ , ⟩) =75Теперь рассмотрим решение второй задачи апостериорного вывода.Поскольку модель ФЗ, построенного над идеалом дизъюнктов являетсяальтернативной, в то время как первостепенными являются модели надидеалом конъюнктов и множеством пропозиций-квантов, то рассуждения,приведенные ниже, будут основываться на результатах, полученных ранеедля указанных моделей ФЗ.Теорема 3.3.4 ([112; 168]).′ ,⟨; ⟩Pdгде M+ = ⎜⎝⎜ 1−100̃︂MM− = ⎜⎝⎜⎟⎟⎠,Доказательство.⟨; ⟩ M+ ,есливходит в ,= ⎪M − ,есливходит в ,⎛0 1⎟0 1⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎞⎛⎞⎛(3.18) ̃︂ ⟨ ; ⟩̃︂ ⟨ ; ⟩̃︂ ⟨ ; ⟩M⟨ ; ⟩ = M−1 ⊗M −2 ⊗· · ·⊗M0 , ′M⟨ ; ⟩ Pd(︁= ⟨ ; ⟩ ′ )︁ ,d ,PdM0 = ⎜⎝⎜⎟⎠,Заметим, что P⟨c ; ⟩ = M0 ,⎞1 0⎟0 1T⟨; ⟩ Pc(r⟨;⟩ ,Pc )⎟⎠иначе,и′ ,⟨; ⟩Pd .является записью решения второй задачи апостериорного вывода.
Кроме того, K′ ,⟨; ⟩⟨; ⟩= 1 − Pd⟨ ; ⟩ )︂1 − Pd=(︂ K Pd= P⟨c ; ⟩ . Подставим вместо Pc и P⟨c ; ⟩ полученные ранее выражениядля векторов идеалов дизъюнктов, а нормирующий множитель в знаменателе заменим на выражение, полученное в предыдущей теореме: P⟨c ; ⟩ = K(︂ ⟨ ; ⟩ )︂1 − Pd ′ ,⟨; ⟩= K Pd=T⟨ ; ⟩ K (1 − P d )T⟨ ; ⟩ Pc)︁ =(︁.′ )︁r⟨ ; ⟩ ,Pcd⟨ ; ⟩ ,Pd (︁ (3.19)Выразим вектор с апостериорными вероятностями элементов идеала дизъ′′⟨; ⟩K−1 T⟨ ; ⟩ K Pdюнктов: Pd=.(d⟨ ; ⟩ P′d )Учтем также, что по своей структуре матрица K = K−1 .
Так как̃︁ ⟨ ; ⟩матрица T, как было показано, может принимать 3 значения, а матрица, , 76̃︂̃︁K — одно, то у матрицы M= KT⎜11⎜11⎜⎟⎜⎠⎝−10 1−111−1−1−11010⎟⎜⎟⎜⎠⎝0 110⎟⎟⎠−10⎟⎟⎠−11−100⎞⎞⎞⎛⎟⎜⎠⎝⎜=⎜⎝⎟⎠10 ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜1⎟⎜⎠⎝0⎟⎞⎛0 ⎟ ⎜1⎟⎜⎠⎝⎟⎜⎠⎝⎛⎞0 ⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜ 1⎞⎛⎛M∘ = KT∘ K = ⎜⎝K есть 3 варианта означивания [76]:⎞⎛⎞⎛⎛M− = KT− K = ⎜⎝ ⎞⎛⎛M+ = KT+ K = ⎜⎝⟨ ; ⟩T⎟⎟⎠,⎛⎞⎜0 1⎟=⎜⎝0 1⎛⎞⎜1 0⎟=⎜⎝⎞0 1⎟⎠,(3.20)⎟⎠.Рассмотрим последний случай точечных оценок вероятностей элементов — пропагацию стохастического свидетельства в ФЗ с скалярнымиоценками вероятностей. Случай ФЗ над идеалом дизъюнктов будет в некотором приближении близок случаю с ФЗ над идеалом конъюнктов с темразличием, что в случае идеала дизъюнктов мы рассматриваем не векторвероятностей элементов идеала дизъюнктов Pd , а связанный с ним соотно′шением 3.1 вектор Pd .
Тогда решение первой и второй задач апостериорноговывода можно, в соответствии с изложенным выше алгоритмом пропагациисвидетельства, описать приведенными ниже уравнениями. Решение первойзадачи:(︁⟨′ Pevd⟩)︁,′2 ∑︁−1 (︃ ⟨GInd( ) GInd(2 ′ −1− )⟩ )︃′ ev=d,Pd L Pd [].=0, ,,,(3.21)Решение второй задачи:′′′′ ev⟨ ; ⟩ 2 ∑︁−1 (︂M⟨GInd( ) GInd(2 −1− )⟩ Pd)︂LPPd =′d [].′⟨GInd()GInd(2−1−)⟩=0 d,Pd ,,3.4, ,, ,,(3.22)Обработка неточного свидетельстваОднако, при работе с реальными данными точечные (скалярные) оценки вероятностей являются редкостью по причинам, перечисленным в первой главе исследования.
Таким образом, намного более вероятной является77ситуация когда либо свидетельство либо ФЗ, куда данное свидетельствопоступает содержат элементы с интервальными(неточными) оценками вероятностей [128]. Аналогично предыдущему разделу рассмотрим по очередиФЗ над идеалом конъюнктов, множеством пропозиций-квантов и идеаломдизъюнктов.3.4.1Фрагмент знаний над идеалом конъюнктовСперва рассмотрим фрагмент знаний над идеалом конъюнктов с+интервальными оценками пропозициональных формул ⟨ ,P−c , Pc ⟩. Предположим, что поступило детерминированное свидетельство ⟨; ⟩. Тогда поаналогии с фрагментом знаний со скалярными оценками вероятность поступившего свидетельства можно будет вычислить по формуле (⟨; ⟩) =(︁)︁r⟨ ; ⟩ ,Pc .
