Диссертация (1149681), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Распространенным является также построениемноговариантныхпрогнозов(такназываемыйсценарныйподход),см.например [27].3.3 Когортно-компонентный метод. Математический аспект3.3.1 Основные свойства оператора ЛеслиРешениеуравненияn f ( t + 1) = Lf n f (t ) ,соответствующее( )nраспределению по возрастам n f ( 0 ) , имеет вид n f ( t ) = L ftfначальному( )(0) , где Lftстепень постоянной матрицы Lf . Будем далее опускать верхний индекс f , незабывая о том, что мы рассматриваем динамику численности одного пола.Переход к численности населения обоих полов очевиден.Матрица L определяет линейный оператор в n -мерном евклидовомпространстве, называемый оператором Лесли.

Очевидно, матрица L являетсянеотрицательной, поэтому оператор Лесли действует из положительного ортантав положительный ортант.Асимптотическое поведение решений уравнения зависит от спектральныхсвойств оператора Лесли. Изучение этих свойств основано на применениитеоремы Перрона-Фробениуса, которая применима к неразложимым матрицам.Для неразложимости матрицы Лесли необходимо и достаточно, чтобыFωf ≠ 0 [26]. Это условие означает, что в качестве ω выступает не наибольшийвозможный возраст, а наибольший репродуктивный возраст, поэтому далее будемрассматривать динамику численностей младших и репродуктивных группнаселения.Здесьважноотметить,чтовмоделиотсутствуетэффектлимитирования по общей численности населения, поэтому динамика численностипострепродуктивных групп не оказывает никакого влияния на динамикучисленности младших и репродуктивных групп населения.

Численности63пострепродуктивных групп элементарно определяются в любой момент временичерез численность последней репродуктивной группы и потому могут бытьрассмотрены отдельно.Нетривиальное предельное распределение n = lim Lt n(0) существует тогда,t →∞когда максимальное вещественное собственное число матрицы L (его наличиегарантируется теоремой Перрона-Фробениуса) равно 1. Если же максимальноесобственное число матрицы L меньше 1, то население с течением временивырождается; если больше 1 − неограниченно растет.Перейдемквопросуосуществованииустойчивыхтраекторийвдинамической системе n ( t + 1) = Ln(t ) .

Равновесие, т. е. решение уравненияn* = Ln* , является собственным вектором матрицыL , соответствующиммаксимальному собственному числу, равному единице. Показано, что в случаеесли равновесие существует, то оно локально устойчиво; асимптотическаяустойчивость в этом случае отсутствует. Также для модели Лесли доказананевозможность существования хаотических режимов [26].3.3.2 Модель Лесли как дискретизация непрерывной моделидинамики структуры популяцииОпишем непрерывную модель динамики структуры популяции [23]. Вданном случае вводится возрастная плотность численности, т.

е. функция x ( τ, t )τ2такая, что интеграл∫ x ( τ, t ) d τпредставляет собой численность населения вτ1возрасте от τ1 до τ2 в момент времени t . Кроме того, определены коэффициентырождаемости и смертности b ( τ, t ) и d ( τ, t ) соответственно, такие, что в моментвремени t численность новорожденных, рожденных населением в возрасте от τ164до τ2 , и численность населения, умершего в возрасте от τ1 до τ2 , вычисляютсяτ2τ2τ1τ1как ∫ b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ и∫ d ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ соответственно.Система уравнений, описывающая динамику структуры популяции, состоитиз так называемых уравнения рождаемости и уравнения выживаемости.∞Уравнение рождаемости, имеющее вид x ( 0, t ) = ∫ b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ , не требует0дополнительных пояснений.Перейдем к выводу уравнения выживаемости. Зафиксируем некоторые τи t . Численность населения в возрасте от τ до τ + ∆τ в момент времени t + ∆tравна численности населения в возрасте от τ − ∆t до τ + ∆τ − ∆t в момент времениtза вычетом населения, умершего за период времени ∆t .

