Диссертация (1149691), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Чтобы преодо­леть указанный недостаток, докажем следующую теорему [94].Теорема 3.3.1 ([94]).(︁где⟨; ⟩r⟨ ; ⟩ = r̃︀ −1 ⎛r+ = ⎜⎝⎜1⎟⎠, ̃︀ ⎛r− = ⎜⎝1⎟⎟⎠,−1r̃︀ ⎛r0 = ⎜⎝⎜=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎞r+ ,есливходит в ,r− ,есливходит в ,r0 ,иначе,1⎟⎟⎠.0Воспроизведемдоказательствоиз[94]. Выполнимряд⎞⎛⎞⎛⎛преобразований: T⟨ ; ⟩ Pc [0] =(︁⟨; ⟩ ⎞⎜Доказательство.̃︀(3.4) ⊗ r⟨ −; 2⟩ ⊗ · · · ⊗ r⟨0 ; ⟩⎞0⎟)︁(︁)︁T⟨ ; ⟩ Pc [0] = r⟨ ; ⟩ ,Pc , )︁⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝̃︁ ⟨ ; ⟩пользуемся тем, что T⟨ ; ⟩ = T−1 [ ]⎛⎞ 1⎟0⎟⎠T⟨ ; ⟩ Pc, ⎟⎟⎟⎠=⎜⎜⎜⎝⎜1⎟⎟T⟨ ; ⟩ ⎜⎝ ⎠0⊗ T⟨ −; 2⟩ ⊗ · · · ⊗ T⟨0 ; ⟩̃︁ ̃︁ [ ]⎞ ⎟⎟ . Вос­Pc ⎟⎠,, причем матрица67̃︁ ⟨ ; ⟩T, в своюочередь,можетприниматьодноиз трех возможных значе­⎞⎛⎞⎛⎞⎛1 −1⎟ 0 ⎜1 0⎟⎜0 1 ⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟,Tний: T+ = ⎜⎠. Подставим полученное нами⎠,T = ⎝⎝⎠⎝0 10 00 1ранее разложение матрицы T⟨ ; ⟩ в нормирующий множитель и перегруппи­руем: ⎛⎜⎜⎜⎝T⟨ ; ⟩ ⎜⎜⎝⎛1⎟⎜(︂⟨ ; ⟩T ⊗ T⟨ −; 2⟩ ⊗ · · · ⊗ T⟨0 ; ⟩T̃︁ ̃︁ T)︂⎛⊗ ==0 −1T⟨ ; ⟩⎜(︂̃︁ T)︂⎛⎛⎜⎜⎝⎜⎜⎝1⎟[ ]⎞⎞ ⎟⎟Pc ⎟⎠⎟⎠,0[ ]⎟⎟Pc ⎟⎠,01⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎠ [ ]⎞ ⎞⎛Pc⎞ ⎜T1⎟⎜ ̃︁ ⟨ ; ⟩ ⎜= −1 ⎜⎜ ⎟⎜⊗⎜T=⎜⎝ ⎠=0 ⎝⎝0,0⎛⎜=⎜⎝⎞⎟⎠⎛̃︁⎜ T=⎜−1⎝[ ]⎞ ⎛⎞⎟⎟⎟,⎠⎟⎟.Pc ⎟⎠⟨; ⟩̃︁Матрица Tпринимает лишь три возможных значения [94], а зна­⟨; ⟩чит, будет существовать всего три возможных варианта вектора r̃︀= ⎛⟨; ⟩T ⎜̃︁ ⎜T⎝[ ]⎞ 1⎟⎟⎠0.Рассмотрим эти варианты [94]:⎛r+ = ⎜⎝⎜0 0⎟ ⎜1⎟1 1⎟⎜⎠⎝⎛r− = ⎜⎝⎜⎛r∘ = ⎜⎝⎜⎞⎞⎛0−10⎞⎛0 1⎞⎟⎠0⎟⎠01 0⎟ ⎜1⎟⎟⎜⎠⎝⎜0⎟⎞1 0⎟ ⎜1⎟⎟⎜⎠⎝⎞=⎜⎝⎟⎠⎞⎛⎛⎟⎠,1⎛⎞⎜1⎟=⎜⎝−1⎛⎞⎜1⎟=⎜⎝⎟⎠.0Такимобразом, принимаяво внимание r⟨ ; ⟩ =⎛⎞ ⎛к выводу⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝[ ]⎞ 1⎟⎟⎠0(︁⟨ ; ⟩ ,Pc )︁.⎟ = rT⟨ ; ⟩ Pc ⎟⎠, ⎟ (3.5)⎟⎠,⊗ ==0 −1r⟨ ; ⟩ , приходим̃︀ 68Таким образом, воспользовавшись полученной формулой, перепишемуравнения для решения первой и второй задач апостериорного вывода [95]:(⟨ , )︁T⟨ ; ⟩ Pc⟨;⟩⟨;⟩(︁⟩) = r ,Pc и Pc = r⟨ ; ⟩,P )︁ .c(︁ (3.6)Теперь предположим, что во фрагмент знаний со скалярными оценка­ми поступило стохастическое свидетельство ⟨ , Pevc ⟩.

