Диссертация (1149681), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Коэффициент α > 0 показывает, насколько привлекательна для мигрантовпринимающая страна.Динамика капитала принимающей страны описывается стандартнымуравнением теории ростаKɺ r = −δ r K r + pr Fr ( K r , Er ) = −δ r K r + pr Fr ( K r , N r + M ) ,(28)где 0 < δ r < 1 − коэффициент выбытия капитала, а 0 < pr < 1 − коэффициент,отражающий, какая доля выпуска в каждом периоде инвестируется в основнойкапитал в принимающей стране (норма сбережения).Далее, в принимающей стране на потребление идет (1 − pr ) ⋅ Fr ( K r , N r + M ) ,мигрантами при этом потребляется доля выпуска, равная доле их численности вобщей(1 − pr ) ⋅численностинаселенияпринимающейстраны,аименно,M⋅ Fr ( K r , N r + M ) .

Таким образом, мы считаем, что доля выпуска,Nr + Mидущая на потребление, делится между местным населением и мигрантами«честно».Кроме(1 − pr ) ⋅того,будемсчитать,чтодолю0 ≤ s ≤1отвеличиныM⋅ Fr ( K r , N r + M ) мигранты отправляют домой в виде трансфертов,Nr + Mсокращая при этом свое потребление.91Динамика численности населения отправляющей страны описываетсяуравнениемEɺ s = Nɺ s − Mɺ .Вотправляющейs ⋅ (1 − pr ) ⋅стране(29)произведеноM⋅ Fr ( K r , N r + M ) .Nr + MиFs ( K s , Es )Предположим, чтокакполученовыпуск, такитрансферты, полученные от мигрантов, в отправляющей стране делятся наинвестиции и потребление. Тогда динамика капитала в отправляющей странеописывается уравнениемKɺ s = −δ s K s + ps Fs ( K s , Es ) + pɶ s ⋅ s ⋅ (1 − pr ) ⋅M⋅ Fr ( K r , N r + M ) .Nr + M(30)Здесь помимо стандартных и описанных выше коэффициентов 0 < δ s < 1 и0 < ps < 1введенещеодиндополнительныйкоэффициент0 ≤ pɶ s ≤ 1 ,обозначающий долю трансфертов, полученных от мигрантов, идущую насбережения.

Чем беднее отправляющая страна, тем ближе pɶ s к нулю, потому чтотогда все переводы, полученные от мигрантов, идут исключительно напотребление.Объединяя (26)−(30), приходим к описанию исследуемого процессаследующей системой:β  K βKrsMɺ = α  ar − as    Er  Es rs,(31)Eɺ r = Nɺ r + Mɺ ,(32)Kɺ r = −δr K r + pr ar K rβr Er1−βr ,(33)Eɺ s = Nɺ s − Mɺ ,(34)MKɺ s = −δs K s + ps as K sβs Es1−βs + pɶ s ⋅ s ⋅ (1 − pr ) ⋅ ⋅ ar K rβr Er1−βr .Er(35)92В общем случае полученная система (31)−(35) является нелинейной инеавтономной.В стационарном состоянии Nɺ r = 0 , Nɺ s = 0 , N r ≡ N r , N s ≡ N s .

Будем всюдудалее считать, что собственные населения отправляющей и принимающей странпостоянны. Тогда систему (31)−(35) можно переписать в терминах M , K r и K s .ββ  KKrsMɺ = α  ar −a ,s  Nr + M NM− s sr()1−βrKɺ r = −δr K r + pr ar K rβ N r + Mr(Kɺ s = −δ s K s + ps as K sβ N s − Ms+ pɶ s ⋅ s ⋅ (1 − pr ) ⋅)1−βs(37),+(M⋅ ar K rβ N r + MNr + Mr(36))1−βr(38).5.2 Положение равновесия и его устойчивостьПроведем исследование системы (36)−(38). При s ≠ 0 и pɶ s ≠ 0 системаимеет единственное стационарное состояние, которое может быть найдено последующим формулам:1/ βaNs ⋅   r   as M* =arδspa ⋅ r r  δr βr1−βrspa ⋅ r r  δr βrβs (1−βr )a p− r sδspa ⋅ r r  δr 1/β sa ⋅ ( pɶ s ⋅ s ⋅ (1 − pr ) − ps ) +  r  as pa K r* =  r r  δr 1/ βsa K s* =  r  as 11−βrpa ⋅ r r  δr ()(pa ⋅ r r  δr ⋅ Nr + M * ,βrβs (1−βr )βr1−βrβrβs (1−βr ),(39)(40))⋅ Ns − M * .(41)93Все полученные формулы можно записать компактнее, если ввести обозначениеpa γ = ar ⋅  r r  δr βr1−βr, которое мы и будем использовать далее.