При малыхприращениях ∆τ и ∆t данное утверждение можно с точностью до линейныхчленов можно выразить следующим уравнением:x ( τ, t + ∆t ) ∆τ = x ( τ − ∆t , t ) ∆τ − d ( τ, t ) x ( τ, t ) ∆τ∆t .Разделив данное равенство на ∆τ и ∆t и вычтя из обеих частей x ( τ, t ) , получимx ( τ, t + ∆t ) − x(τ, t ) x ( τ, t ) − x ( τ − ∆t , t )+= − d ( τ, t ) x(τ, t ) . Переходя в последнем∆t∆tравенстве к пределу при ∆t → 0 , получим уравнение выживаемости, имеющее вид∂x ∂x+= −d ( τ, t ) x(τ, t ) .∂t ∂τИтак, имеем систему ∂x ∂x ∂t + ∂τ = − d ( τ, t ) x(τ, t ),∞ x ( 0, t ) = b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ∫0при начальном условии x ( τ,0 ) = ϕ ( τ ) .65Стандартнымявляетсяусловие«согласования»∞x ( 0,0 ) = ϕ ( 0 ) = ∫ b ( τ,0 )ϕ(τ)d τ , тем не менее, возможно более естественным0представляется рассматривать решение x ( τ, t ) , разрывное при t = 0 , считая, чтоϕ(0), t = 0,x ( 0, t ) = ∞ ∫ b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ, t > 0.0Отметим, что рассматриваемая задача не является классической задачей∞математической физики, поскольку в граничное условие x ( 0, t ) = ∫ b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ0входит все искомое распределение x ( τ, t ) [23].Покажем теперь, что дискретизация данной непрерывной модели приводитк модели Лесли, рассмотренной выше.

Проведем дискретизацию по переменнымτ и t с одинаковым шагом, равным единице.Начнем с дискретизации по τ : τ0 = 0 , τ1 = 1 , τ2 = 2 ,…, τn = ω. Введемследующие обозначения x0 ( t ) = x ( τ0 , t ) , x1 ( t ) = x ( τ1 , t ) и т.д.

Замена интеграла наконечную сумму в уравнении рождаемости приводит нас к следующемуравенству:nni =1i =1x ( 0, t ) = ∑ b(τi , t ) xi (t ) = ∑ bi xi (t ) .Далее, заменим производную(14)∂xв уравнении выживаемости простейшим∂τконечно-разностным отношением, получимdx1+ x1 (t ) − x0 (t ) = − d ( 0, t ) x0 (t ) = − d 0 (t ) x0 (t ) ,dt...,dxn+ xn (t ) − xn−1 (t ) = −d ( n − 1, t ) xn−1 (t ) = −d n−1 (t ) xn−1 (t ) .dt(15)66Поскольку численность группы в возрасте от τi до τi+1 выражается какτi +1∫ x ( τ, t ) d τ , что можно приближенно вычислить как x ( τ , t )( τii +1− τi ) = xi (t ) , xi (t )τiесть численности соответствующих возрастных групп (в возрасте от i до i + 1 ).Подставляя уравнение (14) в первое из уравнений (15) и переписываяпрочие уравнения (15), получаемndx1= − x1 (t ) − d 0 (t ) x0 (t ) + ∑ bi xi (t ) ,dti =1dx2= − x2 (t ) + x1 (t ) − d1 (t ) x1 (t ) ,dt...

,dxn= − xn (t ) + xn−1 (t ) − d n−1 (t ) xn−1 (t ) .dtДалее, проводя дискретизацию по t , имеемnx1 (k + 1) = −d 0 (k ) x0 (k ) + ∑ bi (k ) xi (k ) ,i =1x2 (k + 1) = x1 (k ) − d1 (k ) x1 (k ) = (1 − d1 (k ) ) x1 (k ) ,... ,xn (k + 1) = xn−1 (k ) − d n−1 (k ) xn−1 (k ) = (1 − d n−1 (k ) ) xn−1 (k ) .Итак, с точностью до обозначений получена модель Лесли, точнееn ( t + 1) = L(t )n(t ) , где t = 0, 1, 2, ...

,b(1, t ) b(0, t ) x(0, t ) 1 − d (0, t )0 x(1, t ) , L =n(t ) = 01 − d (1, t ) ... ...... x(n, t ) 00...............b(n − 1, t )b(n, t ) 00 00 ....... 1 − d (n − 1, t )0 Данное уравнение решается при начальном условии67 ϕ(0)  ϕ(1) .n(0) = n0 =  ...  ϕ(n) Таким образом, полученная дискретная форма модели динамики структурыпопуляции при зависящих от времени коэффициентах рождаемости и смертностиb ( τ, t ) и d ( τ, t ) приводит к когортно-компонентному методу прогнозирования спеременной матрицей Лесли.Отметим, что в случае не зависящих от времени коэффициентов b и dрешение системы ∂x ∂x ∂t + ∂τ = − d ( τ ) x(τ, t ),∞ x ( 0, t ) = b ( τ ) x ( τ, t ) d τ∫0при начальном условии x ( τ,0 ) = ϕ ( τ ) может быть найдено аналитически.Замена переменных u = τ − t , v = t ( τ = u + v , t = v ) сводит уравнениевыживаемости к обыкновенному дифференциальному уравнения первого порядкаdx= −d (u + v) ⋅ x(u + v, v) ,dvрешениемкоторогоявляетсяфункцияu+vx(u , v) = Ω(u ) ⋅ e−∫ d (ξ)d ξ0, где Ω − произвольная функция.