Заметим, что так какфрагмент знаний над которым сформировано стохастическое свидетельствонепротиворечивый, то на основе вероятностей конъюнктов можно постро­evить оценки вероятностей для квантов Pevq = I Pc .Рисунок 3.1 — Пропагация стохастического свидетельства,представленного фрагментом знаний над атомами {1 ,2 }Рассмотрение пропагации стохастического свидетельства сведем крассмотрению пропагации серии детерминированных свидетельств, накоторые его можно «разбить» [123; 166]. Если вероятность какого-тодетерминированного свидетельства равна 0, но при этом оценки, зада­ваемые стохастическим свидетельством для данного детерминированногосвидетельства, нулю не равны, то такое свидетельство называется неве­роятным [139].

Исходя из вышесказанного, можно заметить, что дляформирования конечного результата апостериорного вывода, мы умножа­ем результат пропагации каждого из детерминированных свидетельствevна соответствующий элемент вектора Pevq = I Pc , а затем складыва­ем полученные произведения и, окончательно, формируем таким образомрезультат апостериорного вывода. Также для сопоставления индексов69детерминированных свидетельств с индексами множества квантов посту­пившего свидетельства введем функцию GInd(,) [123; 166], где — индексконъюнкта в алфавите над которым построено свидетельство, а — индекс′наибольшего элемента в алфавите . Тогда, обозначив мощность алфа­′вита, над которыми построено свидетельство за , мы можем составитьматрично-векторное уравнение для решения первой задачи апостериорноговывода [137].

Вероятность поступившего свидетельства оценивается следу­ющим значением [70]:(︁⟨′Pevc⟩)︁,′2 ∑︁−1 (︃ ⟨GInd( ) GInd(2 ′ −1− )⟩ )︃ev=r,Pc I Pc [].=0, ,,(3.7)В решении второй задачи апостериорного вывода воспользуемся тем жеприемом и рассмотрим стохастическое свидетельство как совокупность де­терминированных [168]. Пользуясь формулами, полученными при решениивторой задачи апостериорного вывода в случае детерминированного сви­детельства, решением указанной задачи в рамках фрагмента знаний соскалярными оценками будет следующая сумма [70]:′′2 ∑︁−1 T⟨GInd( ) GInd(2 −1− )⟩ Pcev [].⟨;⟩)︂ I P(︂Pc =′c=0 r⟨GInd( ) GInd(2 −1− )⟩ ,Pc, ,, 3.3.2, ,,(3.8)Фрагмент знаний над пропозициями-квантамиОднако в рамках теории алгебраических байесовских сетей в локаль­ном апостериорном выводе (выводе на основе поступившего свидетельства),а также при попытках распространить влияние свидетельства на сосед­ние фрагменты знаний (пропагировать свидетельство), зачастую возникаетнеобходимость манипулировать не только традиционно рассматривающи­мися фрагментами знаний над пропозициями-конъюнктами, но и надфрагментами знаний с пропозициями-квантами [166].С формальной точки зрения, фрагмент знаний над квантами родстве­нен традиционно рассматриваемому в теории АБС фрагменту знаний надидеалом конъюнктов с оценками вероятностей их истинности, однако тре­бует иной системы накладываемых на оценки вероятности ограничений,70что не позволяет непосредственно воспользоваться формулами апостериор­ного вывода, полученными в предыдущем раздела.