Стационарныезначения переменных M , K r и K s выражаются через параметры задачи и γ поформулам  γ 1/β γp Ns ⋅    − s   as δs *M =,1/ β γ γps γpɶ s s ⋅ (1 − pr )+  −δsδs as (42)   γ 1/β γp γpɶ s s ⋅ (1 − pr ) s⋅   −⋅ Nr + Ns + Nr   as δs δs,1/β γ γps γpɶ s s ⋅ (1 − pr )+  −δsδs as (43)ss1/ βrK r* = γ   ar (s)s1/β s γ γpɶ s s ⋅ (1 − pr )⋅ Ns  ⋅δasK s* =  s 1/β. γ γps γpɶ s s ⋅ (1 − pr )+  −aδδss s(44)sОсмысленное стационарное состояние M * ≥ 0 , K r* ≥ 0 , K s* ≥ 0 существует при1βs γ γpследующем ограничении на параметры задачи:   ≥ s .δs as При s = 0 или pɶ s = 0 стационарное состояние системы существует тогда и толькотогда, когда выполнено следующее ограничение на параметры задачи:βs ps as 1−βas ⋅ = γ .

Если это условие выполнено, то стационарное состояние δs sсистемы не является единственным, стационарные значения M * , K r* , K s* должныудовлетворять следующим двум равенствам:K r*K s*==γ.Nr + M * Ns − M *94Теорема 5.1. Пусть в (36)−(38) заданы параметры ai > 0 , 0 < βi < 1 , 0 < δi < 1,0 < pi < 1 ,i = r, s ;α > 0,0 ≤ s ≤ 1,0 ≤ pɶ s ≤ 1ичисленностинаселенияотправляющей и принимающей стран N s и N r . Предположим также, что при всехt ≥ 0 выполнено zr (t ) ≥ z s (t ). Тогда динамическая модель (36)−(38) обладаетединственнымравновесиемдопускающим(42)−(44),осмысленнуюэкономическую интерпретацию, если выполнены следующие условия: s ≠ 0 ,1βs γ pa γppɶ s ≠ 0 ,   ≥ s , где γ = ar ⋅  r r δs δr  as βr1−βr.Исследование устойчивости стационарного состояния системы проведем наосновеизученияуравненийпервогоприближения.Уравненияпервого xMприближения в матричной форме можно записать в виде xɺ = Ax , где x =  xK xKrs −вектор вариаций стационарных значений M * , K r* , K s* , а коэффициенты матрицыA вычисляются по следующим формулам: βrβsαδrβra11 = −αγ +; a12 =;** *+−NMNMpN+Ms rrr(a13 = −α ⋅ as ⋅ β s  γ ⋅ N s − M *  as βs −1βs); a21 = pr ⋅ (1 − βr ) ⋅ γ ;a22 = δr ⋅ ( βr − 1) ; a23 = 0 ;(45)M* a31 = γ ⋅  ps ⋅ s ⋅ (1 − pr ) ⋅ 1 − βr−p⋅(1−β);ss * N+Mra32 = γ ps ⋅ s ⋅ (1 − pr ) ⋅ δr ⋅ βrM⋅;a=−δ+p⋅β⋅ 33sssprNr + M * as *βs −1βs.95Использование теоремы Ляпунова об устойчивости движения по первомуприближению приводит нас к следующему результату:Утверждение 5.2.