Итак, общее решениеτуравнения выживаемости имеет вид x ( τ, t ) = Ω ( t − τ ) e∫− d (ξ)dξ0.τПодстановкаx ( τ, t ) = Ω ( t − τ ) e∫− d (ξ)dξ0вуравнениерождаемости∞x ( 0, t ) = ∫ b ( τ, t ) x ( τ, t ) d τ и начальное условие x ( τ,0 ) = ϕ ( τ ) позволяет однозначно0определить функцию Ω , а именно, при отрицательных значениях аргумента Ωτвыражаетсяследующимобразом:Ω ( −τ ) = ϕɶ ( τ ) = ϕ(τ)e∫ d (ξ) d ξ0,τ ≥ 0,при68положительных значениях аргумента Ω является решением интегральногоτtуравненияΩ(t ) = ∫ K (τ)Ω(t − τ)d τ + ψ (t ) ,t ≥ 0,K (τ) = b(τ)eгде∫− d ( ξ) d ξ,00∞∞ttψ (t ) = ∫ K (τ)Ω(t − τ)d τ = ∫ K (τ)ϕɶ (t − τ)d τ .Интегральное уравнение решается при помощи преобразования Лапласа.

Потеореме о свертке Ω* = K *Ω* − ψ* , где через функции со знаком «*» обозначеныизображения по Лапласу соответствующих функций. Таким образом, функция Ω∞ψ*находится из уравнения Ω =.В[23]показано,чтоΩ(t)=ci eλ t , где λ i −∑*1− Ki =1*iполюсы функции Ω* ( s ) комплексной переменной, а ci = res Ω* ( s ) − ее вычеты вλiсоответствующихполюсах.Окончательнорешениезадачиможетбытьτпредставлено в виде x(τ, t ) = e∫− d ( ξ) d ξ0∞⋅ ∑ ci eλ ( t −τ) .ii =1Таким образом, решение системы, описывающей непрерывный аналогметода «передвижки по возрастам» с постоянной матрицей Лесли, может бытьнайдено аналитически. Однако идентификация коэффициентов рождаемости исмертности b ( τ ) и d ( τ ) по статистическим данным снова неминуемо ведет кдискретизации, что свидетельствует о том, что на практике оправданоиспользованиемоделиЛесли.Темнеменее,некоторымиавторами,см. например [10], используется непрерывная модель структуры популяции сопределением функций b ( τ ) и d ( τ ) через интерполяцию статистических данных.3.4 Прогноз демографической ситуации в Российской Федерации сприменением постоянной матрицы ЛеслиПерейдем теперь к рассмотрению демографической ситуации в РФ.

Вкачестве начального года в данной работе выбран 2010 г. Население было разбито69на однолетние возрастные группы, начиная с группы детей до 1 года и заканчиваягруппой людей старше 110 лет (таким образом, ω = 110 ). Прогнозированиеполовозрастной структуры населения РФ осуществляется с шагом в 1 год. Чтобыболее полно оценить встающие перед РФ проблемы снижения численностинаселения, в данном разделе осуществим прогнозирование вплоть до 2060 г.Программная реализация всех вычислений, производимых в разделах 3.4, 3.6,проведена в пакете MATLAB.Вработеиспользуютсявозрастныекоэффициентырождаемости,представленные в [103], и коэффициенты передвижки, рассчитанные по таблицамсмертности, опубликованным в [104].

Данные о половозрастном распределениинаселения на 2010 г. взяты также из [103]. Выбор указанных выше баз данныхобусловлен тем, что прогнозирование половозрастной структуры населенияосуществляется с шагом в 1 год и, соответственно, с разбиением населения наоднолетние возрастные группы, в то время как данные, предоставляемыеФедеральнойслужбойгосударственнойстатистики,оперируютлишьспятилетними возрастными группами.

Характеристики

Список файлов диссертации