Однако поскольку каждая из компонент вектора вероятностей Pcпринимает значения из интервала допустимых значений (то есть P−c [] 6Pc [] 6 P+c []), то решение первой задачи апостериорного вывода сводитсяк решению серии задач линейного программирования по нахождению мак)︁(︁симума и минимума значения r⟨ ; ⟩ ,Pc с учетом заданных ограничений.Здесь как и ранее с помощью [] рядом с вектором мы указываем на –юего компоненту. Следует обратить внимание, что индексация компонентначинается с 0.Говоря об ограничениях, стоит также отметить, что на вектор переменных Pc накладываются линейные ограничения для поддержаниянепротиворечивости фрагмента знаний: ограничения, вытекающие из аксиоматики теории вероятностей (ℰ ) и ограничения, вытекающие из предметнойобласти ().
Ограничение ℰ в случае фрагмента знаний над идеалом конъюнктов состоит из одного условия, записываемого на матрично-векторномязыке: {I Pc > 0}, так как условие нормировки на единицу вытекает изсвойств матрицы I и описано в [140], а ограничение может быть за+писано как совокупность условий: ∀ ∈ [0 . . . − 1]P−c [] 6 Pc [] 6 Pc [],либо, как это принято в математических дисциплинах, посвященным экс+тремальным задачам, P−c 6 Pc 6 Pc , где — это мощность множества 78конъюнктов, над которым построен данный фрагмент знаний. То есть, мно+жество ограничений = P−c 6 Pc 6 Pc .
Таким образом, решением первойзадачи апостериорного вывода является замкнутый промежуток, ограниченный следующими значениями [95]:(︁)︁(︁)︁min r⟨ ; ⟩ Pc и max r⟨ ; ⟩ ,Pc .∪ℰ ∪ℰ(3.23) Указанные минимум и максимум находятся как результаты решениязадач линейного программирования.Так как в данном фрагменте знаний нам заданы интервальные оценкивероятности истинности конъюнктов, мы имеем дело с семейством распределений вероятностей; следовательно, искомые во второй подзадачеапостериорные вероятности могут быть оценены лишь интервально. Поискверхней и нижней границы Pc⟨ ; ⟩ сводится к поиску минимума и максимума⟨ ; ⟩ Pcпри ограничениях ∪ ℰ .
Стоит отметить, чтовыражения P⟨c ; ⟩ = T⟨(r ; ⟩ Pc )здесь и далее задача о поиске минимума и максимума решается независимои отдельно для каждой целевой функции — компоненты вектора P⟨c ; ⟩ —относительно переменных вектора Pc .Экстремальные задачи по нахождению минимума и максимумауказанных целевых функций относятся к известному классу задачдробно-линейного программирования [114; 158].
Для сведения их к задаче линейного программирования нам нужно избавиться от множителя1 . Воспользовавшись тем же приемом и обоснованием, что и в [123;⟨; ⟩ Pr(c)137; 166], зададим новый вектор переменных (и, таким образом, произве⟨ ; ⟩ PcT⟨ ; ⟩ λPcT⟨ ; ⟩ Dдем замену переменных) D = λPc , тогда T==.(r⟨ ; ⟩ Pc )(r⟨ ; ⟩ λPc )(r⟨ ; ⟩ D)Теперь положим r⟨ ; 1⟩ D = 1.()При новых переменных и введенных ограничениях исходные экстремальные задачи сведутся к задачам линейного программирования —поиску минимума и максимума компонент вектора T⟨ ; ⟩ D при условиях(︁)︁′ ∪ℰ ′ ∪{ r⟨ ; ⟩,D = 1}. Причем ′ = {λP−c 6 D}∪{λP+c > D}, а ℰ ′ = {D > 0}и {λ > 0}.
Как и в решении первой задачи апостериорного вывода, данная совокупность линейных ограничений обеспечивает непротиворечивостьфрагмента знаний над конъюнктами с новыми, то есть апостериорными,оценками вероятностей. Здесь, аналогично предыдущему случаю, в качестве переменных выступают компоненты вектора D и λ. , , , , , ,79Теперь предположим, что поступающее свидетельство — стохастическое.
Ранее был описан алгоритм пропагации стохастического свидетельства как серии детерминированных [156], однако в данном случаерешениями первой и второй задач апостериорного вывода будут накрывающие интервальные оценки вероятностей. Они получатся как линейнаякомбинация интервальных оценок, появляющихся при разложении стохастического свидетельства на детерминированные свидетельства и ихпоследующая пропагация [128]. Принимая во внимание результат решенияпервой задачи для случая скалярных оценок в ФЗ, сформируем задачу линейного программирования, решением которой будет искомый интервал.Таким образом, вероятность поступления стохастического свидетельства вфрагмент знаний с интервальными оценками вероятностей будет ограничена следующим интервалом [168]:′2 ∑︁−1 (︃ ⟨GInd( ) GInd(2 ′ −1− )⟩ )︃evminr,Pc I Pc [] и∪ℰ =0′2 ∑︁−1 (︃ ⟨GInd( ) GInd(2 ′ −1− )⟩ )︃evmaxr,Pc I Pc [].∪ℰ =0, ,,(3.24), ,,Для решения второй задачи потребуется решить задачу линейногопрограммирования, покомпонентно найдя минимум и максимум данноговыражения [168]′P⟨c ; ⟩ = T⟨GInd( ) GInd(2 −1− )⟩ D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