Таким образом, цельнастоящего раздела состоит в том, чтобы свести вывод апостериорных оце­нок во фрагменте знаний с пропозициями-квантами к матрично-векторнымуравнениями и, в случае интервальных оценок, к использующим эти урав­нения экстремальным задачам, на основе преобразования или адаптацииуже известных матрично-векторных уравнений локального апостериорноговывода для фрагмента знаний АБС. В данном случае мы будем работатьлибо с фрагментом знаний со скалярными оценками ⟨,Pq ⟩, либо с фраг­+ментом знаний с интервальными оценками ⟨,P−q ,Pq ⟩, где — это носительфрагмента знаний, то есть набор квантов, упорядоченных согласно приня­той индексации. В случае фрагмента знаний с интервальными оценками+допустимое значение Pq [] лежит в границах [P−q []; Pq []].Итак, в данном параграфе перед нами стоит следующая задача: вы­разить на матрично-векторном языке вероятность поступившего свидетель­ства для различных видов свидетельств, а также предложить и доказатькорректность уравнение решением которого будут оценки апостериорныхвероятностей P⟨q ; ⟩ для фрагмента знаний над набором пропозиций-квантов.В разделе 2.5 мы уже провели рассмотрение случая пропагации свиде­тельств во фрагмент знаний с бинарными оценками, поэтому не будем вновьзаострять внимание на данном случае и сразу начнем с рассмотрения про­пагации детерминированного свидетельства ⟨; ⟩ во фрагмент знаний надпропозициями-квантами с скалярными оценками.Уравнения 2.12 и 2.13 описывают решение задач апостериорного вы­вода для ФЗ над множеством пропозиций-квантов, однако, как и в случаефрагмента знаний над идеалом конъюнктов, здесь мы имеем возможностьулучшить матрично-векторное описание решения первой и второй задачи(︁)︁апостериорного вывода.

Начнем с нормирующего множителя 1,H⟨ ; ⟩ Pq . Теорема 3.3.2 ([93; 113]).(︁)︁)︁(︁1,H⟨ ; ⟩ Pq = s⟨ ; ⟩ ,Pq , (3.9)71где⟨; ⟩s⟨ ; ⟩ = s̃︀ −1 ⎜̃︀ 0⎟s− = ⎜⎝⎜⎟⎠,1 ̃︀1⎟s0 = ⎜⎝⎜⎟⎠,0⟨; ⟩s̃︀,⎛⎞⎛⎞⎛s+ = ⎜⎝⊗ s⟨ −; 2⟩ ⊗ · · · ⊗ s0⟨ ; ⟩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨= s+ ,есливходит в ,s− ,есливходит в ,s0 ,иначе,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎞1⎟⎟⎠.1Воспользуемся доказательством, приведенным в [94],добавив некоторые подробности. Перенесем матрицу H⟨ ; ⟩ в левую частьскалярного произведения и произведем перегруппировку:Доказательство. ⎛(︁(︂)︂)︁T1,H⟨ ; ⟩ Pq = H⟨ ; ⟩ 1,Pq = = −1 H ⟨ ; ⟩⊗ =0̃︁ T)︂⎛⎛⎜⎜⎝[ ]⎞⎞ ⎛⎜(︂⎜⎜⎝1⎟⎟⎟Pq ⎟⎠⎟⎠,1⎛⎞⎞⎞T ⎜1⎟⎟⎜⎜⎟= −1 H̃︁ ⟨ ; ⟩ ⎜ ⎟⎟⎜⎟=⎜⊗⎝⎝⎝ ⎠⎠ ,Pq ⎠ .=01 TTTT [ ][ ][]⟨;⟩⟨;⟩⟨ ; ⟩T JT[ ] и вы­Воспользуемся тем, что T= I1 HJ1 = ITH11TTT[ ]⟨ ; ⟩T T[ ]̃︁ ⟨ ; ⟩̃︁ ⟨ ; ⟩⟨;⟩Tразим Hчерез T: H= J1 TI1 ⎛.

⎛Подставим ⎛полученный⎞⎞⎞ ⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎛= −1 J[ ] T⟨ ; ⟩ I[ ]⊗ =011T̃︁ TT⎜⎜⎝⎞⎞1⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎝⎝1⊗ ==0 −1HT̃︁⎜⎜ ⎝⎞⟨ ; ⟩T⎟̃︁Pq ⎟⎠. Заметим, что T⎟⎟⎠⎠ , результат в скалярное произведение, получим:⎛⎛ ⎞⎛вания. Рассмотрим все три [94]: T+ = ⎜⎝T⎜0 0⎟1 1T− = ⎜⎝T⎜⎟Pq ⎟⎠ =⎟⎟⎠⎠ ,1имеет всего 3 означи­⎞⎛⎟⎠,1⎟⎟1 0⎟−10⎟⎠,⎛T∘ = ⎜⎝T⎜⎞1 0⎟0 1⟨; ⟩Принимаяво внимание все сказанное ранее, рассмотрим вектор s̃︀⎛ ⎞⎟⎠.= T1⎟⟨; ⟩[ ]T ⟨ ; ⟩T I[ ]T ⎜̃︁ ⟨ ; ⟩⎟следует, что и вектор s̃︀1 ⎜⎝ ⎠.