Если выполнены все условия из теоремы 5.1 и вещественныечасти всех собственных чисел матрицы A = ( aij )i , j =1,..,n, где aij находятся из (45),отрицательны, то стационарное состояние системы (36)−(38), определяемоеформулами (42)−(44), является асимптотически устойчивым.1 γ  β γpВсюду далее будем считать, что условия s ≠ 0 , pɶ s ≠ 0 ,   ≥ sδs as sвыполнены.Проведенныйанализсвидетельствующихобпозволяетадекватностисделатьнесколькоприведенноймодели.замечаний,Анализвыражения (42) позволяет заключить, что стационарное значение численностипереехавших из отправляющей страны в принимающую строго меньше значенияN s . Действительно, посколькуγpɶ s s ⋅ (1 − pr )> 0 , M * = θ ⋅ N s , где 0 < θ < 1 .

Такимδsобразом, при любых значениях параметров модели, удовлетворяющих условиям1 γ  β γpss ≠ 0 , pɶ s ≠ 0 ,   ≥, в отправляющей стране установится (в случаеδs as sустойчивости стационарного состояния) численность населения N s − M * , и оттокнаселения прекратится. Причем чем ближе значения параметров s и pɶ s к нулю,тем ближе значение θ к единице и, соответственно, тем меньше численностьнаселения, оставшегося в отправляющей стране. Это означает, что чем большеденежных переводов будут осуществлять мигранты в родную страну и чембольше будет доля этих сбережений, идущая на инвестиции, тем меньше будетитоговый отток населения из отправляющей страны.

Все сказанное вышесогласуется со здравым смыслом.Отметим также, что сами стационарные значения M * , K r* , K s* не зависят откоэффициента α , характеризующего степень привлекательности для мигрантов96разности в производительностях труда. Тем не менее, от α зависят собственныезначения матрицы A , а значит, от него зависит устойчивость стационара. Крометого, понятно, что чем больше значение α , тем быстрее значение M сходится кстационарной величине M * . Таким образом, чем привлекательнее для мигрантовоказывается разность в производительностях труда между отправляющей ипринимающейстранами,тембыстреепроисходитвыравниваниепроизводительностей труда и прекращение миграции.ИсследоватьсобственныечисламатрицыAвобщемвиденепредставляется возможным в силу громоздкости возникающих выражений.

Входе численного анализа параметров, при которых стационарное состояниесистемы (36)−(38) являлось бы неустойчивым, обнаружено не было (тем не менее,в некоторых случаях собственные числа оказываются близкими к нулю, чтоозначает, что в силу погрешностей вычисления на основе численного анализаустойчивости по первому приближению могут быть сделаны неверные выводы).Приведем иллюстрации поведения решения системы (36)−(38) дляконкретных значений параметров и начальных значений, полученные в ходечисленного изучения системы.

Рассмотрим следующие значения параметровмодели: α = 50 ; δ r = 0.03 ; βr = 0.5 ; pr = 0.2 ; ar = 0.15 ; δ s = 0.035; β s = 0.45 ;ps = 0.17 ; as = 0.14 ; N r = 20 ; N s = 35 ; s = 0.5 ; pɶ s = 0.3 . Отметим сразу же, чтопараметры выбраны таким образом, что отправляющая страна оказывается менееразвитой, чем принимающая, точнее, в стране-доноре коэффициент выбытиякапитала выше, эластичность выпуска по капиталу ниже, норма сбережения ниже,коэффициент, характеризующий научно-технический прогресс, ниже, чем встране-реципиенте.Стационарныеслучаю,M * ≈ 16.09 ;таковы:значения,K r* ≈ 36.09 ;соответствующиеK s* ≈ 22.05 .Чтобыуказанномунагляднопродемонстрировать сходимость к стационару, выберем начальные значенияпеременных достаточно близкими к стационарным значениям, а именно, пустьM (0) = 14 ; K r (0) = 32 ; K s (0) = 20 .97На рисунке 15 представлена сходимость численности мигрантов кстационарномузначению,рисунок16иллюстрируетвыравниваниепроизводительностей труда в отправляющей и принимающей странах.

Характеристики

Список файлов диссертации