Из определения вектора T̃︁J1 T 1 72имеет всего 3 означивания. Распишем каждый из случаев подробнее [94]:s+ = ⎜⎝⎜1 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎜1 ⎟1 1⎜⎜1 1⎟⎜⎠⎝−11⎟⎜⎠⎝11 1⎟⎜⎠⎝⎞⎛−10⎟⎜⎠⎝⎞⎛−11⎟⎜⎠⎝11 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎜1⎟1 1⎟⎜⎠⎝0 1⎟⎜⎠⎝−11⎟⎜⎠⎝⎟⎠⎞⎞⎛⎞⎜0⎟1⎞⎞⎛⎞⎛⎛=⎜⎝⎟⎠1 0⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎜1⎟⎛s∘ = ⎜⎝⎟⎜⎠⎝⎞⎛⎛s− = ⎜⎝⎞⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎛⎟⎠1⎟⎠,⎛⎞⎜1⎟=⎜⎝0⎛⎞⎜1⎟=⎜⎝1⎟⎠,(3.10)⎟⎠.Наконец, выстроим окончательную цепочку равенств [94]:⎛(︁⎛⎛⎞⎞⎞(︂)︁1⎟⎟⎜⎜⎟⟨ ; ⟩ )︂ (︁ ⟨ ; ⟩ )︁⟨ ; ⟩T T ⎜=−1=−1⟨;⟩⎜⎜ T ̃︁⎟⎜ ⎟⎟̃︀1,H Pq = ⎝⊗ =0 ⎝J1 TI1 ⎝ ⎠⎠ ,Pq ⎠ = ⊗ =0 s ,Pq = s ,Pq .

1 Оперируя полученными формулами произведем замену в матрично­векторных уравнениях, соответствующих первой и второй задачам апосте­риорного вывода. Решение первой задачи апостериорного вывода в случаепропагации детерминированного свидетельства во фрагмент знаний со ска­лярными оценками запишется следующим образом [93]:(︁)︁(⟨ , ⟩) = s⟨ ; ⟩ ,Pq .

(3.11)Решение второй задачи апостериорного вывода сводится, в конце концов, красчету условных вероятностей, при этом вычисления, как и требовалось,при использовании уже введенных обозначений и построенных объектовсведутся к матрично-векторному уравнению [93]:H⟨ ; ⟩ PqP⟨q ; ⟩ = (︁ ⟨ ; ⟩ )︁ .s ,Pq (3.12)где s⟨ ; ⟩ ,Pq — скалярное произведение векторов.Фактически, матрица H⟨ ; ⟩ задает линейный проективный оператор,который приравнивает нулю вероятности тех квантов, которые логическинесовместны с поступившим свидетельством, то есть конъюнкция каж­дого из таких квантов и свидетельства является тождественной ложью.Воспользовавшись произведением Адамара (операция покомпонентного(︁ )︁ 73произведения векторов одинаковой размерности), этот же линейный проек­тивный оператор можно задать и с использованием вектора-селектора s⟨ ; ⟩ .Для наглядности рассмотрим [87] пример построения матрицы и век­тора в случае пропагации свидетельства из одного атома, означенногоотрицательно — ¯0 — во фрагмент знаний над множеством атомов {0 , 1 }.

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎞⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1⎟⎞1 0 0 0⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠0 1 0 00. Можно заме­, а H⟨0 1⟩ = H− ⊗ H∘ =Тогда s⟨0 1⟩ = s− ⊗ s∘ =0 0 1 01,,0 0 0 10тить, что главная диагональ матрицы H⟨0 1⟩ совпадает с вектором s⟨0 1⟩ , тоесть, diagH⟨0 1⟩ = s⟨0 1⟩ , что следует из построения каждого из них, поэтомуматрично-векторное уравнение можно переписать следующим образом [93]:,,,,s⟨ ; ⟩ ∘ Pq⟨;⟩Pq = (︁ ⟨ ; ⟩ )︁ ,s ,Pq (3.13) где символ ∘ использован для обозначения произведения Адамара.Рассмотрим пропагацию стохастического свидетельства ⟨,Pevq ⟩.

Характеристики

Список файлов диссертации